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3. 在$△ ABC$中，已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，其周长为12. 求$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的大小和边$AB$、$BC$、$AC$的长.
拓展与思考
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答案
3. 由$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，可设$∠ A=α,\ ∠ B=2α,\ ∠ C=3α$，则由$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，得$α=30°$，所以$∠ A=30°,\ ∠ B=60°,\ ∠ C=90°$.
于是，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2},\ \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，设$BC=x$，则$AB=2x,\ AC=\sqrt{3}x$.
由$AB+AC+BC=12$，解得$x=6-2\sqrt{3}$，所以$AB=12-4\sqrt{3},\ BC=6-2\sqrt{3},\ AC=6\sqrt{3}-6$.
于是，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2},\ \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，设$BC=x$，则$AB=2x,\ AC=\sqrt{3}x$.
由$AB+AC+BC=12$，解得$x=6-2\sqrt{3}$，所以$AB=12-4\sqrt{3},\ BC=6-2\sqrt{3},\ AC=6\sqrt{3}-6$.
1. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=40° 38'$，$BC=8.65$.
（1）求$AB$的长（结果保留三位小数）；
（2）求$S_{△ ABC}$（结果保留三位小数）.
（1）求$AB$的长（结果保留三位小数）；
（2）求$S_{△ ABC}$（结果保留三位小数）.
答案
1.（1）过点 A 作$AH ⊥ BC$，垂足为 H.
因为在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=40°38'$，$BC=8.65$，所以$∠ BAH=20°19'$，$BH=4.325$.
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$\sin ∠ BAH=\dfrac{BH}{AB}=\sin 20°19'\approx0.347\,2$，所以$AB\approx12.457$.
（2）因为在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$\tan ∠ BAH=\dfrac{BH}{AH}=\tan 20°19'\approx0.370\,2$，所以$AH\approx11.682\,9$，
从而$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AH\approx50.529$.
因为在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=40°38'$，$BC=8.65$，所以$∠ BAH=20°19'$，$BH=4.325$.
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$\sin ∠ BAH=\dfrac{BH}{AB}=\sin 20°19'\approx0.347\,2$，所以$AB\approx12.457$.
（2）因为在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$\tan ∠ BAH=\dfrac{BH}{AH}=\tan 20°19'\approx0.370\,2$，所以$AH\approx11.682\,9$，
从而$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AH\approx50.529$.
