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如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于D，有下列结论：①△ABE≌△ACF；
②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上.其中正确的是()
A.只有①
B.只有②
C.只有①和②
D.①②③
②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上.其中正确的是()
A.只有①
B.只有②
C.只有①和②
D.①②③
答案
D
解析
【分析】
解题时可按结论顺序逐一验证：①先找△ABE和△ACF的相等元素，已知AB=AC，两个三角形都有公共角∠A，且BE、CF分别垂直于AC、AB可得两个直角相等，用AAS即可判定全等；②由①的全等结论可推出CE=BF，再结合对顶角相等、直角相等，用AAS即可判定△BDF和△CDE全等；③由②的全等结论可得DE=DF，再根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即可判断点D在∠BAC的平分线上。
【解析】
1. 验证结论①：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=90°。
在△ABE和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ AFC\\ ∠ A=∠ A\\ AB=AC\end{array} $
∴△ABE≌△ACF（AAS），故①正确。
2. 验证结论②：
由△ABE≌△ACF可得AE=AF，
∵AC=AB，
∴AC-AE=AB-AF，即CE=BF。
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BFD=∠ CED=90°\\ ∠ BDF=∠ CDE（对顶角相等）\\ BF=CE\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（AAS），故②正确。
3. 验证结论③：
由△BDF≌△CDE可得DE=DF，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，即点D到∠BAC的两边AB、AC的距离相等，
根据角平分线的判定定理，可知点D在∠BAC的平分线上，故③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，需要从已知条件出发逐步推导全等所需的边、角相等条件，再结合角平分线的判定定理完成验证，解题时注意逻辑连贯，每一步推导都要有对应的定理支撑。
【难度系数】
0.7
解题时可按结论顺序逐一验证：①先找△ABE和△ACF的相等元素，已知AB=AC，两个三角形都有公共角∠A，且BE、CF分别垂直于AC、AB可得两个直角相等，用AAS即可判定全等；②由①的全等结论可推出CE=BF，再结合对顶角相等、直角相等，用AAS即可判定△BDF和△CDE全等；③由②的全等结论可得DE=DF，再根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即可判断点D在∠BAC的平分线上。
【解析】
1. 验证结论①：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=90°。
在△ABE和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ AFC\\ ∠ A=∠ A\\ AB=AC\end{array} $
∴△ABE≌△ACF（AAS），故①正确。
2. 验证结论②：
由△ABE≌△ACF可得AE=AF，
∵AC=AB，
∴AC-AE=AB-AF，即CE=BF。
在△BDF和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BFD=∠ CED=90°\\ ∠ BDF=∠ CDE（对顶角相等）\\ BF=CE\end{array} $
∴△BDF≌△CDE（AAS），故②正确。
3. 验证结论③：
由△BDF≌△CDE可得DE=DF，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，即点D到∠BAC的两边AB、AC的距离相等，
根据角平分线的判定定理，可知点D在∠BAC的平分线上，故③正确。
综上，①②③都正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，需要从已知条件出发逐步推导全等所需的边、角相等条件，再结合角平分线的判定定理完成验证，解题时注意逻辑连贯，每一步推导都要有对应的定理支撑。
【难度系数】
0.7
1.如图,点P在∠AOB内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,OC=4 cm,当OD= cm时,点P在∠AOB的平分线上.
第1题图 第2题图
第1题图 第2题图
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时先明确目标：找到OD的长度使得点P在∠AOB的平分线上。首先联想角平分线相关知识，若点P在∠AOB的平分线上，则OP为角平分线，结合PC⊥OA、PD⊥OB的垂直条件，可通过证明△OCP和△ODP全等得到OD与OC的等量关系，代入已知OC的长度即可求出OD的值。
【解析】
若点P在∠AOB的平分线上，则OP平分∠AOB，即$∠ COP=∠ DOP$。
$\because PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，
$\therefore ∠ PCO=∠ PDO=90°$。
在$△ OCP$和$△ ODP$中：
$\begin{cases}∠ PCO=∠ PDO \\∠ COP=∠ DOP \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore △ OCP≌△ ODP\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OC$。
已知$OC=4\ \mathrm{cm}$，因此$OD=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，主要考察角平分线相关知识与全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定方法，结合图形找到边的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确目标：找到OD的长度使得点P在∠AOB的平分线上。首先联想角平分线相关知识，若点P在∠AOB的平分线上，则OP为角平分线，结合PC⊥OA、PD⊥OB的垂直条件，可通过证明△OCP和△ODP全等得到OD与OC的等量关系，代入已知OC的长度即可求出OD的值。
【解析】
若点P在∠AOB的平分线上，则OP平分∠AOB，即$∠ COP=∠ DOP$。
$\because PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，
$\therefore ∠ PCO=∠ PDO=90°$。
在$△ OCP$和$△ ODP$中：
$\begin{cases}∠ PCO=∠ PDO \\∠ COP=∠ DOP \\OP=OP\end{cases}$
$\therefore △ OCP≌△ ODP\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OC$。
已知$OC=4\ \mathrm{cm}$，因此$OD=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，主要考察角平分线相关知识与全等三角形的应用，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定方法，结合图形找到边的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，AB//CD，点P到AB，BC，CD的距离都相等，则∠P=。
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“点P到AB，BC，CD的距离都相等”入手，根据角平分线的判定定理，可推出BP是∠ABC的角平分线、CP是∠BCD的角平分线；再结合AB//CD的性质，得到∠ABC与∠BCD的和为180°，进而求出两个角的一半的和；最后利用三角形内角和定理即可算出∠P的度数。
【解析】
∵ 点P到AB、BC的距离相等，
∴ BP平分∠ABC，即$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
同理，点P到BC、CD的距离相等，
∴ CP平分∠BCD，即$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ BCD$。
∵ AB//CD，
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ $∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180°=90°$。
在$△ PBC$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ P = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的判定，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过“到角两边距离相等的点在角的平分线上”推出两条角平分线，再结合平行线和三角形内角和的性质计算角度，是角平分线性质相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“点P到AB，BC，CD的距离都相等”入手，根据角平分线的判定定理，可推出BP是∠ABC的角平分线、CP是∠BCD的角平分线；再结合AB//CD的性质，得到∠ABC与∠BCD的和为180°，进而求出两个角的一半的和；最后利用三角形内角和定理即可算出∠P的度数。
【解析】
∵ 点P到AB、BC的距离相等，
∴ BP平分∠ABC，即$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$。
同理，点P到BC、CD的距离相等，
∴ CP平分∠BCD，即$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ BCD$。
∵ AB//CD，
∴ $∠ ABC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ $∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180°=90°$。
在$△ PBC$中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ P = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的判定，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过“到角两边距离相等的点在角的平分线上”推出两条角平分线，再结合平行线和三角形内角和的性质计算角度，是角平分线性质相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
3.如图，直线$l_1,l_2,l_3$表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有处。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
要找到到三条两两相交公路距离都相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到任意两条公路距离相等的点，都在这两条公路所夹角的角平分线上。我们分两类讨论符合条件的点：第一类是三条公路围成的三角形内部的点，第二类是三角形外部的点，分别统计两类点的数量相加即可得到总个数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条直线两两相交形成一个三角形，三角形的三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离都相等，为1处可选地址；
2. 三角形任意两个外角的角平分线交于1点，这类交点共有3个，每个交点到三条公路的距离也都相等，为另外3处可选地址。
总可选地址数量为$1+3=4$处。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题时容易仅考虑三角形内部的内角平分线交点，遗漏外部的外角平分线交点，需注意全面分析所有符合条件的交点，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要找到到三条两两相交公路距离都相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此到任意两条公路距离相等的点，都在这两条公路所夹角的角平分线上。我们分两类讨论符合条件的点：第一类是三条公路围成的三角形内部的点，第二类是三角形外部的点，分别统计两类点的数量相加即可得到总个数。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条直线两两相交形成一个三角形，三角形的三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离都相等，为1处可选地址；
2. 三角形任意两个外角的角平分线交于1点，这类交点共有3个，每个交点到三条公路的距离也都相等，为另外3处可选地址。
总可选地址数量为$1+3=4$处。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题时容易仅考虑三角形内部的内角平分线交点，遗漏外部的外角平分线交点，需注意全面分析所有符合条件的交点，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4.如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:
①以点$A$为圆心,适当长度为半径作弧,分别交$AB$,$AC$于点$M$,$N$;②分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧交于点$P$;③作射线$AP$交$BC$于点$D$.
若$AB:AC=2:3$,$△ ABD$的面积为$2$,则$△ ACD$的面积为.
①以点$A$为圆心,适当长度为半径作弧,分别交$AB$,$AC$于点$M$,$N$;②分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧交于点$P$;③作射线$AP$交$BC$于点$D$.
若$AB:AC=2:3$,$△ ABD$的面积为$2$,则$△ ACD$的面积为.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断出所作射线AD是∠BAC的角平分线；再根据角平分线的性质，可得点D到AB、AC两边的距离相等，即△ABD中AB边上的高与△ACD中AC边上的高相等；最后根据等高三角形的面积比等于对应底边长的比，结合已知的AB:AC的比值和△ABD的面积，即可求出△ACD的面积。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线，
∴点D到AB、AC的距离相等，设该距离为h。
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · h = 2$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · h$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}$，
将$S_{△ ABD}=2$代入得：$\frac{2}{S_{△ ACD}}=\frac{2}{3}$，
解得$S_{△ ACD}=3$。
【答案】$\boldsymbol{3}$
【知识点】角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】本题解题的关键是先识别尺规作图的类型得到角平分线，再利用角平分线的性质得到两个三角形等高，结合等高三角形面积与底的比例关系即可求解，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】0.7
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线，
∴点D到AB、AC的距离相等，设该距离为h。
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · h = 2$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · h$，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}$，
将$S_{△ ABD}=2$代入得：$\frac{2}{S_{△ ACD}}=\frac{2}{3}$，
解得$S_{△ ACD}=3$。
【答案】$\boldsymbol{3}$
【知识点】角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】本题解题的关键是先识别尺规作图的类型得到角平分线，再利用角平分线的性质得到两个三角形等高，结合等高三角形面积与底的比例关系即可求解，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】0.7
5. 如图，OC是$∠ AOB$内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$.下列条件中：①$∠ AOC=∠ BOC$；②$PD=PE$；③$OD=OE$；④$∠ DPO=∠ EPO$.能判定OC是$∠ AOB$的角平分线的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
要判定OC是∠AOB的角平分线，核心是证明∠AOC=∠BOC。已知PD⊥OA、PE⊥OB，可得△ODP和△OEP均为直角三角形，我们可结合给出的4个条件，分别判断是否能推导得到∠AOC=∠BOC，或符合角平分线的判定定理即可。
【解析】
已知PD⊥OA，PE⊥OB，因此∠ODP=∠OEP=90°。
对四个条件逐一分析：
①若∠AOC=∠BOC，根据角平分线的定义，可直接判定OC是∠AOB的角平分线，符合要求；
②若PD=PE，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，点P在OC上，因此OC平分∠AOB，符合要求；
③若OD=OE，在Rt△ODP和Rt△OEP中，$\{\begin{array}{l}OD=OE\\ OP=OP(公共边)\end{array} $，根据HL可证Rt△ODP≌Rt△OEP，因此∠DOP=∠EOP，即OC平分∠AOB，符合要求；
④若∠DPO=∠EPO，在△ODP和△OEP中，$\{\begin{array}{l}∠ ODP=∠ OEP\\ ∠ DPO=∠ EPO\\ OP=OP(公共边)\end{array} $，根据AAS可证△ODP≌△OEP，因此∠DOP=∠EOP，即OC平分∠AOB，符合要求。
综上，4个条件都能判定OC是∠AOB的角平分线。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕角平分线的判定展开，既可以直接利用角平分线的判定定理快速判断，也可以通过证明三角形全等来推导角相等，解题时需要灵活选择方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.8
要判定OC是∠AOB的角平分线，核心是证明∠AOC=∠BOC。已知PD⊥OA、PE⊥OB，可得△ODP和△OEP均为直角三角形，我们可结合给出的4个条件，分别判断是否能推导得到∠AOC=∠BOC，或符合角平分线的判定定理即可。
【解析】
已知PD⊥OA，PE⊥OB，因此∠ODP=∠OEP=90°。
对四个条件逐一分析：
①若∠AOC=∠BOC，根据角平分线的定义，可直接判定OC是∠AOB的角平分线，符合要求；
②若PD=PE，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，点P在OC上，因此OC平分∠AOB，符合要求；
③若OD=OE，在Rt△ODP和Rt△OEP中，$\{\begin{array}{l}OD=OE\\ OP=OP(公共边)\end{array} $，根据HL可证Rt△ODP≌Rt△OEP，因此∠DOP=∠EOP，即OC平分∠AOB，符合要求；
④若∠DPO=∠EPO，在△ODP和△OEP中，$\{\begin{array}{l}∠ ODP=∠ OEP\\ ∠ DPO=∠ EPO\\ OP=OP(公共边)\end{array} $，根据AAS可证△ODP≌△OEP，因此∠DOP=∠EOP，即OC平分∠AOB，符合要求。
综上，4个条件都能判定OC是∠AOB的角平分线。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕角平分线的判定展开，既可以直接利用角平分线的判定定理快速判断，也可以通过证明三角形全等来推导角相等，解题时需要灵活选择方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.8
6. 在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，
到∠AOB 两边距离相等的点应是()
A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
到∠AOB 两边距离相等的点应是()
A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求是找到到∠AOB两边距离相等的点，结合角平分线的性质和判定可知，这类点都在∠AOB的角平分线上，因此问题转化为判断四个点中哪个点落在∠AOB的角平分线上。接下来结合正方形网格的特点，观察∠AOB的两边走势，即可定位角平分线经过的点。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此我们需要找到在∠AOB角平分线上的点。
观察网格中∠AOB的位置，画出其角平分线，可发现只有点M在∠AOB的角平分线上，点P、Q、N均不在该角平分线上，因此符合要求的点是点M。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题结合网格图形考查角平分线的相关知识，属于基础题型，解题关键是熟练掌握角平分线的性质与判定，结合图形直观观察即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目要求是找到到∠AOB两边距离相等的点，结合角平分线的性质和判定可知，这类点都在∠AOB的角平分线上，因此问题转化为判断四个点中哪个点落在∠AOB的角平分线上。接下来结合正方形网格的特点，观察∠AOB的两边走势，即可定位角平分线经过的点。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此我们需要找到在∠AOB角平分线上的点。
观察网格中∠AOB的位置，画出其角平分线，可发现只有点M在∠AOB的角平分线上，点P、Q、N均不在该角平分线上，因此符合要求的点是点M。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题结合网格图形考查角平分线的相关知识，属于基础题型，解题关键是熟练掌握角平分线的性质与判定，结合图形直观观察即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
