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7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$D$,过点$C$作$CG⊥ AB$于点$G$,交$AD$于点$E$,过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$.下列结论中正确的个数是()
①$∠ CED=∠ CDE$；
②$S_{△ AEC}:S_{△ AEG}=AC:AG$；
③$∠ ADF=2∠ FDB$.
A.1
B.2
C.3
D.0
①$∠ CED=∠ CDE$；
②$S_{△ AEC}:S_{△ AEG}=AC:AG$；
③$∠ ADF=2∠ FDB$.
A.1
B.2
C.3
D.0
答案
B
解析
【分析】
我们逐个验证三个结论的正确性：①要证∠CED=∠CDE，可结合角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质推导两个角的等量关系；②求两个三角形的面积比，观察可知两个三角形分别以AC、AG为底时，高相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），因此面积比等于底边长的比；③可通过举反例的方式判断结论是否恒成立。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD。
∵∠ACB=90°，
∴∠CDE=90°-∠CAD。
∵CG⊥AB，
∴∠AGE=90°，
∴∠CED=∠AEG=90°-∠BAD。
结合∠CAD=∠BAD，可得∠CDE=∠CED，故①正确。
2. 验证结论②：
过点E作EM⊥AC于点M，
∵AD是∠BAC的平分线，EM⊥AC，EG⊥AB，根据角平分线的性质，得EM=EG。
∵$S_{△AEC}=\frac{1}{2}×AC×EM$，$S_{△AEG}=\frac{1}{2}×AG×EG$，且EM=EG，
∴$S_{△AEC}:S_{△AEG}=AC:AG$，故②正确。
3. 验证结论③：
举反例：若∠B=30°，则∠BAC=90°-30°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∵DF⊥AB，
∴∠ADF=90°-∠BAD=60°，∠FDB=90°-∠B=60°，
此时∠ADF=∠FDB，不满足∠ADF=2∠FDB，故③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线相关的角、面积推导，解题时可逐个分析结论，结合相关性质推导即可，举反例是判断结论是否恒成立的常用简便方法。
【难度系数】
0.65
我们逐个验证三个结论的正确性：①要证∠CED=∠CDE，可结合角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质推导两个角的等量关系；②求两个三角形的面积比，观察可知两个三角形分别以AC、AG为底时，高相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），因此面积比等于底边长的比；③可通过举反例的方式判断结论是否恒成立。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD。
∵∠ACB=90°，
∴∠CDE=90°-∠CAD。
∵CG⊥AB，
∴∠AGE=90°，
∴∠CED=∠AEG=90°-∠BAD。
结合∠CAD=∠BAD，可得∠CDE=∠CED，故①正确。
2. 验证结论②：
过点E作EM⊥AC于点M，
∵AD是∠BAC的平分线，EM⊥AC，EG⊥AB，根据角平分线的性质，得EM=EG。
∵$S_{△AEC}=\frac{1}{2}×AC×EM$，$S_{△AEG}=\frac{1}{2}×AG×EG$，且EM=EG，
∴$S_{△AEC}:S_{△AEG}=AC:AG$，故②正确。
3. 验证结论③：
举反例：若∠B=30°，则∠BAC=90°-30°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∵DF⊥AB，
∴∠ADF=90°-∠BAD=60°，∠FDB=90°-∠B=60°，
此时∠ADF=∠FDB，不满足∠ADF=2∠FDB，故③错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线相关的角、面积推导，解题时可逐个分析结论，结合相关性质推导即可，举反例是判断结论是否恒成立的常用简便方法。
【难度系数】
0.65
8.如图，BD是$∠ ABC$的平分线，$DE ⊥ AB$于点E，$S_{△ ABC}=90$，$AB=18$，$BC=12$，求DE的长。
答案
解：过点D作DF⊥BC于点F。
∵ BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$，
∴ $\frac{1}{2}AB· DE + \frac{1}{2}BC· DF = 90$。
将$AB=18$，$BC=12$，$DF=DE$代入得：
$\frac{1}{2} × 18 · DE + \frac{1}{2} × 12 · DE = 90$，
即 $9DE + 6DE = 90$，
$15DE = 90$，
解得 $DE = 6$。
答：DE的长为6。
∵ BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$，
∴ $\frac{1}{2}AB· DE + \frac{1}{2}BC· DF = 90$。
将$AB=18$，$BC=12$，$DF=DE$代入得：
$\frac{1}{2} × 18 · DE + \frac{1}{2} × 12 · DE = 90$，
即 $9DE + 6DE = 90$，
$15DE = 90$，
解得 $DE = 6$。
答：DE的长为6。
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目已知BD是∠ABC的平分线，DE垂直AB，因此我们可以过D作BC的垂线DF，得到DE=DF。再观察到△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积之和，两个小三角形的底分别为已知的AB、BC，高分别为DE、DF，代入面积公式即可建立关于DE的方程，求解得到DE的长度。
【解析】
过点D作DF⊥BC于点F。
∵ BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$，
∴ $\frac{1}{2}AB· DE + \frac{1}{2}BC· DF = 90$。
将$AB=18$，$BC=12$，$DF=DE$代入得：
$\frac{1}{2} × 18 · DE + \frac{1}{2} × 12 · DE = 90$，
即 $9DE + 6DE = 90$，
$15DE = 90$，
解得 $DE = 6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，通过作辅助线得到两条相等的高，再利用面积和建立方程求解，将几何性质和代数计算结合，需要熟练掌握这种面积法的解题思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目已知BD是∠ABC的平分线，DE垂直AB，因此我们可以过D作BC的垂线DF，得到DE=DF。再观察到△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积之和，两个小三角形的底分别为已知的AB、BC，高分别为DE、DF，代入面积公式即可建立关于DE的方程，求解得到DE的长度。
【解析】
过点D作DF⊥BC于点F。
∵ BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD}$，
∴ $\frac{1}{2}AB· DE + \frac{1}{2}BC· DF = 90$。
将$AB=18$，$BC=12$，$DF=DE$代入得：
$\frac{1}{2} × 18 · DE + \frac{1}{2} × 12 · DE = 90$，
即 $9DE + 6DE = 90$，
$15DE = 90$，
解得 $DE = 6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，通过作辅助线得到两条相等的高，再利用面积和建立方程求解，将几何性质和代数计算结合，需要熟练掌握这种面积法的解题思路。
【难度系数】
0.7
9.如图,已知OE平分∠AOB,BC⊥OA,AD⊥OB,求证:(1)EC=DE;(2)AD=BC.
答案
证明：
(1) ∵ OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ EC = DE。
(2) 在△ACE和△BDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ACE = ∠BDE = 90° \\EC = DE \\∠AEC = ∠BED\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BDE（ASA），
∴ AE = BE，
∴ AE + DE = BE + CE，
即 AD = BC。
(1) ∵ OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ EC = DE。
(2) 在△ACE和△BDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ACE = ∠BDE = 90° \\EC = DE \\∠AEC = ∠BED\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BDE（ASA），
∴ AE = BE，
∴ AE + DE = BE + CE，
即 AD = BC。
解析
【分析】
(1) 要证EC=DE，结合已知条件分析：OE是∠AOB的角平分线，点E在OE上，且EC⊥OA、ED⊥OB，满足角平分线性质的使用条件，直接应用性质即可得证。
(2) 要证AD=BC，可将线段拆分：AD=AE+DE，BC=BE+CE，由(1)已得DE=CE，因此只需证明AE=BE即可。观察△ACE和△BDE，有对顶角相等、垂直得到的直角相等，再结合(1)的结论EC=DE，可用ASA判定两三角形全等得到AE=BE，最后通过线段和的等量代换推出AD=BC。
【解析】
(1)
∵ OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ EC = DE。
(2) 在△ACE和△BDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ACE = ∠BDE = 90° \\EC = DE \\∠AEC = ∠BED\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BDE（ASA），
∴ AE = BE，
∴ AE + DE = BE + CE，
即 AD = BC。
【答案】
证明：
(1)
∵ OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ EC = DE。
(2) 在△ACE和△BDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ACE = ∠BDE = 90° \\EC = DE \\∠AEC = ∠BED\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BDE（ASA），
∴ AE = BE，
∴ AE + DE = BE + CE，
即 AD = BC。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查角平分线性质的直接应用，以及利用全等三角形转化线段相等关系，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角相等、垂直得到的90°角，按照相关定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
(1) 要证EC=DE，结合已知条件分析：OE是∠AOB的角平分线，点E在OE上，且EC⊥OA、ED⊥OB，满足角平分线性质的使用条件，直接应用性质即可得证。
(2) 要证AD=BC，可将线段拆分：AD=AE+DE，BC=BE+CE，由(1)已得DE=CE，因此只需证明AE=BE即可。观察△ACE和△BDE，有对顶角相等、垂直得到的直角相等，再结合(1)的结论EC=DE，可用ASA判定两三角形全等得到AE=BE，最后通过线段和的等量代换推出AD=BC。
【解析】
(1)
∵ OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ EC = DE。
(2) 在△ACE和△BDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ACE = ∠BDE = 90° \\EC = DE \\∠AEC = ∠BED\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BDE（ASA），
∴ AE = BE，
∴ AE + DE = BE + CE，
即 AD = BC。
【答案】
证明：
(1)
∵ OE平分∠AOB，BC⊥OA，AD⊥OB，
根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ EC = DE。
(2) 在△ACE和△BDE中，
$\{\begin{array}{l}∠ACE = ∠BDE = 90° \\EC = DE \\∠AEC = ∠BED\end{array} $
∴ △ACE ≌ △BDE（ASA），
∴ AE = BE，
∴ AE + DE = BE + CE，
即 AD = BC。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查角平分线性质的直接应用，以及利用全等三角形转化线段相等关系，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角相等、垂直得到的90°角，按照相关定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
10.如图,在$△ ABC$中,D是边BC的中点,DE⊥BC交$∠ BAC$的平分线于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G.求证:BF=CG.
答案
证明：
连接BE、CE。
∵ D是BC的中点，DE⊥BC，
∴ DE垂直平分BC，
∴ BE = CE。
∵ AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴ EF = EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△BEF和Rt△CEG中，
$\{\begin{array}{l} BE=CE \\ EF=EG \end{array} $
∴ Rt△BEF ≌ Rt△CEG（HL），
∴ BF = CG。
连接BE、CE。
∵ D是BC的中点，DE⊥BC，
∴ DE垂直平分BC，
∴ BE = CE。
∵ AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴ EF = EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△BEF和Rt△CEG中，
$\{\begin{array}{l} BE=CE \\ EF=EG \end{array} $
∴ Rt△BEF ≌ Rt△CEG（HL），
∴ BF = CG。
解析
【分析】
要证明BF=CG，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先连接辅助线BE、CE，构造包含BF、CG的Rt△BEF和Rt△CEG：①利用线段垂直平分线的性质，由D是BC中点且DE⊥BC，可得BE=CE；②利用角平分线的性质，由AE平分∠BAC，且EF⊥AB、EG⊥AC，可得EF=EG；最后结合直角三角形全等的HL判定定理，即可证得两个三角形全等，从而得到对应边相等。
【解析】
证明：连接BE、CE。
∵ D是BC的中点，DE⊥BC，
∴ DE垂直平分BC，
∴ BE = CE。
∵ AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴ EF = EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$和$\mathrm{Rt}△ CEG$中，
$\begin{cases} BE=CE \\ EF=EG \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BEF ≌ \mathrm{Rt}△ CEG$（$\mathrm{HL}$），
∴ BF = CG。
【答案】
BF=CG
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，将角平分线、垂直平分线的性质与全等三角形的判定相结合考查，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，梳理清楚各性质的适用条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要证明BF=CG，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先连接辅助线BE、CE，构造包含BF、CG的Rt△BEF和Rt△CEG：①利用线段垂直平分线的性质，由D是BC中点且DE⊥BC，可得BE=CE；②利用角平分线的性质，由AE平分∠BAC，且EF⊥AB、EG⊥AC，可得EF=EG；最后结合直角三角形全等的HL判定定理，即可证得两个三角形全等，从而得到对应边相等。
【解析】
证明：连接BE、CE。
∵ D是BC的中点，DE⊥BC，
∴ DE垂直平分BC，
∴ BE = CE。
∵ AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴ EF = EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$和$\mathrm{Rt}△ CEG$中，
$\begin{cases} BE=CE \\ EF=EG \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BEF ≌ \mathrm{Rt}△ CEG$（$\mathrm{HL}$），
∴ BF = CG。
【答案】
BF=CG
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，将角平分线、垂直平分线的性质与全等三角形的判定相结合考查，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，梳理清楚各性质的适用条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，AD是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$于点E，点F在AC上，且$BD=DF$。
(1)求证:$CF=EB$；
(2)试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由。
(1)求证:$CF=EB$；
(2)试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系，并说明理由。
答案
(1) 证明：
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DC=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF=EB。
---
(2) 解：$AB=AF+2EB$，理由如下：
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
∵ $AB=AE+EB$，$AC=AF+CF$，
又由(1)知$CF=EB$，
∴ $AB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+EB+EB=AF+2EB$。
∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ DC=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△DCF ≌ Rt△DEB（HL），
∴ CF=EB。
---
(2) 解：$AB=AF+2EB$，理由如下：
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL），
∴ AC=AE。
∵ $AB=AE+EB$，$AC=AF+CF$，
又由(1)知$CF=EB$，
∴ $AB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+EB+EB=AF+2EB$。
解析
【分析】
(1) 要证明$CF=EB$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解。首先根据角平分线的性质，结合AD是角平分线、$DC⊥AC$、$DE⊥AB$的条件，可推出$DC=DE$；再结合已知$BD=DF$，即可用HL定理证明$Rt△DCF$和$Rt△DEB$全等，从而得到$CF=EB$。
(2) 探究AB与AF、EB的数量关系时，可先将AB拆分为$AE+EB$，再证明$Rt△ACD$和$Rt△AED$全等得到$AC=AE$，将AE替换为AC后，结合$AC=AF+CF$和(1)中$CF=EB$的结论，通过等量代换即可推导出三者的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是$∠BAC$的平分线，$∠C=90°$，即$DC⊥AC$，$DE⊥AB$，
∴ $DC=DE$（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在$Rt△DCF$和$Rt△DEB$中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ $Rt△DCF ≌ Rt△DEB$（HL），
∴ $CF=EB$。
(2) 解：$AB=AF+2EB$，理由如下：
在$Rt△ACD$和$Rt△AED$中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ $Rt△ACD ≌ Rt△AED$（HL），
∴ $AC=AE$。
∵ $AB=AE+EB$，$AC=AF+CF$，
又由(1)知$CF=EB$，
∴ $AB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+EB+EB=AF+2EB$。
【答案】
(1) 得证$CF=EB$；
(2) $AB=AF+2EB$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合基础题，解题核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，再通过HL判定直角三角形全等，最后通过等量代换得到线段关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$CF=EB$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解。首先根据角平分线的性质，结合AD是角平分线、$DC⊥AC$、$DE⊥AB$的条件，可推出$DC=DE$；再结合已知$BD=DF$，即可用HL定理证明$Rt△DCF$和$Rt△DEB$全等，从而得到$CF=EB$。
(2) 探究AB与AF、EB的数量关系时，可先将AB拆分为$AE+EB$，再证明$Rt△ACD$和$Rt△AED$全等得到$AC=AE$，将AE替换为AC后，结合$AC=AF+CF$和(1)中$CF=EB$的结论，通过等量代换即可推导出三者的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是$∠BAC$的平分线，$∠C=90°$，即$DC⊥AC$，$DE⊥AB$，
∴ $DC=DE$（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
在$Rt△DCF$和$Rt△DEB$中，
$\{\begin{array}{l} DF=BD \\ DC=DE \end{array} $
∴ $Rt△DCF ≌ Rt△DEB$（HL），
∴ $CF=EB$。
(2) 解：$AB=AF+2EB$，理由如下：
在$Rt△ACD$和$Rt△AED$中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DC=DE \end{array} $
∴ $Rt△ACD ≌ Rt△AED$（HL），
∴ $AC=AE$。
∵ $AB=AE+EB$，$AC=AF+CF$，
又由(1)知$CF=EB$，
∴ $AB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+EB+EB=AF+2EB$。
【答案】
(1) 得证$CF=EB$；
(2) $AB=AF+2EB$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合基础题，解题核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，再通过HL判定直角三角形全等，最后通过等量代换得到线段关系，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
