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例1 如图，判断下列图形是否为轴对称图形，若是，说出它们有几条对称轴。
【思路导析】根据轴对称图形的定义进行识别。
【请你解答】
【思路导析】根据轴对称图形的定义进行识别。
【请你解答】
答案
解：根据轴对称图形的定义判断：
①是轴对称图形，有2条对称轴；
②是轴对称图形，有1条对称轴；
③不是轴对称图形；
④不是轴对称图形；
⑤是轴对称图形，有1条对称轴；
⑥是轴对称图形，有1条对称轴；
⑦是轴对称图形，有2条对称轴；
⑧是轴对称图形，有4条对称轴；
⑨不是轴对称图形；
⑩是轴对称图形，有3条对称轴。
①是轴对称图形，有2条对称轴；
②是轴对称图形，有1条对称轴；
③不是轴对称图形；
④不是轴对称图形；
⑤是轴对称图形，有1条对称轴；
⑥是轴对称图形，有1条对称轴；
⑦是轴对称图形，有2条对称轴；
⑧是轴对称图形，有4条对称轴；
⑨不是轴对称图形；
⑩是轴对称图形，有3条对称轴。
解析
【分析】
解题的核心依据是轴对称图形的定义：平面内一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。解题时按顺序逐个验证图形：先判断是否存在符合条件的折叠直线，确定是否为轴对称图形；若为轴对称图形，再找出所有满足要求的直线，统计得到对称轴的条数即可。
【解析】
依据轴对称图形的定义逐个判断：
①沿长轴、短轴所在直线折叠，图形两侧均可完全重合，是轴对称图形，共2条对称轴；
②沿凹侧指向凸侧的中间竖直直线折叠，图形两侧可完全重合，是轴对称图形，共1条对称轴；
③不存在能让图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形；
④不存在能让图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形；
⑤沿水平方向过图形中心的直线折叠，图形两侧可完全重合，是轴对称图形，共1条对称轴；
⑥沿水平方向过图形中心的直线折叠，图形两侧可完全重合，是轴对称图形，共1条对称轴；
⑦沿竖直、水平两条过中心的直线折叠，图形两侧均可完全重合，是轴对称图形，共2条对称轴；
⑧沿过中心的水平、竖直、两条斜向共4条直线折叠，图形两侧均可完全重合，是轴对称图形，共4条对称轴；
⑨不存在能让图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形；
⑩沿过中心的3条不同直线折叠，图形两侧均可完全重合，是轴对称图形，共3条对称轴。
【答案】
①是轴对称图形，有2条对称轴；
②是轴对称图形，有1条对称轴；
③不是轴对称图形；
④不是轴对称图形；
⑤是轴对称图形，有1条对称轴；
⑥是轴对称图形，有1条对称轴；
⑦是轴对称图形，有2条对称轴；
⑧是轴对称图形，有4条对称轴；
⑨不是轴对称图形；
⑩是轴对称图形，有3条对称轴。
【知识点】
轴对称图形的判定，对称轴的计数
【点评】
本题侧重考查对轴对称图形概念的应用，判断时要严格依照定义验证，不能仅凭直观感受误判，计数对称轴时要全面排查所有符合要求的直线，避免漏数。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是轴对称图形的定义：平面内一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。解题时按顺序逐个验证图形：先判断是否存在符合条件的折叠直线，确定是否为轴对称图形；若为轴对称图形，再找出所有满足要求的直线，统计得到对称轴的条数即可。
【解析】
依据轴对称图形的定义逐个判断：
①沿长轴、短轴所在直线折叠，图形两侧均可完全重合，是轴对称图形，共2条对称轴；
②沿凹侧指向凸侧的中间竖直直线折叠，图形两侧可完全重合，是轴对称图形，共1条对称轴；
③不存在能让图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形；
④不存在能让图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形；
⑤沿水平方向过图形中心的直线折叠，图形两侧可完全重合，是轴对称图形，共1条对称轴；
⑥沿水平方向过图形中心的直线折叠，图形两侧可完全重合，是轴对称图形，共1条对称轴；
⑦沿竖直、水平两条过中心的直线折叠，图形两侧均可完全重合，是轴对称图形，共2条对称轴；
⑧沿过中心的水平、竖直、两条斜向共4条直线折叠，图形两侧均可完全重合，是轴对称图形，共4条对称轴；
⑨不存在能让图形折叠后两侧完全重合的直线，不是轴对称图形；
⑩沿过中心的3条不同直线折叠，图形两侧均可完全重合，是轴对称图形，共3条对称轴。
【答案】
①是轴对称图形，有2条对称轴；
②是轴对称图形，有1条对称轴；
③不是轴对称图形；
④不是轴对称图形；
⑤是轴对称图形，有1条对称轴；
⑥是轴对称图形，有1条对称轴；
⑦是轴对称图形，有2条对称轴；
⑧是轴对称图形，有4条对称轴；
⑨不是轴对称图形；
⑩是轴对称图形，有3条对称轴。
【知识点】
轴对称图形的判定，对称轴的计数
【点评】
本题侧重考查对轴对称图形概念的应用，判断时要严格依照定义验证，不能仅凭直观感受误判，计数对称轴时要全面排查所有符合要求的直线，避免漏数。
【难度系数】
0.7
例2 如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图形提供的条件求x，y的值.
【思路导析】点C与点G对应，点B与点F对应.
【请你解答】
互动探究 ▶▶ 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 用轴对称的性质寻找边、角关系
【思路导析】点C与点G对应，点B与点F对应.
【请你解答】
互动探究 ▶▶ 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 用轴对称的性质寻找边、角关系
答案
解：
∵ 两个四边形关于某直线对称，
∴ 这两个四边形全等，对应边相等，对应角相等。
由图形可知$AB=EF=2$，$∠ A=∠ E=120°$，$∠ D=∠ H=100°$，
因此点A与点E对应，点B与点F对应，点D与点H对应，点C与点G对应。
∴ $∠ F = ∠ B = 70°$，即$x=70$。
$GF = BC = 6$，即$y=6$。
∵ 两个四边形关于某直线对称，
∴ 这两个四边形全等，对应边相等，对应角相等。
由图形可知$AB=EF=2$，$∠ A=∠ E=120°$，$∠ D=∠ H=100°$，
因此点A与点E对应，点B与点F对应，点D与点H对应，点C与点G对应。
∴ $∠ F = ∠ B = 70°$，即$x=70$。
$GF = BC = 6$，即$y=6$。
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应角相等、对应边相等。接下来结合已知的边长和角度确定对应顶点：已知AB=EF=2，∠A=∠E=120°，∠D=∠H=100°，可推出A对应E、B对应F、D对应H、C对应G。最后利用对应角相等求x的值，对应边相等求y的值即可。
【解析】
∵ 两个四边形关于某直线对称，
∴ 这两个四边形全等，对应边相等，对应角相等。
由图形可知$AB=EF=2$，$∠ A=∠ E=120°$，$∠ D=∠ H=100°$，
因此点A与点E对应，点B与点F对应，点D与点H对应，点C与点G对应。
∴ $∠ F = ∠ B = 70°$，即$x=70$，
$GF = BC = 6$，即$y=6$。
【答案】
$x=70$，$y=6$
【知识点】
轴对称的性质，全等图形的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题，解题核心是准确识别成轴对称的两个图形的对应顶点，再利用对应边、对应角相等的性质求解，掌握对应元素的判断方法是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应角相等、对应边相等。接下来结合已知的边长和角度确定对应顶点：已知AB=EF=2，∠A=∠E=120°，∠D=∠H=100°，可推出A对应E、B对应F、D对应H、C对应G。最后利用对应角相等求x的值，对应边相等求y的值即可。
【解析】
∵ 两个四边形关于某直线对称，
∴ 这两个四边形全等，对应边相等，对应角相等。
由图形可知$AB=EF=2$，$∠ A=∠ E=120°$，$∠ D=∠ H=100°$，
因此点A与点E对应，点B与点F对应，点D与点H对应，点C与点G对应。
∴ $∠ F = ∠ B = 70°$，即$x=70$，
$GF = BC = 6$，即$y=6$。
【答案】
$x=70$，$y=6$
【知识点】
轴对称的性质，全等图形的性质
【点评】
本题是轴对称性质的基础应用题，解题核心是准确识别成轴对称的两个图形的对应顶点，再利用对应边、对应角相等的性质求解，掌握对应元素的判断方法是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.85
例3 如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的内部，则∠1，∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律.你发现的规律是()A. $∠ A = ∠1 + ∠2$
B. $2∠ A = ∠1 + ∠2$
C. $3∠ A = 2∠1 + ∠2$
D. $3∠ A = 2(∠1 + ∠2)$
【示范解答】由题意知$∠ EAD = ∠ EA'D$.
$\because ∠1 = ∠ EAA' + ∠ EA'A$,
$∠2 = ∠ DAA' + ∠ DA'A$,
$\therefore ∠1 + ∠2 = ∠ EAA' + ∠ EA'A + ∠ DAA' + ∠ DA'A$.
$\because ∠ EAD = ∠ EAA' + ∠ DAA'$,
$∠ EA'D = ∠ EA'A + ∠ DA'A$,
$\therefore ∠1 + ∠2 = ∠ EAD + ∠ EA'D$,
即$∠1 + ∠2 = 2∠ A$.故选B.
答案
解：
由折叠的轴对称性质可得$∠EAD=∠EA'D$。
根据三角形外角的性质，得
$∠1=∠EAA'+∠EA'A$，
$∠2=∠DAA'+∠DA'A$，
$\therefore ∠1+∠2=∠EAA'+∠EA'A+∠DAA'+∠DA'A$。
$\because ∠EAD=∠EAA'+∠DAA'$，$∠EA'D=∠EA'A+∠DA'A$，
$\therefore ∠1+∠2=∠EAD+∠EA'D$，
即$∠1+∠2=2∠A$，也就是$2∠A=∠1+∠2$。
故选B。
由折叠的轴对称性质可得$∠EAD=∠EA'D$。
根据三角形外角的性质，得
$∠1=∠EAA'+∠EA'A$，
$∠2=∠DAA'+∠DA'A$，
$\therefore ∠1+∠2=∠EAA'+∠EA'A+∠DAA'+∠DA'A$。
$\because ∠EAD=∠EAA'+∠DAA'$，$∠EA'D=∠EA'A+∠DA'A$，
$\therefore ∠1+∠2=∠EAD+∠EA'D$，
即$∠1+∠2=2∠A$，也就是$2∠A=∠1+∠2$。
故选B。
解析
【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠属于轴对称变换，折叠前后对应角相等，因此可得折叠后∠A与对应角∠EA'D相等。接下来要建立∠1、∠2和∠A的数量关系，观察图形可知∠1、∠2均为小三角形的外角，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，将∠1、∠2分别拆分为两个小角的和，再将拆分后的角重新组合，凑出∠A和∠EA'D，结合二者相等的关系即可推导出最终规律。
【解析】
由折叠的轴对称性质可得$∠EAD=∠EA'D$。
根据三角形外角的性质，得
$∠1=∠EAA'+∠EA'A$，
$∠2=∠DAA'+∠DA'A$，
$\therefore ∠1+∠2=∠EAA'+∠EA'A+∠DAA'+∠DA'A$。
$\because ∠EAD=∠EAA'+∠DAA'$，$∠EA'D=∠EA'A+∠DA'A$，
$\therefore ∠1+∠2=∠EAD+∠EA'D$，
即$∠1+∠2=2∠A$，也就是$2∠A=∠1+∠2$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的常考题型，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的核心性质，结合三角形外角性质拆分、重组角度，即可快速推导得到角度间的等量关系，难度不大，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠属于轴对称变换，折叠前后对应角相等，因此可得折叠后∠A与对应角∠EA'D相等。接下来要建立∠1、∠2和∠A的数量关系，观察图形可知∠1、∠2均为小三角形的外角，可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，将∠1、∠2分别拆分为两个小角的和，再将拆分后的角重新组合，凑出∠A和∠EA'D，结合二者相等的关系即可推导出最终规律。
【解析】
由折叠的轴对称性质可得$∠EAD=∠EA'D$。
根据三角形外角的性质，得
$∠1=∠EAA'+∠EA'A$，
$∠2=∠DAA'+∠DA'A$，
$\therefore ∠1+∠2=∠EAA'+∠EA'A+∠DAA'+∠DA'A$。
$\because ∠EAD=∠EAA'+∠DAA'$，$∠EA'D=∠EA'A+∠DA'A$，
$\therefore ∠1+∠2=∠EAD+∠EA'D$，
即$∠1+∠2=2∠A$，也就是$2∠A=∠1+∠2$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的常考题型，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的核心性质，结合三角形外角性质拆分、重组角度，即可快速推导得到角度间的等量关系，难度不大，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
