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1.如图，$AB=AC$，要说明$△ ADC≌△ AEB$，需添加的条件不能是（）
A.$∠ B=∠ C$
B.$AD=AE$
C.$∠ ADC=∠ AEB$
D.$DC=BE$
A.$∠ B=∠ C$
B.$AD=AE$
C.$∠ ADC=∠ AEB$
D.$DC=BE$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项不能证明$△ ADC≌△ AEB$，首先梳理两个三角形的公共条件：已知$AB=AC$，且$∠ A$是$△ ADC$和$△ AEB$的公共角，即已有一组边相等、一组角相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一验证每个选项的条件是否满足判定要求，不符合判定规则的即为答案，注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据。
【解析】
在$△ ADC$和$△ AEB$中，已知条件：$AC=AB$，$∠ A=∠ A$（公共角）。
选项A：添加$∠ B=∠ C$，满足ASA判定$\begin{cases} ∠ A=∠ A \\ AC=AB \\ ∠ C=∠ B \end{cases}$，可证明$△ ADC≌△ AEB$，不符合题意；
选项B：添加$AD=AE$，满足SAS判定$\begin{cases} AC=AB \\ ∠ A=∠ A \\ AD=AE \end{cases}$，可证明$△ ADC≌△ AEB$，不符合题意；
选项C：添加$∠ ADC=∠ AEB$，满足AAS判定$\begin{cases} ∠ ADC=∠ AEB \\ ∠ A=∠ A \\ AC=AB \end{cases}$，可证明$△ ADC≌△ AEB$，不符合题意；
选项D：添加$DC=BE$，此时条件为两边及其中一边的对角相等（SSA），无对应全等判定定理，无法证明$△ ADC≌△ AEB$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，公共角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题时先明确已有相等的边和公共角，再结合判定规则逐一排查即可，需要注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，是本题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项不能证明$△ ADC≌△ AEB$，首先梳理两个三角形的公共条件：已知$AB=AC$，且$∠ A$是$△ ADC$和$△ AEB$的公共角，即已有一组边相等、一组角相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一验证每个选项的条件是否满足判定要求，不符合判定规则的即为答案，注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据。
【解析】
在$△ ADC$和$△ AEB$中，已知条件：$AC=AB$，$∠ A=∠ A$（公共角）。
选项A：添加$∠ B=∠ C$，满足ASA判定$\begin{cases} ∠ A=∠ A \\ AC=AB \\ ∠ C=∠ B \end{cases}$，可证明$△ ADC≌△ AEB$，不符合题意；
选项B：添加$AD=AE$，满足SAS判定$\begin{cases} AC=AB \\ ∠ A=∠ A \\ AD=AE \end{cases}$，可证明$△ ADC≌△ AEB$，不符合题意；
选项C：添加$∠ ADC=∠ AEB$，满足AAS判定$\begin{cases} ∠ ADC=∠ AEB \\ ∠ A=∠ A \\ AC=AB \end{cases}$，可证明$△ ADC≌△ AEB$，不符合题意；
选项D：添加$DC=BE$，此时条件为两边及其中一边的对角相等（SSA），无对应全等判定定理，无法证明$△ ADC≌△ AEB$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，公共角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题时先明确已有相等的边和公共角，再结合判定规则逐一排查即可，需要注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，是本题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$△ ABC$中,P是BC上一点,$PD ⊥ AB$于点D,$PE ⊥ AC$于点E,且$PD=PE$,F是AC上一点,且$∠ APF=∠ PAF$.下列结论:①$AD=AE$;②$PF // AB$;③$△ PEF ≌ △ PEC$.其中正确的是()
A.①②③
B.只有①②
C.只有①③
D.只有①
A.①②③
B.只有①②
C.只有①③
D.只有①
答案
B
解析
【分析】
解题时逐一验证3个结论：①先根据"到角两边距离相等的点在角的平分线上"判定AP是∠BAC的角平分线，再通过HL定理证明Rt△APD和Rt△APE全等，即可判断AD和AE的数量关系；②结合角平分线的性质得∠BAP=∠CAP，结合已知∠APF=∠PAF推导内错角相等，即可判断PF和AB的位置关系；③分析△PEF和△PEC的已知条件，发现仅能得到一组公共边、一组直角相等，缺少其余对应边或对应角相等的条件，无法证明全等。
【解析】
1. 验证结论①：
∵$PD⊥ AB$，$PE⊥ AC$，
∴$∠ ADP=∠ AEP=90°$
在$\mathrm{Rt}△ APD$和$\mathrm{Rt}△ APE$中：
$\begin{cases}AP=AP\\PD=PE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ APD≌\mathrm{Rt}△ APE(\mathrm{HL})$，
∴$AD=AE$，结论①正确。
2. 验证结论②：
由$\mathrm{Rt}△ APD≌\mathrm{Rt}△ APE$得$∠ BAP=∠ CAP$，
又
∵$∠ APF=∠ PAF$，
∴$∠ APF=∠ BAP$，
∴$PF// AB$（内错角相等，两直线平行），结论②正确。
3. 验证结论③：
$△ PEF$和$△ PEC$中，仅已知$∠ PEF=∠ PEC=90°$、$PE$为公共边，没有其他对应边或对应角相等的条件，无法证明两三角形全等，结论③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定与性质，全等三角形的判定，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，需要逐一排查每个结论，注意三角形全等的判定必须满足对应定理的全部条件，不能随意添加题目未给出的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时逐一验证3个结论：①先根据"到角两边距离相等的点在角的平分线上"判定AP是∠BAC的角平分线，再通过HL定理证明Rt△APD和Rt△APE全等，即可判断AD和AE的数量关系；②结合角平分线的性质得∠BAP=∠CAP，结合已知∠APF=∠PAF推导内错角相等，即可判断PF和AB的位置关系；③分析△PEF和△PEC的已知条件，发现仅能得到一组公共边、一组直角相等，缺少其余对应边或对应角相等的条件，无法证明全等。
【解析】
1. 验证结论①：
∵$PD⊥ AB$，$PE⊥ AC$，
∴$∠ ADP=∠ AEP=90°$
在$\mathrm{Rt}△ APD$和$\mathrm{Rt}△ APE$中：
$\begin{cases}AP=AP\\PD=PE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ APD≌\mathrm{Rt}△ APE(\mathrm{HL})$，
∴$AD=AE$，结论①正确。
2. 验证结论②：
由$\mathrm{Rt}△ APD≌\mathrm{Rt}△ APE$得$∠ BAP=∠ CAP$，
又
∵$∠ APF=∠ PAF$，
∴$∠ APF=∠ BAP$，
∴$PF// AB$（内错角相等，两直线平行），结论②正确。
3. 验证结论③：
$△ PEF$和$△ PEC$中，仅已知$∠ PEF=∠ PEC=90°$、$PE$为公共边，没有其他对应边或对应角相等的条件，无法证明两三角形全等，结论③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定与性质，全等三角形的判定，平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，需要逐一排查每个结论，注意三角形全等的判定必须满足对应定理的全部条件，不能随意添加题目未给出的隐含条件。
【难度系数】
0.7
3.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。$S_{△ ABC}=7$，DE=2，AB=4，则AC=()
A.4
B.3
C.6
D.5
A.4
B.3
C.6
D.5
答案
B
解析
【分析】
解题首先从已知条件AD是角平分线、DE和DF分别垂直AB、AC入手，根据角平分线的性质可得出DE=DF，再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，分别代入两个小三角形的面积公式，建立关于AC的方程，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD}$，
且$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}×AC×DF$，
将$S_{△ ABC}=7$，AB=4，DE=DF=2代入得：
$7=\frac{1}{2}×4×2 + \frac{1}{2}×AC×2$
计算化简得：$7=4 + AC$
解得：$AC=3$
【答案】B
【知识点】角平分线的性质、三角形面积计算、和差法求面积
【点评】本题是基础类题型，核心是利用角平分线的性质得到两条垂线段长度相等，再通过面积和的关系建立等式求解未知边长，是角平分线性质与面积计算结合的典型考题。
【难度系数】0.7
解题首先从已知条件AD是角平分线、DE和DF分别垂直AB、AC入手，根据角平分线的性质可得出DE=DF，再观察△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，分别代入两个小三角形的面积公式，建立关于AC的方程，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD}$，
且$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}×AC×DF$，
将$S_{△ ABC}=7$，AB=4，DE=DF=2代入得：
$7=\frac{1}{2}×4×2 + \frac{1}{2}×AC×2$
计算化简得：$7=4 + AC$
解得：$AC=3$
【答案】B
【知识点】角平分线的性质、三角形面积计算、和差法求面积
【点评】本题是基础类题型，核心是利用角平分线的性质得到两条垂线段长度相等，再通过面积和的关系建立等式求解未知边长，是角平分线性质与面积计算结合的典型考题。
【难度系数】0.7
4.如图,点A在DE上,AC=CE,∠1=∠2=∠3,则AB与DE的数量关系为()
A.$AB＞DE$
B.$AB=DE$
C.$AB＜DE$
D.无法确定
A.$AB＞DE$
B.$AB=DE$
C.$AB＜DE$
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
要判断AB和DE的数量关系，通常证明两条边相等可通过证明它们所在的三角形全等。观察图形可知AB在△ABC中，DE在△EDC中，已知AC=CE，因此只需证明△ABC≌△EDC即可。首先利用∠2=∠3，加上公共角∠ACD推导得到一组对应角相等；再利用∠1=∠2，结合对顶角相等推导得到第二组对应角相等，最后用AAS判定定理证明两个三角形全等，即可得到对应边的数量关系。
【解析】
设AD与BC交于点F，解题步骤如下：
1. 推导∠ACB=∠ECD
∵ $∠2=∠3$
∴ $∠2+∠ACD=∠3+∠ACD$，即$∠ACB=∠ECD$
2. 推导∠B=∠D
∵ $∠1=∠2$，$∠AFB=∠CFD$（对顶角相等）
根据三角形内角和为180°，可得：$∠1+∠ D+∠ CFD=180°$，$∠2+∠ B+∠ AFB=180°$
∴ $∠ B=∠ D$
3. 证明三角形全等
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ D \\∠ ACB=∠ ECD \\AC=CE\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ EDC$（AAS）
根据全等三角形对应边相等，得$AB=DE$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的典型应用，解题核心是通过已知的等角条件，结合公共角、对顶角的性质推导全等所需的对应角相等条件，侧重考查逻辑推导能力和对全等判定定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要判断AB和DE的数量关系，通常证明两条边相等可通过证明它们所在的三角形全等。观察图形可知AB在△ABC中，DE在△EDC中，已知AC=CE，因此只需证明△ABC≌△EDC即可。首先利用∠2=∠3，加上公共角∠ACD推导得到一组对应角相等；再利用∠1=∠2，结合对顶角相等推导得到第二组对应角相等，最后用AAS判定定理证明两个三角形全等，即可得到对应边的数量关系。
【解析】
设AD与BC交于点F，解题步骤如下：
1. 推导∠ACB=∠ECD
∵ $∠2=∠3$
∴ $∠2+∠ACD=∠3+∠ACD$，即$∠ACB=∠ECD$
2. 推导∠B=∠D
∵ $∠1=∠2$，$∠AFB=∠CFD$（对顶角相等）
根据三角形内角和为180°，可得：$∠1+∠ D+∠ CFD=180°$，$∠2+∠ B+∠ AFB=180°$
∴ $∠ B=∠ D$
3. 证明三角形全等
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ D \\∠ ACB=∠ ECD \\AC=CE\end{cases}$
∴ $△ ABC≌△ EDC$（AAS）
根据全等三角形对应边相等，得$AB=DE$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的典型应用，解题核心是通过已知的等角条件，结合公共角、对顶角的性质推导全等所需的对应角相等条件，侧重考查逻辑推导能力和对全等判定定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP的最小值为()
A.2
B.3
C.4
D.1
A.2
B.3
C.4
D.1
答案
C
解析
【分析】
要找DP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来需要推导此时DP与已知线段AD的数量关系：先利用两个直角三角形中两组角对应相等，推出等角的余角相等，得到BD是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DP=AD，从而求出DP的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当DP⊥BC时，DP的长度最小。
∵ ∠A=90°，
∴ ∠ABD + ∠ADB = 90°。
∵ BD⊥CD，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠DBC + ∠C = 90°。
又
∵ ∠ADB=∠C，
∴ ∠ABD=∠DBC（等角的余角相等），即BD平分∠ABC。
∵ D在∠ABC的角平分线BD上，且DA⊥AB，DP⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DP=AD。
已知AD=4，
∴ DP的最小值为4。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短，角平分线的性质，余角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先根据垂线段最短确定DP取最小值的位置，再通过角度推导得到角平分线，最后利用角平分线的性质建立所求线段与已知线段的等量关系，考查对基础几何性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要找DP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当DP垂直于BC时，DP的长度最小。接下来需要推导此时DP与已知线段AD的数量关系：先利用两个直角三角形中两组角对应相等，推出等角的余角相等，得到BD是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到DP=AD，从而求出DP的最小值。
【解析】
解：根据垂线段最短的性质，当DP⊥BC时，DP的长度最小。
∵ ∠A=90°，
∴ ∠ABD + ∠ADB = 90°。
∵ BD⊥CD，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠DBC + ∠C = 90°。
又
∵ ∠ADB=∠C，
∴ ∠ABD=∠DBC（等角的余角相等），即BD平分∠ABC。
∵ D在∠ABC的角平分线BD上，且DA⊥AB，DP⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DP=AD。
已知AD=4，
∴ DP的最小值为4。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短，角平分线的性质，余角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是先根据垂线段最短确定DP取最小值的位置，再通过角度推导得到角平分线，最后利用角平分线的性质建立所求线段与已知线段的等量关系，考查对基础几何性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6.如图,点B,C,F,E 在同一条直线上,∠1=∠2,BC=EF,∠1 ∠2 的对顶角(填“是”或“不是”),要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,可以是 (只需写出一个).
答案
解：不是；AC=DF（答案不唯一，也可填写∠A=∠D、∠B=∠E等符合要求的条件）。
解析
【分析】
首先解决第一个填空：回忆对顶角的定义，对顶角需要同时满足两个条件：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。观察图形可知∠1的顶点是点C，∠2的顶点是点F，二者没有公共顶点，由此可判断∠1不是∠2的对顶角。
再解决第二个填空：先梳理已知条件：∠1=∠2，BC=EF，要判定△ABC≌△DEF，结合全等三角形的判定定理推导：如果用SAS判定，需要补充∠1和∠2的另一条夹边相等，即AC=DF；如果用ASA判定，需要补充BC、EF的另一组邻角相等，即∠B=∠E；如果用AAS判定，需要补充两个三角形的第三组角相等，即∠A=∠D，任选一个符合要求的条件即可。
【解析】
1. 判断对顶角：
根据对顶角的定义，互为对顶角的两个角必须有公共顶点，本题中∠1的顶点为C，∠2的顶点为F，无公共顶点，因此∠1不是∠2的对顶角。
2. 补充全等判定条件：
已知在△ABC和△DEF中，∠1=∠2，BC=EF：
若添加条件$AC=DF$，可根据“SAS（边角边）”判定$△ ABC ≌ △ DEF$；
若添加条件$∠ B=∠ E$，可根据“ASA（角边角）”判定$△ ABC ≌ △ DEF$；
若添加条件$∠ A=∠ D$，可根据“AAS（角角边）”判定$△ ABC ≌ △ DEF$。
以上条件任选其一即可。
【答案】
不是；AC=DF（答案不唯一，$∠ A=∠ D$、$∠ B=∠ E$均符合要求）
【知识点】
对顶角的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，同时考查了对顶角的基础概念和全等三角形判定定理的灵活应用，熟练掌握相关基础概念和判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先解决第一个填空：回忆对顶角的定义，对顶角需要同时满足两个条件：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。观察图形可知∠1的顶点是点C，∠2的顶点是点F，二者没有公共顶点，由此可判断∠1不是∠2的对顶角。
再解决第二个填空：先梳理已知条件：∠1=∠2，BC=EF，要判定△ABC≌△DEF，结合全等三角形的判定定理推导：如果用SAS判定，需要补充∠1和∠2的另一条夹边相等，即AC=DF；如果用ASA判定，需要补充BC、EF的另一组邻角相等，即∠B=∠E；如果用AAS判定，需要补充两个三角形的第三组角相等，即∠A=∠D，任选一个符合要求的条件即可。
【解析】
1. 判断对顶角：
根据对顶角的定义，互为对顶角的两个角必须有公共顶点，本题中∠1的顶点为C，∠2的顶点为F，无公共顶点，因此∠1不是∠2的对顶角。
2. 补充全等判定条件：
已知在△ABC和△DEF中，∠1=∠2，BC=EF：
若添加条件$AC=DF$，可根据“SAS（边角边）”判定$△ ABC ≌ △ DEF$；
若添加条件$∠ B=∠ E$，可根据“ASA（角边角）”判定$△ ABC ≌ △ DEF$；
若添加条件$∠ A=∠ D$，可根据“AAS（角角边）”判定$△ ABC ≌ △ DEF$。
以上条件任选其一即可。
【答案】
不是；AC=DF（答案不唯一，$∠ A=∠ D$、$∠ B=∠ E$均符合要求）
【知识点】
对顶角的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，同时考查了对顶角的基础概念和全等三角形判定定理的灵活应用，熟练掌握相关基础概念和判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=2\ \mathrm{cm}$,$CD⊥ AB$,在$AC$上取一点$E$,使$EC=BC$,过点$E$作$EF⊥ AC$交$CD$的延长线于点$F$.如果$EF=5\ \mathrm{cm}$,那么$AE=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，利用同角的余角相等推导得到相等的角，再结合已知的边相等条件EC=BC，证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等得到AC的长度，最后用AC的长度减去EC的长度即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠F + ∠ACD = 90°
∴∠A = ∠F（同角的余角相等）
∵EF⊥AC
∴∠FEC = ∠ACB = 90°
在△ABC和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠F \\∠ACB = ∠FEC \\BC = CE\end{array} $
∴△ABC ≌ △FCE（AAS）
∴AC = EF = 5 cm
又
∵EC = BC = 2 cm
∴AE = AC - EC = 5 - 2 = 3 cm
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是通过直角的互余关系找到相等的对应角，进而证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手，利用同角的余角相等推导得到相等的角，再结合已知的边相等条件EC=BC，证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等得到AC的长度，最后用AC的长度减去EC的长度即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠A + ∠ACD = 90°，∠F + ∠ACD = 90°
∴∠A = ∠F（同角的余角相等）
∵EF⊥AC
∴∠FEC = ∠ACB = 90°
在△ABC和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠F \\∠ACB = ∠FEC \\BC = CE\end{array} $
∴△ABC ≌ △FCE（AAS）
∴AC = EF = 5 cm
又
∵EC = BC = 2 cm
∴AE = AC - EC = 5 - 2 = 3 cm
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是通过直角的互余关系找到相等的对应角，进而证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB＞BC$,点$D$在边$BC$上,$CD=2BD$,点$E$,$F$在线段$AD$上,$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$.若$△ ABC$的面积为18,则$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和为.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题时先结合已知的等角条件，通过角的和差关系推导相等的内角，证明△ABE和△CAF全等，将△ACF的面积转化为△ABE的面积，此时所求的两个三角形面积和即可转化为△ABD的面积，再根据BD与BC的长度比例，结合同高三角形面积比等于底的比，即可计算出结果。
【解析】
1. 推导相等内角：
∵ ∠1是△ABE的外角，
∴ $∠1=∠ ABE+∠ BAE$
又
∵ $∠1=∠ BAC$，且$∠ BAC=∠ BAE+∠ CAF$
∴ $∠ ABE+∠ BAE=∠ BAE+∠ CAF$，化简得$∠ ABE=∠ CAF$
∵ $∠1=∠2$，
∴ $180°-∠1=180°-∠2$，即$∠ AEB=∠ CFA$
2. 证明三角形全等：
在$△ ABE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ CFA \\∠ ABE=∠ CAF \\AB=AC\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ CAF$（AAS），因此$S_{△ ACF}=S_{△ ABE}$
3. 转化并计算面积：
$S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$
∵ $CD=2BD$，
∴ $BD=\frac{1}{3}BC$
$△ ABD$和$△ ABC$同高，底的比为$BD:BC=1:3$，因此面积比为$1:3$
已知$S_{△ ABC}=18$，则$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}×18=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现面积的转化，再结合同高三角形的面积比例关系求解，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，以及三角形面积和底高的比例关系。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知的等角条件，通过角的和差关系推导相等的内角，证明△ABE和△CAF全等，将△ACF的面积转化为△ABE的面积，此时所求的两个三角形面积和即可转化为△ABD的面积，再根据BD与BC的长度比例，结合同高三角形面积比等于底的比，即可计算出结果。
【解析】
1. 推导相等内角：
∵ ∠1是△ABE的外角，
∴ $∠1=∠ ABE+∠ BAE$
又
∵ $∠1=∠ BAC$，且$∠ BAC=∠ BAE+∠ CAF$
∴ $∠ ABE+∠ BAE=∠ BAE+∠ CAF$，化简得$∠ ABE=∠ CAF$
∵ $∠1=∠2$，
∴ $180°-∠1=180°-∠2$，即$∠ AEB=∠ CFA$
2. 证明三角形全等：
在$△ ABE$和$△ CAF$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ CFA \\∠ ABE=∠ CAF \\AB=AC\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ CAF$（AAS），因此$S_{△ ACF}=S_{△ ABE}$
3. 转化并计算面积：
$S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$
∵ $CD=2BD$，
∴ $BD=\frac{1}{3}BC$
$△ ABD$和$△ ABC$同高，底的比为$BD:BC=1:3$，因此面积比为$1:3$
已知$S_{△ ABC}=18$，则$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}×18=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现面积的转化，再结合同高三角形的面积比例关系求解，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，以及三角形面积和底高的比例关系。
【难度系数】
0.6
