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例1 如图,已知$PB⊥AB,PC⊥AC$,且$PB=PC$,D是AP上一点,求证:$∠BDP=∠CDP$.
【思路导析】要证明$∠BDP=∠CDP$,可先用“HL”证明$△ABP$与$△ACP$全等,然后再证明$△BDP$与$△CDP$全等,从而证明两角相等.注意可以利用角平分线的判定证明.
【请你证明】
【思路导析】要证明$∠BDP=∠CDP$,可先用“HL”证明$△ABP$与$△ACP$全等,然后再证明$△BDP$与$△CDP$全等,从而证明两角相等.注意可以利用角平分线的判定证明.
【请你证明】
答案
证明：
∵ $PB⊥AB$，$PC⊥AC$，$PB=PC$，
∴ 点P在$∠BAC$的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
即AP平分$∠BAC$，
∴ $∠BAP=∠CAP$。
∴ $∠ABP=∠ACP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ ACP$中，
$\begin{cases} AP=AP \\ PB=PC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABP ≌ \mathrm{Rt}△ ACP(\mathrm{HL})$，
∴ $∠APB=∠APC$。
在$△ BDP$和$△ CDP$中，
$\begin{cases} PB=PC \\ ∠DPB=∠DPC \\ DP=DP \end{cases}$
∴ $△ BDP ≌ △ CDP(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠BDP=∠CDP$。
∵ $PB⊥AB$，$PC⊥AC$，$PB=PC$，
∴ 点P在$∠BAC$的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
即AP平分$∠BAC$，
∴ $∠BAP=∠CAP$。
∴ $∠ABP=∠ACP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ ACP$中，
$\begin{cases} AP=AP \\ PB=PC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABP ≌ \mathrm{Rt}△ ACP(\mathrm{HL})$，
∴ $∠APB=∠APC$。
在$△ BDP$和$△ CDP$中，
$\begin{cases} PB=PC \\ ∠DPB=∠DPC \\ DP=DP \end{cases}$
∴ $△ BDP ≌ △ CDP(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠BDP=∠CDP$。
解析
【分析】
要证明∠BDP=∠CDP，可通过证明两角所在的△BDP与△CDP全等推导。已知PB=PC，DP是两个三角形的公共边，因此只需证明两三角形的夹角∠DPB=∠DPC即可。要得到∠DPB=∠DPC，可先证明Rt△ABP与Rt△ACP全等：结合已知PB⊥AB、PC⊥AC且PB=PC，由角平分线的判定可知AP平分∠BAC，再根据HL定理即可证明Rt△ABP≌Rt△ACP，得到∠APB=∠APC，最后利用SAS证明△BDP≌△CDP，即可推出∠BDP=∠CDP。
【解析】
证明：
∵ $PB⊥AB$，$PC⊥AC$，$PB=PC$，
∴ 点P在$∠BAC$的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
即AP平分$∠BAC$，
∴ $∠BAP=∠CAP$。
∵ $∠ABP=∠ACP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ ACP$中，
$\begin{cases} AP=AP \\ PB=PC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABP ≌ \mathrm{Rt}△ ACP(\mathrm{HL})$，
∴ $∠APB=∠APC$。
在$△ BDP$和$△ CDP$中，
$\begin{cases} PB=PC \\ ∠DPB=∠DPC \\ DP=DP \end{cases}$
∴ $△ BDP ≌ △ CDP(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠BDP=∠CDP$。
【答案】
∠BDP=∠CDP，得证
【知识点】
角平分线的判定、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题考察几何证明的逻辑推导能力，解题时可从待证结论逆向分析所需条件，再结合已知正向推导，理清两次全等的证明逻辑是解题的关键，能帮助学生巩固角平分线和全等三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
要证明∠BDP=∠CDP，可通过证明两角所在的△BDP与△CDP全等推导。已知PB=PC，DP是两个三角形的公共边，因此只需证明两三角形的夹角∠DPB=∠DPC即可。要得到∠DPB=∠DPC，可先证明Rt△ABP与Rt△ACP全等：结合已知PB⊥AB、PC⊥AC且PB=PC，由角平分线的判定可知AP平分∠BAC，再根据HL定理即可证明Rt△ABP≌Rt△ACP，得到∠APB=∠APC，最后利用SAS证明△BDP≌△CDP，即可推出∠BDP=∠CDP。
【解析】
证明：
∵ $PB⊥AB$，$PC⊥AC$，$PB=PC$，
∴ 点P在$∠BAC$的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
即AP平分$∠BAC$，
∴ $∠BAP=∠CAP$。
∵ $∠ABP=∠ACP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ ACP$中，
$\begin{cases} AP=AP \\ PB=PC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABP ≌ \mathrm{Rt}△ ACP(\mathrm{HL})$，
∴ $∠APB=∠APC$。
在$△ BDP$和$△ CDP$中，
$\begin{cases} PB=PC \\ ∠DPB=∠DPC \\ DP=DP \end{cases}$
∴ $△ BDP ≌ △ CDP(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠BDP=∠CDP$。
【答案】
∠BDP=∠CDP，得证
【知识点】
角平分线的判定、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题考察几何证明的逻辑推导能力，解题时可从待证结论逆向分析所需条件，再结合已知正向推导，理清两次全等的证明逻辑是解题的关键，能帮助学生巩固角平分线和全等三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
例2 如图,在$△ ABC$中,$BD=CD$,$∠ 1=∠ 2$. 求证:$AD$平分$∠ BAC$.【思路导析】过$D$作$AB$,$AC$的垂线,通过三角形全等证明两条垂线段相等,由角平分线的判定可知$AD$平分$∠ BAC$.
【请你证明】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 角平分线的性质与判定的综合
运用
答案
证明：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BDE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠BED=∠CFD \\∠1=∠2 \\BD=CD\end{array} $
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF。
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD平分∠BAC。
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BDE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠BED=∠CFD \\∠1=∠2 \\BD=CD\end{array} $
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF。
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD平分∠BAC。
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只要证明点D到AB、AC的距离相等即可。我们可以先过D作AB、AC的垂线段DE、DF，构造出两个直角三角形；再结合已知的∠1=∠2、BD=CD，用AAS证明△BDE和△CDF全等，由全等三角形的性质得到DE=DF；最后根据角平分线的判定定理就能推出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases}∠BED=∠CFD \\∠1=∠2 \\BD=CD\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD平分∠BAC。
【答案】
证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases}∠BED=∠CFD \\∠1=∠2 \\BD=CD\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD平分∠BAC。
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线性质与判定综合应用的基础题型，解题关键是掌握“证明角平分线时，可通过作垂线证明点到角两边距离相等”的思路，这种构造垂线段的辅助线方法在角平分线相关问题中十分常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只要证明点D到AB、AC的距离相等即可。我们可以先过D作AB、AC的垂线段DE、DF，构造出两个直角三角形；再结合已知的∠1=∠2、BD=CD，用AAS证明△BDE和△CDF全等，由全等三角形的性质得到DE=DF；最后根据角平分线的判定定理就能推出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases}∠BED=∠CFD \\∠1=∠2 \\BD=CD\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD平分∠BAC。
【答案】
证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases}∠BED=∠CFD \\∠1=∠2 \\BD=CD\end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD平分∠BAC。
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线性质与判定综合应用的基础题型，解题关键是掌握“证明角平分线时，可通过作垂线证明点到角两边距离相等”的思路，这种构造垂线段的辅助线方法在角平分线相关问题中十分常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6
例3 如图,在$△ ABC$中,试证明:
(1)若$AD$为$∠ BAC$的平分线,则$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=AB:AC$;
(2)设$D$为$BC$上的一点,连接$AD$.若$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC$,则$AD$为$∠ BAC$的平分线.
【思路导析】过点$D$作$AB$和$AC$的垂线段,则两条线段分别为$△ ABD$和$△ ACD$的边$AB$和$AC$上的高,若$AD$为$∠ BAC$的平分线,则两条垂线段相等,所以三角形的面积比等于底边的比,反之亦然.
【示范证明】(1)如图,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,且$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,
$\therefore S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = (\dfrac{1}{2}AB· DE): (\dfrac{1}{2}AC· DF)=AB:AC$.
(2)$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = (\dfrac{1}{2}AB· DE): (\dfrac{1}{2}AC· DF)=AB:AC$,
$\therefore DE=DF$.
又$\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$,即$AD$为$∠ BAC$的平分线.
$(\dfrac{1}{2}AC· DF)=AB:AC$,
$\therefore DE=DF$.
又$\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$,即$AD$为$∠ BAC$的平分线.
(1)若$AD$为$∠ BAC$的平分线,则$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=AB:AC$;
(2)设$D$为$BC$上的一点,连接$AD$.若$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC$,则$AD$为$∠ BAC$的平分线.
【思路导析】过点$D$作$AB$和$AC$的垂线段,则两条线段分别为$△ ABD$和$△ ACD$的边$AB$和$AC$上的高,若$AD$为$∠ BAC$的平分线,则两条垂线段相等,所以三角形的面积比等于底边的比,反之亦然.
【示范证明】(1)如图,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,且$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,
$\therefore DE=DF$,
$\therefore S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = (\dfrac{1}{2}AB· DE): (\dfrac{1}{2}AC· DF)=AB:AC$.
(2)$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = (\dfrac{1}{2}AB· DE): (\dfrac{1}{2}AC· DF)=AB:AC$,
$\therefore DE=DF$.
又$\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$,即$AD$为$∠ BAC$的平分线.
$(\dfrac{1}{2}AC· DF)=AB:AC$,
$\therefore DE=DF$.
又$\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$,即$AD$为$∠ BAC$的平分线.
答案
证明：
(1) 过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because S_{△ ABD} = \dfrac{1}{2} AB · DE$，$S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2} AC · DF$，
$\therefore S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = ( \dfrac{1}{2} AB · DE ): ( \dfrac{1}{2} AC · DF ) = AB:AC$。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。
$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = ( \dfrac{1}{2} AB · DE ): ( \dfrac{1}{2} AC · DF ) = (AB · DE):(AC · DF)$，
又$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = AB:AC$，
$\therefore (AB · DE):(AC · DF) = AB:AC$，
化简得$DE = DF$。
又$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即$AD$为$∠ BAC$的平分线。
(1) 过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because S_{△ ABD} = \dfrac{1}{2} AB · DE$，$S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2} AC · DF$，
$\therefore S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = ( \dfrac{1}{2} AB · DE ): ( \dfrac{1}{2} AC · DF ) = AB:AC$。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。
$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = ( \dfrac{1}{2} AB · DE ): ( \dfrac{1}{2} AC · DF ) = (AB · DE):(AC · DF)$，
又$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = AB:AC$，
$\therefore (AB · DE):(AC · DF) = AB:AC$，
化简得$DE = DF$。
又$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即$AD$为$∠ BAC$的平分线。
解析
【分析】
要证明面积比与角平分线的双向关联，核心是结合三角形面积公式，联系角平分线的性质与判定定理。解题时先过点D向AB、AC作垂线段DE、DF，二者分别是△ABD、△ACD对应底边AB、AC上的高：（1）已知AD是角平分线，由角平分线性质可得两条高相等，代入面积公式约分化简即可得到面积比等于AB:AC；（2）已知面积比为AB:AC，代入面积公式化简可推出两条高相等，再由角平分线判定定理即可证明AD为角平分线。
【解析】
(1) 过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because S_{△ ABD} = \dfrac{1}{2} AB · DE$，$S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2} AC · DF$，
$\therefore S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = ( \dfrac{1}{2} AB · DE ): ( \dfrac{1}{2} AC · DF ) = AB:AC$。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。
$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = ( \dfrac{1}{2} AB · DE ): ( \dfrac{1}{2} AC · DF ) = (AB · DE):(AC · DF)$，
又$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = AB:AC$，
$\therefore (AB · DE):(AC · DF) = AB:AC$，
化简得$DE = DF$。
又$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即$AD$为$∠ BAC$的平分线。
【答案】
证明过程如上：
(1) 可证得$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=AB:AC$；
(2) 可证得$AD$为$∠ BAC$的平分线。
【知识点】
角平分线的性质、角平分线的判定、三角形面积公式
【点评】
本题是角平分线相关定理的典型应用，通过作点到角两边的垂线这一常用辅助线，将面积比、线段比、角的等量关系关联起来，既考查正向推理能力，也考查逆向推导的逻辑严谨性，熟练掌握辅助线做法和相关定理是解题关键。
【难度系数】
0.7
要证明面积比与角平分线的双向关联，核心是结合三角形面积公式，联系角平分线的性质与判定定理。解题时先过点D向AB、AC作垂线段DE、DF，二者分别是△ABD、△ACD对应底边AB、AC上的高：（1）已知AD是角平分线，由角平分线性质可得两条高相等，代入面积公式约分化简即可得到面积比等于AB:AC；（2）已知面积比为AB:AC，代入面积公式化简可推出两条高相等，再由角平分线判定定理即可证明AD为角平分线。
【解析】
(1) 过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because S_{△ ABD} = \dfrac{1}{2} AB · DE$，$S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2} AC · DF$，
$\therefore S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = ( \dfrac{1}{2} AB · DE ): ( \dfrac{1}{2} AC · DF ) = AB:AC$。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。
$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = ( \dfrac{1}{2} AB · DE ): ( \dfrac{1}{2} AC · DF ) = (AB · DE):(AC · DF)$，
又$\because S_{△ ABD}: S_{△ ACD} = AB:AC$，
$\therefore (AB · DE):(AC · DF) = AB:AC$，
化简得$DE = DF$。
又$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即$AD$为$∠ BAC$的平分线。
【答案】
证明过程如上：
(1) 可证得$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=AB:AC$；
(2) 可证得$AD$为$∠ BAC$的平分线。
【知识点】
角平分线的性质、角平分线的判定、三角形面积公式
【点评】
本题是角平分线相关定理的典型应用，通过作点到角两边的垂线这一常用辅助线，将面积比、线段比、角的等量关系关联起来，既考查正向推理能力，也考查逆向推导的逻辑严谨性，熟练掌握辅助线做法和相关定理是解题关键。
【难度系数】
0.7
