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7.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，M是线段ON上一点，OM=3，ON=4，D为OA上一点.若PD=PM，则OD的长为()
A.3
B.4
C.3或4
D.3或5
A.3
B.4
C.3或4
D.3或5
答案
D
解析
【分析】
解题时首先结合角平分线的性质，过P作PE⊥OA于E，可得PE=PN，同时可证△PEO和△PNO全等，得到OE=ON的长度；再结合PD=PM的条件，可证Rt△PED和Rt△PNM全等，得到ED=MN的长度；最后分两种情况讨论点D的位置：当D在线段OE上时、当D在线段EA上时，分别计算OD的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
解：过点P作PE⊥OA于点E。
∵OC是∠AOB的平分线，PN⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PN，∠PEO=∠PNO=90°。
在Rt△PEO和Rt△PNO中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PE=PN\end{array} $
∴Rt△PEO≌Rt△PNO（HL），
∴OE=ON=4。
∵OM=3，ON=4，
∴MN=ON-OM=1。
在Rt△PED和Rt△PNM中，
$\{\begin{array}{l}PD=PM\\ PE=PN\end{array} $
∴Rt△PED≌Rt△PNM（HL），
∴ED=MN=1。
分两种情况讨论：
①若点D在线段OE上，则OD=OE-ED=4-1=3；
②若点D在线段EA上，则OD=OE+ED=4+1=5。
综上，OD的长为3或5。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，分类讨论思想
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，同时注意分情况讨论点D的位置，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合角平分线的性质，过P作PE⊥OA于E，可得PE=PN，同时可证△PEO和△PNO全等，得到OE=ON的长度；再结合PD=PM的条件，可证Rt△PED和Rt△PNM全等，得到ED=MN的长度；最后分两种情况讨论点D的位置：当D在线段OE上时、当D在线段EA上时，分别计算OD的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
解：过点P作PE⊥OA于点E。
∵OC是∠AOB的平分线，PN⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PN，∠PEO=∠PNO=90°。
在Rt△PEO和Rt△PNO中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP\\ PE=PN\end{array} $
∴Rt△PEO≌Rt△PNO（HL），
∴OE=ON=4。
∵OM=3，ON=4，
∴MN=ON-OM=1。
在Rt△PED和Rt△PNM中，
$\{\begin{array}{l}PD=PM\\ PE=PN\end{array} $
∴Rt△PED≌Rt△PNM（HL），
∴ED=MN=1。
分两种情况讨论：
①若点D在线段OE上，则OD=OE-ED=4-1=3；
②若点D在线段EA上，则OD=OE+ED=4+1=5。
综上，OD的长为3或5。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，分类讨论思想
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，同时注意分情况讨论点D的位置，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
8.如图，BF，CF是$△ ABC$的两个外角的平分线，交点为点F，若$∠ A=50°$，则$∠ BFC$的度数是（）
A.$50°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$65°$
A.$50°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$65°$
答案
D
解析
【分析】
解题时可按以下步骤推导：①先利用三角形内角和定理求出△ABC中两个底角∠ABC与∠ACB的和；②结合邻补角的性质，计算出△ABC两个外角的总和；③根据角平分线的定义，得到△FBC中两个底角∠FBC与∠FCB的和；④最后再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BFC的度数。
【解析】
在△ABC中，已知∠A=50°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
△ABC中，∠ABC的邻补外角与∠ACB的邻补外角的和为：
$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - 130° = 230°$
∵BF、CF分别是这两个外角的角平分线
∴$∠ FBC + ∠ FCB = \frac{1}{2} × 230° = 115°$
在△BFC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 180° - 115° = 65°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形角平分线相关的常规计算题，核心是通过内角和、外角性质推导两角平分线的夹角与原三角形顶角的关系，掌握该类题的推导逻辑后可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤推导：①先利用三角形内角和定理求出△ABC中两个底角∠ABC与∠ACB的和；②结合邻补角的性质，计算出△ABC两个外角的总和；③根据角平分线的定义，得到△FBC中两个底角∠FBC与∠FCB的和；④最后再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BFC的度数。
【解析】
在△ABC中，已知∠A=50°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$
△ABC中，∠ABC的邻补外角与∠ACB的邻补外角的和为：
$(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB) = 360° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 360° - 130° = 230°$
∵BF、CF分别是这两个外角的角平分线
∴$∠ FBC + ∠ FCB = \frac{1}{2} × 230° = 115°$
在△BFC中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BFC = 180° - (∠ FBC + ∠ FCB) = 180° - 115° = 65°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形角平分线相关的常规计算题，核心是通过内角和、外角性质推导两角平分线的夹角与原三角形顶角的关系，掌握该类题的推导逻辑后可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.7
9.如图，AE，BD是△ABM的高，AE，BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM.
(1)求证：△BCE≌△AME；
(2)求证：BC=2AD；
(3)求∠MDE的度数.
(1)求证：△BCE≌△AME；
(2)求证：BC=2AD；
(3)求∠MDE的度数.
答案
(1) 证明：
∵ AE，BD是△ABM的高，
∴ ∠AEM = ∠BEC = ∠ADB = 90°，
∴ ∠MAE + ∠M = 90°，∠CBE + ∠M = 90°，
∴ ∠MAE = ∠CBE。
在△BCE和△AME中：
$\{\begin{array}{l}∠BEC = ∠AEM \\BE = AE \\∠CBE = ∠MAE\end{array} $
∴ △BCE≌△AME(ASA)。
---
(2) 证明：
∵ BD平分∠ABM，BD⊥AM，
∴ ∠ABD = ∠MBD，∠ADB = ∠MDB = 90°。
在△ABD和△MBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠MDB \\BD = BD \\∠ABD = ∠MBD\end{array} $
∴ △ABD≌△MBD(ASA)，
∴ AD = MD，即 $AM = 2AD$。
由(1)中△BCE≌△AME，得 $BC = AM$，
∴ $BC = 2AD$。
---
(3) 解：
∵ AE⊥BM，AE = BE，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∴ ∠ABE = 45°。
∵ BD平分∠ABM，
∴ $∠MBD = \frac{1}{2}∠ABM = 22.5°$，
∴ ∠M = 90° - ∠MBD = 67.5°。
∵ 在Rt△AEM中，D是AM的中点，
∴ $DE = MD = \frac{1}{2}AM$，即△MDE为等腰三角形，
∴ $∠MDE = 180° - 2∠M = 180° - 2×67.5° = 45°$。
综上，∠MDE的度数为$\boldsymbol{45°}$。
∵ AE，BD是△ABM的高，
∴ ∠AEM = ∠BEC = ∠ADB = 90°，
∴ ∠MAE + ∠M = 90°，∠CBE + ∠M = 90°，
∴ ∠MAE = ∠CBE。
在△BCE和△AME中：
$\{\begin{array}{l}∠BEC = ∠AEM \\BE = AE \\∠CBE = ∠MAE\end{array} $
∴ △BCE≌△AME(ASA)。
---
(2) 证明：
∵ BD平分∠ABM，BD⊥AM，
∴ ∠ABD = ∠MBD，∠ADB = ∠MDB = 90°。
在△ABD和△MBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠MDB \\BD = BD \\∠ABD = ∠MBD\end{array} $
∴ △ABD≌△MBD(ASA)，
∴ AD = MD，即 $AM = 2AD$。
由(1)中△BCE≌△AME，得 $BC = AM$，
∴ $BC = 2AD$。
---
(3) 解：
∵ AE⊥BM，AE = BE，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∴ ∠ABE = 45°。
∵ BD平分∠ABM，
∴ $∠MBD = \frac{1}{2}∠ABM = 22.5°$，
∴ ∠M = 90° - ∠MBD = 67.5°。
∵ 在Rt△AEM中，D是AM的中点，
∴ $DE = MD = \frac{1}{2}AM$，即△MDE为等腰三角形，
∴ $∠MDE = 180° - 2∠M = 180° - 2×67.5° = 45°$。
综上，∠MDE的度数为$\boldsymbol{45°}$。
解析
【分析】
(1) 要证△BCE≌△AME，首先根据高的定义得到一组直角相等，已知AE=BE，再通过“同角的余角相等”证明∠MAE=∠CBE，即可用ASA判定两三角形全等；
(2) 要证BC=2AD，先利用BD平分∠ABM且BD⊥AM，证明△ABD≌△MBD，得到AD=MD，即AM=2AD，再结合(1)的全等结论得BC=AM，通过等量代换即可完成证明；
(3) 求∠MDE的度数，先由AE=BE且AE⊥BM，判定△ABE是等腰直角三角形，求出∠ABM=45°，结合角平分线的定义算出∠MBD的度数，进而求出∠M的度数，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DE=MD，最后根据等腰三角形内角和性质即可求出∠MDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE，BD是△ABM的高，
∴ ∠AEM = ∠BEC = ∠ADB = 90°，
∴ ∠MAE + ∠M = 90°，∠CBE + ∠M = 90°，
∴ ∠MAE = ∠CBE。
在△BCE和△AME中：
$\{\begin{array}{l}∠BEC = ∠AEM \\BE = AE \\∠CBE = ∠MAE\end{array} $
∴ △BCE≌△AME(ASA)。
(2) 证明：
∵ BD平分∠ABM，BD⊥AM，
∴ ∠ABD = ∠MBD，∠ADB = ∠MDB = 90°。
在△ABD和△MBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠MDB \\BD = BD \\∠ABD = ∠MBD\end{array} $
∴ △ABD≌△MBD(ASA)，
∴ AD = MD，即 $AM = 2AD$。
由(1)中△BCE≌△AME，得 $BC = AM$，
∴ $BC = 2AD$。
(3) 解：
∵ AE⊥BM，AE = BE，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∴ ∠ABE = 45°。
∵ BD平分∠ABM，
∴ $∠MBD = \frac{1}{2}∠ABM = 22.5°$，
∴ ∠M = 90° - ∠MBD = 67.5°。
∵ 在Rt△AEM中，D是AM的中点，
∴ $DE = MD = \frac{1}{2}AM$，即△MDE为等腰三角形，
∴ $∠MDE = 180° - 2∠M = 180° - 2×67.5° = 45°$。
【答案】
(1) △BCE≌△AME得证；
(2) BC=2AD得证；
(3) ∠MDE的度数为$\boldsymbol{45°}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，解题时需注意各小问之间的关联性，前一问的结论常可作为后一问的已知条件使用，需要考生熟练掌握全等三角形、等腰三角形、直角三角形的相关性质，理清逻辑推导关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证△BCE≌△AME，首先根据高的定义得到一组直角相等，已知AE=BE，再通过“同角的余角相等”证明∠MAE=∠CBE，即可用ASA判定两三角形全等；
(2) 要证BC=2AD，先利用BD平分∠ABM且BD⊥AM，证明△ABD≌△MBD，得到AD=MD，即AM=2AD，再结合(1)的全等结论得BC=AM，通过等量代换即可完成证明；
(3) 求∠MDE的度数，先由AE=BE且AE⊥BM，判定△ABE是等腰直角三角形，求出∠ABM=45°，结合角平分线的定义算出∠MBD的度数，进而求出∠M的度数，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得DE=MD，最后根据等腰三角形内角和性质即可求出∠MDE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE，BD是△ABM的高，
∴ ∠AEM = ∠BEC = ∠ADB = 90°，
∴ ∠MAE + ∠M = 90°，∠CBE + ∠M = 90°，
∴ ∠MAE = ∠CBE。
在△BCE和△AME中：
$\{\begin{array}{l}∠BEC = ∠AEM \\BE = AE \\∠CBE = ∠MAE\end{array} $
∴ △BCE≌△AME(ASA)。
(2) 证明：
∵ BD平分∠ABM，BD⊥AM，
∴ ∠ABD = ∠MBD，∠ADB = ∠MDB = 90°。
在△ABD和△MBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠MDB \\BD = BD \\∠ABD = ∠MBD\end{array} $
∴ △ABD≌△MBD(ASA)，
∴ AD = MD，即 $AM = 2AD$。
由(1)中△BCE≌△AME，得 $BC = AM$，
∴ $BC = 2AD$。
(3) 解：
∵ AE⊥BM，AE = BE，
∴ △ABE是等腰直角三角形，
∴ ∠ABE = 45°。
∵ BD平分∠ABM，
∴ $∠MBD = \frac{1}{2}∠ABM = 22.5°$，
∴ ∠M = 90° - ∠MBD = 67.5°。
∵ 在Rt△AEM中，D是AM的中点，
∴ $DE = MD = \frac{1}{2}AM$，即△MDE为等腰三角形，
∴ $∠MDE = 180° - 2∠M = 180° - 2×67.5° = 45°$。
【答案】
(1) △BCE≌△AME得证；
(2) BC=2AD得证；
(3) ∠MDE的度数为$\boldsymbol{45°}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，解题时需注意各小问之间的关联性，前一问的结论常可作为后一问的已知条件使用，需要考生熟练掌握全等三角形、等腰三角形、直角三角形的相关性质，理清逻辑推导关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
10.如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$的延长线上,$∠ ACB=110°$,$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$,过点$E$作$EH ⊥ BD$,垂足为$H$,且$∠ CEH=55°$.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)求证:$AE$平分$∠ CAF$;
(3)若$AC+CD=14$,$AB=8.5$,且$S_{△ ACD}=21$,求$△ ABE$的面积.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)求证:$AE$平分$∠ CAF$;
(3)若$AC+CD=14$,$AB=8.5$,且$S_{△ ACD}=21$,求$△ ABE$的面积.
答案
解：(1)
∵ ∠ACB=110°，
∴ ∠ACD=180°-∠ACB=70°，
∵ EH⊥BD，
∴ ∠EHC=90°，
在Rt△ECH中，∠CEH=55°，
∴ ∠ECH=90°-∠CEH=35°，
∴ ∠ACE=∠ACD - ∠ECH=70°-35°=35°。
(2) 证明：
过点E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N。
∵ BE平分∠ABC，EH⊥BD，EM⊥AB，
∴ EM=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
由(1)得∠ACE=∠ECH=35°，即CE平分∠ACD，
又∵ EN⊥AC，EH⊥BD，
∴ EN=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ EN=EM，
又∵ EM⊥AB，EN⊥AC，
∴ 点E到∠CAF两边的距离相等，
∴ AE平分∠CAF（在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。
(3)
由(2)可知EM=EN=EH，设EM=EN=EH=h，
∵ $S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CDE}=\frac{1}{2}· AC· EN + \frac{1}{2}· CD· EH=\frac{1}{2}h(AC+CD)$，
将AC+CD=14，$S_{△ACD}=21$代入得：
$\frac{1}{2}× h ×14=21$，
解得h=3，
∴ $S_{△ABE}=\frac{1}{2}· AB· EM=\frac{1}{2}×8.5×3=12.75$。
综上，(1) $∠ ACE=35°$；(2) 证明成立；(3) $△ ABE$的面积为12.75。
∵ ∠ACB=110°，
∴ ∠ACD=180°-∠ACB=70°，
∵ EH⊥BD，
∴ ∠EHC=90°，
在Rt△ECH中，∠CEH=55°，
∴ ∠ECH=90°-∠CEH=35°，
∴ ∠ACE=∠ACD - ∠ECH=70°-35°=35°。
(2) 证明：
过点E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N。
∵ BE平分∠ABC，EH⊥BD，EM⊥AB，
∴ EM=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
由(1)得∠ACE=∠ECH=35°，即CE平分∠ACD，
又∵ EN⊥AC，EH⊥BD，
∴ EN=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ EN=EM，
又∵ EM⊥AB，EN⊥AC，
∴ 点E到∠CAF两边的距离相等，
∴ AE平分∠CAF（在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。
(3)
由(2)可知EM=EN=EH，设EM=EN=EH=h，
∵ $S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CDE}=\frac{1}{2}· AC· EN + \frac{1}{2}· CD· EH=\frac{1}{2}h(AC+CD)$，
将AC+CD=14，$S_{△ACD}=21$代入得：
$\frac{1}{2}× h ×14=21$，
解得h=3，
∴ $S_{△ABE}=\frac{1}{2}· AB· EM=\frac{1}{2}×8.5×3=12.75$。
综上，(1) $∠ ACE=35°$；(2) 证明成立；(3) $△ ABE$的面积为12.75。
解析
【分析】
(1) 要求∠ACE的度数，首先根据邻补角的定义，由已知∠ACB=110°先求出∠ACD的度数；再结合EH⊥BD，∠CEH=55°，利用直角三角形两锐角互余求出∠ECH的度数，最后用∠ACD减去∠ECH即可得到∠ACE的度数。
(2) 要证明AE平分∠CAF，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠CAF两边AB、AC的距离相等即可。因此过E分别作AB、AC的垂线，结合BE是∠ABC的平分线，利用角平分线的性质可得E到AB的距离等于E到BD的距离EH；再由(1)的结论可知CE平分∠ACD，同理可得E到AC的距离等于EH，进而得到E到AB、AC的距离相等，即可证明结论。
(3) 要求△ABE的面积，已知AB的长度，只需求出AB边上的高（即E到AB的垂线段长度）。由(2)可知E到AB、AC、BD的垂线段长度相等，设为h，将△ACD的面积拆分为△ACE和△CDE的面积和，代入AC+CD=14、$S_{△ACD}=21$即可求出h的值，最后利用三角形面积公式计算△ABE的面积即可。
【解析】
(1) $\because ∠ ACB=110°$，$∠ ACB$与$∠ ACD$互为邻补角，
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ ACB=180°-110°=70°$，
$\because EH⊥ BD$，$\therefore ∠ EHC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ECH$中，$∠ CEH=55°$，
$\therefore ∠ ECH=90°-∠ CEH=90°-55°=35°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACD - ∠ ECH=70°-35°=35°$。
(2) 证明：过点E作$EM⊥ AB$于点M，$EN⊥ AC$于点N。
$\because BE$平分$∠ ABC$，$EH⊥ BD$，$EM⊥ AB$，
$\therefore EM=EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
由(1)得$∠ ACE=∠ ECH=35°$，即$CE$平分$∠ ACD$，
又$\because EN⊥ AC$，$EH⊥ BD$，
$\therefore EN=EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\therefore EN=EM$，
$\because EM⊥ AB$，$EN⊥ AC$，即点E到$∠ CAF$两边AB、AC的距离相等，
$\therefore AE$平分$∠ CAF$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
(3) 由(2)可知$EM=EN=EH$，设$EM=EN=EH=h$，
$\because S_{△ ACD} = S_{△ ACE} + S_{△ CDE}$，
且$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}· AC· EN$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}· CD· EH$，
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· h + \frac{1}{2}· CD· h = \frac{1}{2}h(AC+CD)$，
将$AC+CD=14$，$S_{△ ACD}=21$代入得：
$\frac{1}{2} × h ×14 =21$，
解得$h=3$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AB· EM=\frac{1}{2} ×8.5 ×3=12.75$。
【答案】
(1) $∠ ACE=35°$；(2) $AE$平分$∠ CAF$，得证；(3) $△ ABE$的面积为$12.75$
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角的相关计算、角平分线的性质与判定的应用，以及利用割补法求解三角形面积，解题的关键是合理构造辅助线，利用角平分线的性质得到三条垂线段相等，实现已知条件和所求问题的转化，对逻辑推理能力和转化思想的应用有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6
(1) 要求∠ACE的度数，首先根据邻补角的定义，由已知∠ACB=110°先求出∠ACD的度数；再结合EH⊥BD，∠CEH=55°，利用直角三角形两锐角互余求出∠ECH的度数，最后用∠ACD减去∠ECH即可得到∠ACE的度数。
(2) 要证明AE平分∠CAF，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠CAF两边AB、AC的距离相等即可。因此过E分别作AB、AC的垂线，结合BE是∠ABC的平分线，利用角平分线的性质可得E到AB的距离等于E到BD的距离EH；再由(1)的结论可知CE平分∠ACD，同理可得E到AC的距离等于EH，进而得到E到AB、AC的距离相等，即可证明结论。
(3) 要求△ABE的面积，已知AB的长度，只需求出AB边上的高（即E到AB的垂线段长度）。由(2)可知E到AB、AC、BD的垂线段长度相等，设为h，将△ACD的面积拆分为△ACE和△CDE的面积和，代入AC+CD=14、$S_{△ACD}=21$即可求出h的值，最后利用三角形面积公式计算△ABE的面积即可。
【解析】
(1) $\because ∠ ACB=110°$，$∠ ACB$与$∠ ACD$互为邻补角，
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ ACB=180°-110°=70°$，
$\because EH⊥ BD$，$\therefore ∠ EHC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ECH$中，$∠ CEH=55°$，
$\therefore ∠ ECH=90°-∠ CEH=90°-55°=35°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ ACD - ∠ ECH=70°-35°=35°$。
(2) 证明：过点E作$EM⊥ AB$于点M，$EN⊥ AC$于点N。
$\because BE$平分$∠ ABC$，$EH⊥ BD$，$EM⊥ AB$，
$\therefore EM=EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
由(1)得$∠ ACE=∠ ECH=35°$，即$CE$平分$∠ ACD$，
又$\because EN⊥ AC$，$EH⊥ BD$，
$\therefore EN=EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\therefore EN=EM$，
$\because EM⊥ AB$，$EN⊥ AC$，即点E到$∠ CAF$两边AB、AC的距离相等，
$\therefore AE$平分$∠ CAF$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
(3) 由(2)可知$EM=EN=EH$，设$EM=EN=EH=h$，
$\because S_{△ ACD} = S_{△ ACE} + S_{△ CDE}$，
且$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}· AC· EN$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}· CD· EH$，
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· h + \frac{1}{2}· CD· h = \frac{1}{2}h(AC+CD)$，
将$AC+CD=14$，$S_{△ ACD}=21$代入得：
$\frac{1}{2} × h ×14 =21$，
解得$h=3$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AB· EM=\frac{1}{2} ×8.5 ×3=12.75$。
【答案】
(1) $∠ ACE=35°$；(2) $AE$平分$∠ CAF$，得证；(3) $△ ABE$的面积为$12.75$
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角的相关计算、角平分线的性质与判定的应用，以及利用割补法求解三角形面积，解题的关键是合理构造辅助线，利用角平分线的性质得到三条垂线段相等，实现已知条件和所求问题的转化，对逻辑推理能力和转化思想的应用有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6
11.如图,点$M(2,2)$,将一个直角三角形的直角顶点放在点$M$处,两直角边分别交$x$轴,$y$轴正半轴于点$A$,$B$,$AP$平分$∠ OAB$交$OM$于点$P$,$PN⊥ x$轴于点$N$,把三角形绕点$M$旋转时:
(1)求证:$OM$平分$∠ AOB$;
(2)求$OA+OB$的值;
(3)$ON+\frac{1}{2}AB$的值是否发生变化?试证明你的结论.
(1)求证:$OM$平分$∠ AOB$;
(2)求$OA+OB$的值;
(3)$ON+\frac{1}{2}AB$的值是否发生变化?试证明你的结论.
答案
(1) 证明：
过点$M$作$ME⊥ x$轴于$E$，$MF⊥ y$轴于$F$。
$\because M(2,2)$，
$\therefore ME=MF=2$，
又$\because ME⊥ OA$，$MF⊥ OB$，
$\therefore$ 点$M$在$∠ AOB$的平分线上，
即$OM$平分$∠ AOB$。
---
(2) 解：
$\because ME⊥ x$轴，$MF⊥ y$轴，$∠ EOF=90°$，
$\therefore$ 四边形$OEMF$是矩形，
$\therefore ∠ EMF=90°$，
$\because ∠ AMB=90°$，
$\therefore ∠ EMF - ∠ AMF = ∠ AMB - ∠ AMF$，即$∠ AME=∠ BMF$。
在$△ AME$和$△ BMF$中：
$\begin{cases}∠ AEM=∠ BFM=90° \\ME=MF \\∠ AME=∠ BMF\end{cases}$
$\therefore △ AME ≌ △ BMF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=BF$。
$\because OE=OF=2$，
$\therefore OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF=2+2=4$。
---
(3) 解：
$ON+\frac{1}{2}AB$的值不发生变化，恒为2，证明如下：
过点$P$作$PR⊥ y$轴于$R$，$PQ⊥ AB$于$Q$。
$\because AP$平分$∠ OAB$，$PN⊥ x$轴，$PQ⊥ AB$，
$\therefore PN=PQ$。
由(1)知$OM$平分$∠ AOB$，$PN⊥ x$轴，$PR⊥ y$轴，
$\therefore PN=PR$，
$\therefore PN=PR=PQ$。
由角平分线性质可得：$AN=AQ$，$BR=BQ$，$ON=OR$，
$\therefore OA+OB=ON+AN+OR+BR=2ON+AQ+BQ=2ON+AB$。
由(2)知$OA+OB=4$，
$\therefore 2ON+AB=4$，
两边同除以2得：$ON+\frac{1}{2}AB=2$，
故$ON+\frac{1}{2}AB$的值不发生变化，恒为2。
过点$M$作$ME⊥ x$轴于$E$，$MF⊥ y$轴于$F$。
$\because M(2,2)$，
$\therefore ME=MF=2$，
又$\because ME⊥ OA$，$MF⊥ OB$，
$\therefore$ 点$M$在$∠ AOB$的平分线上，
即$OM$平分$∠ AOB$。
---
(2) 解：
$\because ME⊥ x$轴，$MF⊥ y$轴，$∠ EOF=90°$，
$\therefore$ 四边形$OEMF$是矩形，
$\therefore ∠ EMF=90°$，
$\because ∠ AMB=90°$，
$\therefore ∠ EMF - ∠ AMF = ∠ AMB - ∠ AMF$，即$∠ AME=∠ BMF$。
在$△ AME$和$△ BMF$中：
$\begin{cases}∠ AEM=∠ BFM=90° \\ME=MF \\∠ AME=∠ BMF\end{cases}$
$\therefore △ AME ≌ △ BMF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=BF$。
$\because OE=OF=2$，
$\therefore OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF=2+2=4$。
---
(3) 解：
$ON+\frac{1}{2}AB$的值不发生变化，恒为2，证明如下：
过点$P$作$PR⊥ y$轴于$R$，$PQ⊥ AB$于$Q$。
$\because AP$平分$∠ OAB$，$PN⊥ x$轴，$PQ⊥ AB$，
$\therefore PN=PQ$。
由(1)知$OM$平分$∠ AOB$，$PN⊥ x$轴，$PR⊥ y$轴，
$\therefore PN=PR$，
$\therefore PN=PR=PQ$。
由角平分线性质可得：$AN=AQ$，$BR=BQ$，$ON=OR$，
$\therefore OA+OB=ON+AN+OR+BR=2ON+AQ+BQ=2ON+AB$。
由(2)知$OA+OB=4$，
$\therefore 2ON+AB=4$，
两边同除以2得：$ON+\frac{1}{2}AB=2$，
故$ON+\frac{1}{2}AB$的值不发生变化，恒为2。
解析
【分析】
(1) 要证明OM平分∠AOB，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此过点M向x轴、y轴作垂线，结合M的坐标证明两条垂线段长度相等即可。
(2) 求OA+OB的定值，可借助(1)中所作的两条垂线，证明△AME和△BMF全等，将AE转化为BF，再把OA、OB拆分为OE、AE、OF、BF的和差形式，消去相等的线段即可求出结果。
(3) 判断$ON+\frac{1}{2}AB$是否变化，需利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点P同时在∠AOB和∠OAB的平分线上，因此P到△OAB三边的距离相等，可推导出几组对应相等的线段，将OA+OB转化为含ON和AB的式子，再结合(2)中OA+OB=4的结论，即可推导得到定值。
【解析】
(1) 证明：
过点$M$作$ME⊥ x$轴于$E$，$MF⊥ y$轴于$F$。
$\because M(2,2)$，
$\therefore ME=MF=2$，
又$\because ME⊥ OA$，$MF⊥ OB$，
$\therefore$ 点$M$在$∠ AOB$的平分线上，
即$OM$平分$∠ AOB$。
(2) 解：
$\because ME⊥ x$轴，$MF⊥ y$轴，$∠ EOF=90°$，
$\therefore$ 四边形$OEMF$是矩形，
$\therefore ∠ EMF=90°$，
$\because ∠ AMB=90°$，
$\therefore ∠ EMF - ∠ AMF = ∠ AMB - ∠ AMF$，即$∠ AME=∠ BMF$。
在$△ AME$和$△ BMF$中：
$\begin{cases}∠ AEM=∠ BFM=90° \\ME=MF \\∠ AME=∠ BMF\end{cases}$
$\therefore △ AME ≌ △ BMF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=BF$。
$\because OE=OF=2$，
$\therefore OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF=2+2=4$。
(3) 解：
$ON+\frac{1}{2}AB$的值不发生变化，恒为2，证明如下：
过点$P$作$PR⊥ y$轴于$R$，$PQ⊥ AB$于$Q$。
$\because AP$平分$∠ OAB$，$PN⊥ x$轴，$PQ⊥ AB$，
$\therefore PN=PQ$。
由(1)知$OM$平分$∠ AOB$，$PN⊥ x$轴，$PR⊥ y$轴，
$\therefore PN=PR$，
$\therefore PN=PR=PQ$。
由角平分线性质可得：$AN=AQ$，$BR=BQ$，$ON=OR$，
$\therefore OA+OB=ON+AN+OR+BR=2ON+AQ+BQ=2ON+AB$。
由(2)知$OA+OB=4$，
$\therefore 2ON+AB=4$，
两边同除以2得：$ON+\frac{1}{2}AB=2$，
故$ON+\frac{1}{2}AB$的值不发生变化，恒为2。
【答案】
(1) OM平分∠AOB，得证；
(2) $OA+OB=4$；
(3) $ON+\frac{1}{2}AB$的值不变，恒为2。
【知识点】
角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线相关定理、全等三角形的证明及几何变换中的定值问题，解题的关键是结合已知条件合理构造辅助线，通过全等转化线段关系，结合角平分线的性质建立不同线段间的联系，能够较好地锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明OM平分∠AOB，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此过点M向x轴、y轴作垂线，结合M的坐标证明两条垂线段长度相等即可。
(2) 求OA+OB的定值，可借助(1)中所作的两条垂线，证明△AME和△BMF全等，将AE转化为BF，再把OA、OB拆分为OE、AE、OF、BF的和差形式，消去相等的线段即可求出结果。
(3) 判断$ON+\frac{1}{2}AB$是否变化，需利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点P同时在∠AOB和∠OAB的平分线上，因此P到△OAB三边的距离相等，可推导出几组对应相等的线段，将OA+OB转化为含ON和AB的式子，再结合(2)中OA+OB=4的结论，即可推导得到定值。
【解析】
(1) 证明：
过点$M$作$ME⊥ x$轴于$E$，$MF⊥ y$轴于$F$。
$\because M(2,2)$，
$\therefore ME=MF=2$，
又$\because ME⊥ OA$，$MF⊥ OB$，
$\therefore$ 点$M$在$∠ AOB$的平分线上，
即$OM$平分$∠ AOB$。
(2) 解：
$\because ME⊥ x$轴，$MF⊥ y$轴，$∠ EOF=90°$，
$\therefore$ 四边形$OEMF$是矩形，
$\therefore ∠ EMF=90°$，
$\because ∠ AMB=90°$，
$\therefore ∠ EMF - ∠ AMF = ∠ AMB - ∠ AMF$，即$∠ AME=∠ BMF$。
在$△ AME$和$△ BMF$中：
$\begin{cases}∠ AEM=∠ BFM=90° \\ME=MF \\∠ AME=∠ BMF\end{cases}$
$\therefore △ AME ≌ △ BMF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=BF$。
$\because OE=OF=2$，
$\therefore OA+OB=(OE+AE)+(OF-BF)=OE+OF=2+2=4$。
(3) 解：
$ON+\frac{1}{2}AB$的值不发生变化，恒为2，证明如下：
过点$P$作$PR⊥ y$轴于$R$，$PQ⊥ AB$于$Q$。
$\because AP$平分$∠ OAB$，$PN⊥ x$轴，$PQ⊥ AB$，
$\therefore PN=PQ$。
由(1)知$OM$平分$∠ AOB$，$PN⊥ x$轴，$PR⊥ y$轴，
$\therefore PN=PR$，
$\therefore PN=PR=PQ$。
由角平分线性质可得：$AN=AQ$，$BR=BQ$，$ON=OR$，
$\therefore OA+OB=ON+AN+OR+BR=2ON+AQ+BQ=2ON+AB$。
由(2)知$OA+OB=4$，
$\therefore 2ON+AB=4$，
两边同除以2得：$ON+\frac{1}{2}AB=2$，
故$ON+\frac{1}{2}AB$的值不发生变化，恒为2。
【答案】
(1) OM平分∠AOB，得证；
(2) $OA+OB=4$；
(3) $ON+\frac{1}{2}AB$的值不变，恒为2。
【知识点】
角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线相关定理、全等三角形的证明及几何变换中的定值问题，解题的关键是结合已知条件合理构造辅助线，通过全等转化线段关系，结合角平分线的性质建立不同线段间的联系，能够较好地锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.5
