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9.如图，$AE ⊥ AB$，$AE = AB$，$BC ⊥ CD$，$BC = CD$，则图中阴影部分的面积是。
答案
$\boldsymbol{50}$
解析
【分析】
本题是不规则阴影面积的计算问题，解题思路如下：首先观察图形特征，存在垂直和相等的边，可通过证明直角三角形全等，得到各水平线段的长度；再用“整体减空白”的思路，先计算包含阴影的大梯形面积，再减去空白部分四个直角三角形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 证明$△ EFA ≌ △ AGB$：
已知$AE ⊥ AB$，故$∠ EAB=90°$，可得$∠ EAF + ∠ BAG=90°$；
又$EF ⊥ FH$，故$∠ EFA=90°$，可得$∠ AEF + ∠ EAF=90°$，因此$∠ AEF=∠ BAG$。
在$△ EFA$和$△ AGB$中：
$\begin{cases}∠ EFA=∠ AGB=90° \\∠ AEF=∠ BAG \\AE=AB\end{cases}$
故$△ EFA ≌ △ AGB$（AAS），因此$AF=BG=3$，$EF=AG=6$。
2. 证明$△ BGC ≌ △ CHD$：
已知$BC ⊥ CD$，故$∠ BCD=90°$，可得$∠ BCG + ∠ DCH=90°$；
又$DH ⊥ FH$，故$∠ CHD=90°$，可得$∠ CDH + ∠ DCH=90°$，因此$∠ BCG=∠ CDH$。
在$△ BGC$和$△ CHD$中：
$\begin{cases}∠ BGC=∠ CHD=90° \\∠ BCG=∠ CDH \\BC=CD\end{cases}$
故$△ BGC ≌ △ CHD$（AAS），因此$GC=DH=4$，$CH=BG=3$。
3. 计算面积：
水平线段总长度$FH=AF+AG+GC+CH=3+6+4+3=16$，
大梯形$EFHD$的面积：$S_{梯形}=\frac{(EF+DH) × FH}{2}=\frac{(6+4) × 16}{2}=80$，
空白部分总面积：$S_{空白}=S_{△ EAF}+S_{△ AGB}+S_{△ BGC}+S_{△ CHD}=\frac{3×6}{2}+\frac{3×6}{2}+\frac{3×4}{2}+\frac{3×4}{2}=9+9+6+6=30$，
阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{梯形}-S_{空白}=80-30=50$。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；梯形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题核心是通过全等三角形转化线段长度，将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解，解题关键是找到两组全等的直角三角形，准确计算各段线段长度。
【难度系数】
0.6
本题是不规则阴影面积的计算问题，解题思路如下：首先观察图形特征，存在垂直和相等的边，可通过证明直角三角形全等，得到各水平线段的长度；再用“整体减空白”的思路，先计算包含阴影的大梯形面积，再减去空白部分四个直角三角形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 证明$△ EFA ≌ △ AGB$：
已知$AE ⊥ AB$，故$∠ EAB=90°$，可得$∠ EAF + ∠ BAG=90°$；
又$EF ⊥ FH$，故$∠ EFA=90°$，可得$∠ AEF + ∠ EAF=90°$，因此$∠ AEF=∠ BAG$。
在$△ EFA$和$△ AGB$中：
$\begin{cases}∠ EFA=∠ AGB=90° \\∠ AEF=∠ BAG \\AE=AB\end{cases}$
故$△ EFA ≌ △ AGB$（AAS），因此$AF=BG=3$，$EF=AG=6$。
2. 证明$△ BGC ≌ △ CHD$：
已知$BC ⊥ CD$，故$∠ BCD=90°$，可得$∠ BCG + ∠ DCH=90°$；
又$DH ⊥ FH$，故$∠ CHD=90°$，可得$∠ CDH + ∠ DCH=90°$，因此$∠ BCG=∠ CDH$。
在$△ BGC$和$△ CHD$中：
$\begin{cases}∠ BGC=∠ CHD=90° \\∠ BCG=∠ CDH \\BC=CD\end{cases}$
故$△ BGC ≌ △ CHD$（AAS），因此$GC=DH=4$，$CH=BG=3$。
3. 计算面积：
水平线段总长度$FH=AF+AG+GC+CH=3+6+4+3=16$，
大梯形$EFHD$的面积：$S_{梯形}=\frac{(EF+DH) × FH}{2}=\frac{(6+4) × 16}{2}=80$，
空白部分总面积：$S_{空白}=S_{△ EAF}+S_{△ AGB}+S_{△ BGC}+S_{△ CHD}=\frac{3×6}{2}+\frac{3×6}{2}+\frac{3×4}{2}+\frac{3×4}{2}=9+9+6+6=30$，
阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{梯形}-S_{空白}=80-30=50$。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；梯形面积计算；割补法求面积
【点评】
本题核心是通过全等三角形转化线段长度，将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解，解题关键是找到两组全等的直角三角形，准确计算各段线段长度。
【难度系数】
0.6
10.如图,点G在AB的延长线上,∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F,BE⊥CF于点H.若∠AFB=40°,则∠BCF的度数为.
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
本题可先利用角平分线的定义和三角形外角的性质，推导得出∠AFB与∠ACB的数量关系，求出∠ACB的度数；再根据角平分线的性质判定CF平分∠ACB的外角，最后结合邻补角的性质计算∠BCF的度数即可。
【解析】
1. 由题意可知，AF平分∠BAC，BF平分∠GBC，
∴ $∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ GBF=\frac{1}{2}∠ GBC$。
2.
∵ $∠ GBC$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ GBC=∠ BAC+∠ ACB$，
代入得$∠ GBF=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)$。
3. 又
∵ $∠ GBF$是$△ ABF$的外角，
∴ $∠ GBF=∠ BAF+∠ AFB$，
将$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC$、$∠ AFB=40°$代入上式：
$\frac{1}{2}∠ BAC + \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}∠ BAC + 40°$，
化简得$\frac{1}{2}∠ ACB=40°$，即$∠ ACB=80°$。
4.
∵ F是∠BAC的平分线与∠GBC的平分线的交点，
∴ 点F到AC、BC、AB三边的距离相等，
因此F也在∠ACB的外角平分线上，即CF平分$∠ ACB$的邻补角。
5. ∠ACB的邻补角度数为$180°-80°=100°$，
∴ $∠ BCF=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形外角的性质，角平分线的判定
【点评】
本题综合考查角平分线的相关性质与三角形外角性质，解题的关键是掌握“三角形一个内角平分线和一个外角平分线的夹角等于第三个内角的一半”这一规律，同时要能根据角平分线的性质判断CF的平分角的属性。
【难度系数】
0.6
本题可先利用角平分线的定义和三角形外角的性质，推导得出∠AFB与∠ACB的数量关系，求出∠ACB的度数；再根据角平分线的性质判定CF平分∠ACB的外角，最后结合邻补角的性质计算∠BCF的度数即可。
【解析】
1. 由题意可知，AF平分∠BAC，BF平分∠GBC，
∴ $∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ GBF=\frac{1}{2}∠ GBC$。
2.
∵ $∠ GBC$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ GBC=∠ BAC+∠ ACB$，
代入得$∠ GBF=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)$。
3. 又
∵ $∠ GBF$是$△ ABF$的外角，
∴ $∠ GBF=∠ BAF+∠ AFB$，
将$∠ BAF=\frac{1}{2}∠ BAC$、$∠ AFB=40°$代入上式：
$\frac{1}{2}∠ BAC + \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}∠ BAC + 40°$，
化简得$\frac{1}{2}∠ ACB=40°$，即$∠ ACB=80°$。
4.
∵ F是∠BAC的平分线与∠GBC的平分线的交点，
∴ 点F到AC、BC、AB三边的距离相等，
因此F也在∠ACB的外角平分线上，即CF平分$∠ ACB$的邻补角。
5. ∠ACB的邻补角度数为$180°-80°=100°$，
∴ $∠ BCF=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形外角的性质，角平分线的判定
【点评】
本题综合考查角平分线的相关性质与三角形外角性质，解题的关键是掌握“三角形一个内角平分线和一个外角平分线的夹角等于第三个内角的一半”这一规律，同时要能根据角平分线的性质判断CF的平分角的属性。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11.如图，$AD// BC$，$∠ BAD＝90°$，以点$B$为圆心，$BC$长为半径画弧，与射线$AD$相交于点$E$，连接$BE$，过点$C$作$CF⊥ BE$，垂足为$F$.
(1)线段$BF＝$；(填写图中现有的一条线段)
(2)证明(1)中的结论.
11.如图，$AD// BC$，$∠ BAD＝90°$，以点$B$为圆心，$BC$长为半径画弧，与射线$AD$相交于点$E$，连接$BE$，过点$C$作$CF⊥ BE$，垂足为$F$.
(1)线段$BF＝$；(填写图中现有的一条线段)
(2)证明(1)中的结论.
答案
(1) $\boldsymbol{AE}$
(2) 证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ CBF$。
$\because CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FCB \mathrm{(AAS)}$，
$\therefore BF = AE$。
(2) 证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ CBF$。
$\because CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FCB \mathrm{(AAS)}$，
$\therefore BF = AE$。
解析
【分析】
解题时先明确目标：寻找与BF相等的线段，可通过证明三角形全等得到对应边相等。首先梳理已知条件：①由AD//BC，可推出内错角∠AEB=∠CBF；②∠BAD=90°、CF⊥BE，可得到∠A与∠CFB均为直角，两角相等；③由作图的特点可知，BE和BC都是以B为圆心的弧的半径，故BE=BC。以上三个条件刚好符合AAS全等判定定理，可证明△ABE和△FCB全等，进而得到对应边BF=AE。
【解析】
(1) 结合已知条件推导三角形全等后，可得对应边BF=AE。
(2) 证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ CBF$。
$\because CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FCB \mathrm{(AAS)}$，
$\therefore BF = AE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE}$
(2) 证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，将平行线性质、直角性质、全等三角形判定与性质结合考查，解题的核心是从已知条件中提取全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的相关定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确目标：寻找与BF相等的线段，可通过证明三角形全等得到对应边相等。首先梳理已知条件：①由AD//BC，可推出内错角∠AEB=∠CBF；②∠BAD=90°、CF⊥BE，可得到∠A与∠CFB均为直角，两角相等；③由作图的特点可知，BE和BC都是以B为圆心的弧的半径，故BE=BC。以上三个条件刚好符合AAS全等判定定理，可证明△ABE和△FCB全等，进而得到对应边BF=AE。
【解析】
(1) 结合已知条件推导三角形全等后，可得对应边BF=AE。
(2) 证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ CBF$。
$\because CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ FCB \mathrm{(AAS)}$，
$\therefore BF = AE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE}$
(2) 证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，将平行线性质、直角性质、全等三角形判定与性质结合考查，解题的核心是从已知条件中提取全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的相关定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
12.如图,灯塔$A$,$B$与码头$O$的距离相等,$OP$,$OQ$为海岸线,一轮船从码头开出,计划沿$∠ POQ$的平分线航行,航行途中,某时测得轮船所在的位置$C$与灯塔$A$,$B$的距离相等,此时轮船有没有偏离航线?请说明理由.
答案
解：此时轮船没有偏离航线，理由如下：
由题意得：$OA=OB$，$CA=CB$。
在$△ OAC$和$△ OBC$中，
$\begin{cases}OA=OB \\CA=CB \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ OAC ≌ △ OBC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$，
即$OC$平分$∠ POQ$，
因此此时轮船没有偏离航线。
由题意得：$OA=OB$，$CA=CB$。
在$△ OAC$和$△ OBC$中，
$\begin{cases}OA=OB \\CA=CB \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ OAC ≌ △ OBC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$，
即$OC$平分$∠ POQ$，
因此此时轮船没有偏离航线。
解析
【分析】
要判断轮船是否偏离航线，本质是验证轮船所在位置C是否在∠POQ的角平分线上，即需证明∠AOC=∠BOC。已知OA=OB、CA=CB，且OC为△OAC和△OBC的公共边，因此可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到角相等，即可判断OC为角平分线，得出轮船是否偏离的结论。
【解析】
此时轮船没有偏离航线，理由如下：
由题意得：$OA=OB$，$CA=CB$。
在$△ OAC$和$△ OBC$中，
$\begin{cases}OA=OB \\CA=CB \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ OAC ≌ △ OBC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠AOC = ∠BOC$，
即$OC$平分$∠POQ$，因此此时轮船没有偏离航线。
【答案】
此时轮船没有偏离航线，理由见上述解析。
【知识点】
SSS证三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
这道题将实际航行问题转化为几何证明问题，重点考查全等三角形判定与性质的应用，解题的关键是挖掘题干中的边相等条件证明三角形全等，通过角相等判断点是否在角平分线上，能有效培养学生的数学建模意识和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断轮船是否偏离航线，本质是验证轮船所在位置C是否在∠POQ的角平分线上，即需证明∠AOC=∠BOC。已知OA=OB、CA=CB，且OC为△OAC和△OBC的公共边，因此可先通过SSS判定定理证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质得到角相等，即可判断OC为角平分线，得出轮船是否偏离的结论。
【解析】
此时轮船没有偏离航线，理由如下：
由题意得：$OA=OB$，$CA=CB$。
在$△ OAC$和$△ OBC$中，
$\begin{cases}OA=OB \\CA=CB \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ OAC ≌ △ OBC \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠AOC = ∠BOC$，
即$OC$平分$∠POQ$，因此此时轮船没有偏离航线。
【答案】
此时轮船没有偏离航线，理由见上述解析。
【知识点】
SSS证三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
这道题将实际航行问题转化为几何证明问题，重点考查全等三角形判定与性质的应用，解题的关键是挖掘题干中的边相等条件证明三角形全等，通过角相等判断点是否在角平分线上，能有效培养学生的数学建模意识和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$△ ABC$，$△ ADE$中，$∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，$AB = AC$，$AD = AE$，$C$，$D$，$E$三点在同一直线上，连接$BD$。
(1)求证：$△ BAD ≌ △ CAE$；
(2)试猜想$BD$，$CE$有何特殊位置关系，并证明。
(1)求证：$△ BAD ≌ △ CAE$；
(2)试猜想$BD$，$CE$有何特殊位置关系，并证明。
答案
(1) 证明：
∵ $∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAD = ∠ CAE \\AD = AE\end{cases}$
∴ $△ BAD ≌ △ CAE$（SAS）。
---
(2) 解：猜想$BD ⊥ CE$，证明如下：
由(1)知$△ BAD ≌ △ CAE$，
∴ $∠ ADB = ∠ E$。
∵ $∠ DAE = 90°$，$AD = AE$，
∴ $∠ E = ∠ ADE = 45°$，
∴ $∠ ADB = 45°$，
∴ $∠ BDE = ∠ ADB + ∠ ADE = 45° + 45° = 90°$，
∴ $BD ⊥ CE$。
∵ $∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAD = ∠ CAE \\AD = AE\end{cases}$
∴ $△ BAD ≌ △ CAE$（SAS）。
---
(2) 解：猜想$BD ⊥ CE$，证明如下：
由(1)知$△ BAD ≌ △ CAE$，
∴ $∠ ADB = ∠ E$。
∵ $∠ DAE = 90°$，$AD = AE$，
∴ $∠ E = ∠ ADE = 45°$，
∴ $∠ ADB = 45°$，
∴ $∠ BDE = ∠ ADB + ∠ ADE = 45° + 45° = 90°$，
∴ $BD ⊥ CE$。
解析
【分析】
(1) 要证明△BAD≌△CAE，已知AB=AC、AD=AE，只需证明两边的夹角相等即可。由已知的两个直角∠BAC=∠DAE=90°，两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件。
(2) 猜想BD与CE的位置关系为垂直，要证明垂直只需证明两条线段的夹角为90°。利用(1)中全等的结论可得对应角∠ADB=∠E，再结合△ADE是等腰直角三角形，底角∠E=∠ADE=45°，可计算得∠BDE=90°，从而证得垂直。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即 ∠BAD = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS）。
(2) 猜想：BD⊥CE，证明如下：
由(1)知△BAD ≌ △CAE，
∴ ∠ADB = ∠E。
∵ ∠DAE = 90°，AD = AE，
∴ ∠E = ∠ADE = 45°，
∴ ∠ADB = 45°，
∴ ∠BDE = ∠ADB + ∠ADE = 45° + 45° = 90°，
∴ BD⊥CE。
【答案】
(1) △BAD≌△CAE得证；
(2) BD⊥CE。
【知识点】
1. 全等三角形的SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型综合题，第一问侧重全等判定的基础应用，找准公共角推导夹角相等是解题关键；第二问需要利用全等的性质转移角度，结合等腰直角三角形的角度特征推导垂直关系，能有效锻炼几何证明的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BAD≌△CAE，已知AB=AC、AD=AE，只需证明两边的夹角相等即可。由已知的两个直角∠BAC=∠DAE=90°，两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定条件。
(2) 猜想BD与CE的位置关系为垂直，要证明垂直只需证明两条线段的夹角为90°。利用(1)中全等的结论可得对应角∠ADB=∠E，再结合△ADE是等腰直角三角形，底角∠E=∠ADE=45°，可计算得∠BDE=90°，从而证得垂直。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即 ∠BAD = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS）。
(2) 猜想：BD⊥CE，证明如下：
由(1)知△BAD ≌ △CAE，
∴ ∠ADB = ∠E。
∵ ∠DAE = 90°，AD = AE，
∴ ∠E = ∠ADE = 45°，
∴ ∠ADB = 45°，
∴ ∠BDE = ∠ADB + ∠ADE = 45° + 45° = 90°，
∴ BD⊥CE。
【答案】
(1) △BAD≌△CAE得证；
(2) BD⊥CE。
【知识点】
1. 全等三角形的SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的典型综合题，第一问侧重全等判定的基础应用，找准公共角推导夹角相等是解题关键；第二问需要利用全等的性质转移角度，结合等腰直角三角形的角度特征推导垂直关系，能有效锻炼几何证明的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
