14.如图,在△ABC中,AP平分∠BAC,CP平分∠ACB,作PD⊥AB于点D,连接BP.
(1)求证:BP平分∠ABC;
(2)若△ABC的面积为15,AB=4,AC=4,BC=2,求PD的长;
(3)若AB=7,BC=5,AC=8,求BD的长.

(1) 证明：
过点P作$PE⊥ BC$于点E，$PF⊥ AC$于点F。
$\because$ AP平分$∠ BAC$，$PD⊥ AB$，$PF⊥ AC$，
$\therefore PD=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because$ CP平分$∠ ACB$，$PE⊥ BC$，$PF⊥ AC$，
$\therefore PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\therefore PE=PD$，
又$\because PD⊥ AB$，$PE⊥ BC$，
$\therefore$ 点P在$∠ ABC$的平分线上，即BP平分$∠ ABC$。
---
(2) 解：
由(1)可知$PD=PE=PF$，
$S_{△ ABC}=S_{△ PAB}+S_{△ PBC}+S_{△ PAC}$
$=\frac{1}{2}AB· PD+\frac{1}{2}BC· PE+\frac{1}{2}AC· PF$
$=\frac{1}{2}PD·(AB+BC+AC)$。
将$S_{△ ABC}=15$，$AB=4$，$AC=4$，$BC=2$代入得：
$15=\frac{1}{2}PD×(4+2+4)$，
即$5PD=15$，
解得$PD=3$。
---
(3) 解：
设$BD=x$，
由角平分线的性质可得：$BD=BE=x$，$AD=AF$，$CE=CF$。
$\because BC=5$，
$\therefore CE=BC-BE=5-x$，即$CF=5-x$。
$\because AB=7$，
$\therefore AD=AB-BD=7-x$，即$AF=7-x$。
$\because AC=AF+CF=8$，
$\therefore (7-x)+(5-x)=8$，
$12-2x=8$，
解得$x=2$，即$BD=2$。
综上，(2)中$PD$的长为$\boldsymbol{3}$，(3)中$BD$的长为$\boldsymbol{2}$。

【分析】
(1)要证明BP平分∠ABC，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此过点P作BC、AC的垂线，结合已知AP、CP是角平分线，利用角平分线的性质证明P到AB和BC的距离相等即可得证。
(2)求PD的长，由(1)可知P到三角形三边的距离都等于PD，将△ABC的面积拆分为三个小三角形的面积和，三个小三角形的高均为PD，底为△ABC的三边，代入已知的面积和三边长列方程即可求出PD。
(3)求BD的长，根据角平分线的性质可得BD=BE，AD=AF，CE=CF，设BD为x，用含x的式子表示AF和CF，再根据AC=AF+CF列一元一次方程，解方程即可求出BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
过点P作$PE⊥ BC$于点E，$PF⊥ AC$于点F。
$\because$ AP平分$∠ BAC$，$PD⊥ AB$，$PF⊥ AC$，
$\therefore PD=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because$ CP平分$∠ ACB$，$PE⊥ BC$，$PF⊥ AC$，
$\therefore PE=PF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\therefore PE=PD$，
又$\because PD⊥ AB$，$PE⊥ BC$，
$\therefore$ 点P在$∠ ABC$的平分线上，即BP平分$∠ ABC$。
(2) 解：
由(1)可知$PD=PE=PF$，
$S_{△ ABC}=S_{△ PAB}+S_{△ PBC}+S_{△ PAC}$
$=\frac{1}{2}AB· PD+\frac{1}{2}BC· PE+\frac{1}{2}AC· PF$
$=\frac{1}{2}PD·(AB+BC+AC)$。
将$S_{△ ABC}=15$，$AB=4$，$AC=4$，$BC=2$代入得：
$15=\frac{1}{2}PD×(4+2+4)$，
即$5PD=15$，
解得$PD=3$。
(3) 解：
设$BD=x$，
由角平分线的性质可得：$BD=BE=x$，$AD=AF$，$CE=CF$。
$\because BC=5$，
$\therefore CE=BC-BE=5-x$，即$CF=5-x$。
$\because AB=7$，
$\therefore AD=AB-BD=7-x$，即$AF=7-x$。
$\because AC=AF+CF=8$，
$\therefore (7-x)+(5-x)=8$，
$12-2x=8$，
解得$x=2$，即$BD=2$。
【答案】
(1) BP平分∠ABC，证明成立；(2) PD的长为3；(3) BD的长为2
【知识点】
角平分线的性质与判定，等面积法，一元一次方程几何应用
【点评】
本题是三角形角平分线相关的典型综合题，既考查了角平分线性质和判定的基础应用，也融入了等面积法、方程思想求线段长度的技巧，能有效锻炼几何推理能力和数形结合解题的能力。
【难度系数】
0.7

15.已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG//BC，交直线AB于点G.
(1)如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，求证：
①△BDF≌△ADC；
②FG+DC=AD.
(2)如图2，若∠ABC=135°，直接写出FG，DC，AD之间满足的数量关系.

证明：(1)①
∵AD是△ABC的高，∠ABC=45°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=90°-∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD，BD=AD。
∵BE是△ABC的高，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
又∠C+∠CAD=90°，
∴∠FBD=∠CAD。
在△BDF和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠ADC=90° \\BD=AD \\∠FBD=∠CAD\end{array} $
∴△BDF≌△ADC(ASA)。
②∵FG//BC，∠ADB=90°，
∴∠AFG=∠ADB=90°，
∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠GAF=45°，
∴FG=AF。
由①知△BDF≌△ADC，∴DF=DC。
∵AD=AF+DF，
∴AD=FG+DC，即FG+DC=AD。
(2) 解：FG，DC，AD之间满足的数量关系为：$\boldsymbol{FG=AD+DC}$。

【分析】
(1)①证明三角形全等需先找对应边、对应角相等的条件：由AD是高、∠ABC=45°可推出△ABD为等腰直角三角形，得到BD=AD；再结合BE是高，利用同角的余角相等得到∠FBD=∠CAD，加上两个直角相等，即可用ASA判定△BDF≌△ADC。②要证线段和的关系，先由FG//BC推出△AFG是等腰直角三角形，得到FG=AF；再结合①的全等结论得DF=DC，最后根据AD=AF+DF做等量代换即可得证。(2)类比(1)的推导思路，先证△BDF≌△ADC得到DF=DC，再由平行线性质得FG=AF，结合此时AF=AD+DF，代换即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)①证明：
∵AD是△ABC的高，∠ABC=45°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=90°-∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD，
∴BD=AD。
∵BE是△ABC的高，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
又
∵∠C+∠CAD=90°，
∴∠FBD=∠CAD。
在△BDF和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠ADC=90° \\BD=AD \\∠FBD=∠CAD\end{array} $
∴△BDF≌△ADC(ASA)。
②证明：
∵FG//BC，∠ADB=90°，
∴∠AFG=∠ADB=90°，∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠GAF=45°，
∴FG=AF。
由①知△BDF≌△ADC，
∴DF=DC。
∵AD=AF+DF，
∴AD=FG+DC，即FG+DC=AD。
(2)解：类比(1)的推导可得，FG、DC、AD满足的数量关系为FG=AD+DC。
【答案】
(1)①②均得证；(2)$\boldsymbol{FG=AD+DC}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查三角形相关性质的应用，通过角度推导得到全等条件，再结合平行线性质做线段等量代换是解题核心，第二问需要类比第一问的方法，注意图形变化后线段和差关系的改变，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7