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一、选择题
1. 若$x=3$是分式方程$\frac{kx}{x-1} - \frac{2k-1}{x}=2$的解，
则实数$k$的值为（）
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
1. 若$x=3$是分式方程$\frac{kx}{x-1} - \frac{2k-1}{x}=2$的解，
则实数$k$的值为（）
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
D
解析
【分析】
本题已知分式方程的解求参数k，解题核心是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将x=3代入原分式方程，就能得到只含有未知数k的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
∵$x=3$是分式方程$\frac{kx}{x-1} - \frac{2k-1}{x}=2$的解
∴将$x=3$代入原方程，等式成立，即：
$\frac{3k}{3-1} - \frac{2k-1}{3} = 2$
化简得：$\frac{3k}{2} - \frac{2k-1}{3} = 2$
两边同时乘以6去分母，得：
$9k - 2(2k - 1) = 12$
去括号：$9k - 4k + 2 = 12$
合并同类项：$5k + 2 = 12$
移项计算：$5k = 10$
解得：$k = 2$
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解的概念；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解方程的解的定义，将解代入原方程把未知参数转化为新方程的未知数，转化为熟悉的一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.8
本题已知分式方程的解求参数k，解题核心是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将x=3代入原分式方程，就能得到只含有未知数k的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
∵$x=3$是分式方程$\frac{kx}{x-1} - \frac{2k-1}{x}=2$的解
∴将$x=3$代入原方程，等式成立，即：
$\frac{3k}{3-1} - \frac{2k-1}{3} = 2$
化简得：$\frac{3k}{2} - \frac{2k-1}{3} = 2$
两边同时乘以6去分母，得：
$9k - 2(2k - 1) = 12$
去括号：$9k - 4k + 2 = 12$
合并同类项：$5k + 2 = 12$
移项计算：$5k = 10$
解得：$k = 2$
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解的概念；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解方程的解的定义，将解代入原方程把未知参数转化为新方程的未知数，转化为熟悉的一元一次方程求解即可。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法正确的是()
A.形如$\frac{A}{B}$的式子叫分式
B.分式$\frac{m^2 - m +1}{m -1}$不是最简分式
C.分式$\frac{2}{a^2b}$与$\frac{1}{ab}$的最简公分母是$a^3b^2$
D.当$x≠3$时，分式$\frac{x}{x-3}$有意义
A.形如$\frac{A}{B}$的式子叫分式
B.分式$\frac{m^2 - m +1}{m -1}$不是最简分式
C.分式$\frac{2}{a^2b}$与$\frac{1}{ab}$的最简公分母是$a^3b^2$
D.当$x≠3$时，分式$\frac{x}{x-3}$有意义
答案
D
解析
【分析】
这道题考查分式的相关基础概念，解题时需要逐一分析每个选项，对应分式的定义、最简分式的判定、最简公分母的确定、分式有意义的条件这几个知识点，逐个判断对错，选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分式的定义是形如$\frac{A}{B}$，且$B$中含有字母、$B≠0$的式子才叫分式，该选项未说明$B$含字母且$B≠0$，说法错误；
B选项：分子$m^2 - m +1$在整式范围内无法因式分解，和分母$m-1$没有公因式，因此该分式是最简分式，选项说法错误；
C选项：确定最简公分母时，相同字母取最高次幂，两个分母$a^2b$和$ab$中，$a$的最高次是2，$b$的最高次是1，因此最简公分母是$a^2b$，不是$a^3b^2$，选项说法错误；
D选项：分式有意义的条件是分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，说法正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的概念、最简分式判定、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式基础概念的综合考查题，解题关键是准确记忆各概念的核心要点，避免混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式的相关基础概念，解题时需要逐一分析每个选项，对应分式的定义、最简分式的判定、最简公分母的确定、分式有意义的条件这几个知识点，逐个判断对错，选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：分式的定义是形如$\frac{A}{B}$，且$B$中含有字母、$B≠0$的式子才叫分式，该选项未说明$B$含字母且$B≠0$，说法错误；
B选项：分子$m^2 - m +1$在整式范围内无法因式分解，和分母$m-1$没有公因式，因此该分式是最简分式，选项说法错误；
C选项：确定最简公分母时，相同字母取最高次幂，两个分母$a^2b$和$ab$中，$a$的最高次是2，$b$的最高次是1，因此最简公分母是$a^2b$，不是$a^3b^2$，选项说法错误；
D选项：分式有意义的条件是分母不为0，即$x-3≠0$，解得$x≠3$，说法正确。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的概念、最简分式判定、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式基础概念的综合考查题，解题关键是准确记忆各概念的核心要点，避免混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式中,计算正确的是()
A.$(15x^2y - 5xy^2) ÷ 5xy = 3x - 5y$
B.$98 × 102 = (100 - 2) × (100 + 2) = 9996$
C.$\frac{x}{x+3} - 1 = \frac{3}{x+3}$
D.$(3x + 1)(x - 2) = 3x^2 + x - 2$
A.$(15x^2y - 5xy^2) ÷ 5xy = 3x - 5y$
B.$98 × 102 = (100 - 2) × (100 + 2) = 9996$
C.$\frac{x}{x+3} - 1 = \frac{3}{x+3}$
D.$(3x + 1)(x - 2) = 3x^2 + x - 2$
答案
B
解析
【分析】
本题属于代数运算正误判断题，解题思路是逐一验证每个选项的运算过程及结果是否符合对应运算法则：对多项式除以单项式的运算，需将多项式的每一项分别除以除式再相减；对接近整百的数的乘法，可利用平方差公式简便计算；分式加减运算需先通分再计算分子；多项式乘多项式要逐项相乘后合并同类项，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们对四个选项逐一计算验证：
选项A：多项式除以单项式，分别计算每一项的商：
$(15x^2y - 5xy^2) ÷ 5xy = 15x^2y÷5xy - 5xy^2÷5xy = 3x - y$，与选项给出的$3x-5y$不符，A错误。
选项B：利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$简便计算：
$98×102 = (100-2)(100+2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$，运算过程和结果均正确，B符合要求。
选项C：分式减法运算，先通分再计算：
$\frac{x}{x+3} - 1 = \frac{x}{x+3} - \frac{x+3}{x+3} = \frac{x - (x+3)}{x+3} = \frac{-3}{x+3}$，与选项给出的$\frac{3}{x+3}$不符，C错误。
选项D：多项式乘多项式，逐项相乘后合并同类项：
$(3x+1)(x-2) = 3x·x + 3x·(-2) + 1·x + 1·(-2) = 3x^2 -6x +x -2 = 3x^2 -5x -2$，与选项给出的$3x^2+x-2$不符，D错误。
综上，只有B选项计算正确。
【答案】
B
【知识点】
整式的乘除；平方差公式；分式的加减
【点评】
本题侧重考查基础代数运算的熟练度，解题时需严格遵循运算法则，尤其要注意运算过程中的符号问题，避免出现漏乘、漏项、符号错写等低级失误。
【难度系数】
0.8
本题属于代数运算正误判断题，解题思路是逐一验证每个选项的运算过程及结果是否符合对应运算法则：对多项式除以单项式的运算，需将多项式的每一项分别除以除式再相减；对接近整百的数的乘法，可利用平方差公式简便计算；分式加减运算需先通分再计算分子；多项式乘多项式要逐项相乘后合并同类项，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们对四个选项逐一计算验证：
选项A：多项式除以单项式，分别计算每一项的商：
$(15x^2y - 5xy^2) ÷ 5xy = 15x^2y÷5xy - 5xy^2÷5xy = 3x - y$，与选项给出的$3x-5y$不符，A错误。
选项B：利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$简便计算：
$98×102 = (100-2)(100+2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$，运算过程和结果均正确，B符合要求。
选项C：分式减法运算，先通分再计算：
$\frac{x}{x+3} - 1 = \frac{x}{x+3} - \frac{x+3}{x+3} = \frac{x - (x+3)}{x+3} = \frac{-3}{x+3}$，与选项给出的$\frac{3}{x+3}$不符，C错误。
选项D：多项式乘多项式，逐项相乘后合并同类项：
$(3x+1)(x-2) = 3x·x + 3x·(-2) + 1·x + 1·(-2) = 3x^2 -6x +x -2 = 3x^2 -5x -2$，与选项给出的$3x^2+x-2$不符，D错误。
综上，只有B选项计算正确。
【答案】
B
【知识点】
整式的乘除；平方差公式；分式的加减
【点评】
本题侧重考查基础代数运算的熟练度，解题时需严格遵循运算法则，尤其要注意运算过程中的符号问题，避免出现漏乘、漏项、符号错写等低级失误。
【难度系数】
0.8
4. 把分式$\frac{2a - h}{3b}$中的$a,b$同时扩大为原来的2倍后，分式的值不变，则此时$h$的值可以是下列中的（）
A.$2$
B.$\frac{b}{3}$
C.$ab$
D.$a^2$
A.$2$
B.$\frac{b}{3}$
C.$ab$
D.$a^2$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。首先分析a、b扩大2倍后分母的变化，再根据分式值不变推出分子需要满足的变化要求，进而得到h的变化规律，最后判断各选项中h的变化是否符合要求即可。
第一步：先计算a、b扩大2倍后新分式的分母：原分母是3b，b扩大2倍后新分母为3×2b=6b，即分母扩大为原来的2倍。
第二步：要让分式值不变，分子也必须扩大为原来的2倍。原分子是2a - h，扩大2倍后应为2(2a - h)=4a - 2h。
第三步：a扩大2倍后，新分子的第一项为2×2a=4a，因此分子的第二项h需要扩大为原来的2倍，才能满足新分子整体扩大2倍的要求。
第四步：逐一判断选项中h的变化是否符合“a、b扩大2倍时，h也扩大2倍”的规律即可。
【解析】
当a、b同时扩大为原来的2倍时：
1. 新分式的分母为$3× 2b=6b$，即分母扩大为原来的2倍；
2. 根据分式的基本性质，要使分式值不变，分子也应扩大为原来的2倍，即新分子应为$2(2a - h)=4a - 2h$；
3. 代入扩大后的a，新分子的第一项为$2× 2a=4a$，因此h需扩大为原来的2倍，才能满足新分子的要求；
4. 逐一判断选项：
A选项：$h=2$是常数，a、b扩大2倍后h仍为2，没有扩大2倍，不符合要求；
B选项：$h=\frac{b}{3}$，a、b扩大2倍后，新的$h=\frac{2b}{3}=2×\frac{b}{3}$，正好扩大为原来的2倍，符合要求；
C选项：$h=ab$，a、b扩大2倍后，新的$h=2a· 2b=4ab$，扩大为原来的4倍，不符合要求；
D选项：$h=a^2$，a扩大2倍后，新的$h=(2a)^2=4a^2$，扩大为原来的4倍，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 整式的变化规律
【点评】
本题核心考查对分式基本性质的应用，解题关键是抓住“分式值不变则分子分母扩大倍数相同”的核心逻辑，同时要能准确判断不同类型整式随变量扩大的倍数变化，避免混淆常数、一次式、高次式的变化差异。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。首先分析a、b扩大2倍后分母的变化，再根据分式值不变推出分子需要满足的变化要求，进而得到h的变化规律，最后判断各选项中h的变化是否符合要求即可。
第一步：先计算a、b扩大2倍后新分式的分母：原分母是3b，b扩大2倍后新分母为3×2b=6b，即分母扩大为原来的2倍。
第二步：要让分式值不变，分子也必须扩大为原来的2倍。原分子是2a - h，扩大2倍后应为2(2a - h)=4a - 2h。
第三步：a扩大2倍后，新分子的第一项为2×2a=4a，因此分子的第二项h需要扩大为原来的2倍，才能满足新分子整体扩大2倍的要求。
第四步：逐一判断选项中h的变化是否符合“a、b扩大2倍时，h也扩大2倍”的规律即可。
【解析】
当a、b同时扩大为原来的2倍时：
1. 新分式的分母为$3× 2b=6b$，即分母扩大为原来的2倍；
2. 根据分式的基本性质，要使分式值不变，分子也应扩大为原来的2倍，即新分子应为$2(2a - h)=4a - 2h$；
3. 代入扩大后的a，新分子的第一项为$2× 2a=4a$，因此h需扩大为原来的2倍，才能满足新分子的要求；
4. 逐一判断选项：
A选项：$h=2$是常数，a、b扩大2倍后h仍为2，没有扩大2倍，不符合要求；
B选项：$h=\frac{b}{3}$，a、b扩大2倍后，新的$h=\frac{2b}{3}=2×\frac{b}{3}$，正好扩大为原来的2倍，符合要求；
C选项：$h=ab$，a、b扩大2倍后，新的$h=2a· 2b=4ab$，扩大为原来的4倍，不符合要求；
D选项：$h=a^2$，a扩大2倍后，新的$h=(2a)^2=4a^2$，扩大为原来的4倍，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 整式的变化规律
【点评】
本题核心考查对分式基本性质的应用，解题关键是抓住“分式值不变则分子分母扩大倍数相同”的核心逻辑，同时要能准确判断不同类型整式随变量扩大的倍数变化，避免混淆常数、一次式、高次式的变化差异。
【难度系数】
0.7
5. 已知$x^2 - 4y^2 = -3xy$，$x＞0$，$y＞0$，则$\frac{x+3y}{x-2y} = (\quad)$
A.$\frac{1}{6}$
B.$-4$
C.$\frac{7}{2}$
D.$-\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{6}$
B.$-4$
C.$\frac{7}{2}$
D.$-\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
首先观察已知等式是关于x、y的二次齐次式，我们可以先对等式移项整理，再通过因式分解得到x和y的关系，注意结合x＞0、y＞0的条件舍去不符合题意的关系，最后将得到的x与y的等量关系代入要求的分式计算即可。具体思路：第一步移项将等式右侧项移到左侧整理为标准二次式，第二步用十字相乘法对二次式因式分解，第三步根据x、y的正负性确定有效等量关系，第四步代入分式化简求值。
【解析】
解：对已知等式移项整理：
$x^2 - 4y^2 + 3xy = 0$，即$x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$
用十字相乘法对等式左侧因式分解：
$x^2 + 3xy - 4y^2 = (x + 4y)(x - y) = 0$
已知$x＞0$，$y＞0$，因此$x + 4y ＞ 0$，不可能为0，故仅$x - y = 0$，即$x = y$
将$x = y$代入$\frac{x+3y}{x-2y}$：
$\frac{x+3x}{x-2x} = \frac{4x}{-x} = -4$（$x＞0$，可约去公因式x）
【答案】
B
【知识点】
因式分解；分式化简；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的代数式求值问题，核心是通过因式分解将二元二次方程转化为x与y的线性关系，求解过程中要注意结合题目给出的正负性条件舍去增根，代入后利用分式基本性质约去公因式即可得到结果。
【难度系数】
0.6
首先观察已知等式是关于x、y的二次齐次式，我们可以先对等式移项整理，再通过因式分解得到x和y的关系，注意结合x＞0、y＞0的条件舍去不符合题意的关系，最后将得到的x与y的等量关系代入要求的分式计算即可。具体思路：第一步移项将等式右侧项移到左侧整理为标准二次式，第二步用十字相乘法对二次式因式分解，第三步根据x、y的正负性确定有效等量关系，第四步代入分式化简求值。
【解析】
解：对已知等式移项整理：
$x^2 - 4y^2 + 3xy = 0$，即$x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$
用十字相乘法对等式左侧因式分解：
$x^2 + 3xy - 4y^2 = (x + 4y)(x - y) = 0$
已知$x＞0$，$y＞0$，因此$x + 4y ＞ 0$，不可能为0，故仅$x - y = 0$，即$x = y$
将$x = y$代入$\frac{x+3y}{x-2y}$：
$\frac{x+3x}{x-2x} = \frac{4x}{-x} = -4$（$x＞0$，可约去公因式x）
【答案】
B
【知识点】
因式分解；分式化简；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的代数式求值问题，核心是通过因式分解将二元二次方程转化为x与y的线性关系，求解过程中要注意结合题目给出的正负性条件舍去增根，代入后利用分式基本性质约去公因式即可得到结果。
【难度系数】
0.6
6.已知关于$x$的分式方程$\frac{x - a}{x - 2} + \frac{2a}{2 - x} = 2$的解为非负数，则$a$的取值范围为（）
A.$a ≤ \frac{4}{3}$且$a ≠ \frac{2}{3}$
B.$a ≥ \frac{2}{3}$且$a ≠ \frac{4}{3}$
C.$a ≤ \frac{4}{3}$且$a ≠ -\frac{2}{3}$
D.$a ≥ \frac{1}{3}$且$a ≠ \frac{2}{3}$
A.$a ≤ \frac{4}{3}$且$a ≠ \frac{2}{3}$
B.$a ≥ \frac{2}{3}$且$a ≠ \frac{4}{3}$
C.$a ≤ \frac{4}{3}$且$a ≠ -\frac{2}{3}$
D.$a ≥ \frac{1}{3}$且$a ≠ \frac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；再根据“解为非负数”列不等式求出a的初步范围；最后结合分式方程分母不能为0（即解不能为增根x=2），排除不符合条件的a的值，综合得到最终的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形，注意$\frac{2a}{2-x}=-\frac{2a}{x-2}$，原方程可化为：
$\frac{x-a}{x-2}-\frac{2a}{x-2}=2$
由分式有意义的条件可知$x≠2$，方程两边同时乘$(x-2)$去分母得：
$x-a-2a=2(x-2)$
化简整理：
$x-3a=2x-4$
移项得：$x=4-3a$
∵方程的解为非负数
∴$x≥0$，即$4-3a≥0$，解得$a≤\frac{4}{3}$
又
∵分式分母不能为0，即$x≠2$
∴$4-3a≠2$，解得$a≠\frac{2}{3}$
综上，$a$的取值范围是$a≤\frac{4}{3}$且$a≠\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程与不等式的综合基础题，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的限制，漏算$a≠\frac{2}{3}$的情况，解这类题时要注意验证增根，避免多解。
【难度系数】
0.7
解题时首先将分式方程去分母转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；再根据“解为非负数”列不等式求出a的初步范围；最后结合分式方程分母不能为0（即解不能为增根x=2），排除不符合条件的a的值，综合得到最终的取值范围。
【解析】
首先对原分式方程变形，注意$\frac{2a}{2-x}=-\frac{2a}{x-2}$，原方程可化为：
$\frac{x-a}{x-2}-\frac{2a}{x-2}=2$
由分式有意义的条件可知$x≠2$，方程两边同时乘$(x-2)$去分母得：
$x-a-2a=2(x-2)$
化简整理：
$x-3a=2x-4$
移项得：$x=4-3a$
∵方程的解为非负数
∴$x≥0$，即$4-3a≥0$，解得$a≤\frac{4}{3}$
又
∵分式分母不能为0，即$x≠2$
∴$4-3a≠2$，解得$a≠\frac{2}{3}$
综上，$a$的取值范围是$a≤\frac{4}{3}$且$a≠\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程与不等式的综合基础题，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的限制，漏算$a≠\frac{2}{3}$的情况，解这类题时要注意验证增根，避免多解。
【难度系数】
0.7
7.小王从A地开车去B地,两地相距240 km.
原计划平均速度为x km/h,实际平均速度提高了50%,结果提前1小时到达.由此可建立
方程()
A.$\frac{240}{0.5x} - \frac{240}{x} = 1$
B.$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$
C.$\frac{240}{1.5x} - \frac{240}{x} = 1$
D.$x + 1.5x = 240$
原计划平均速度为x km/h,实际平均速度提高了50%,结果提前1小时到达.由此可建立
方程()
A.$\frac{240}{0.5x} - \frac{240}{x} = 1$
B.$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$
C.$\frac{240}{1.5x} - \frac{240}{x} = 1$
D.$x + 1.5x = 240$
答案
B
解析
【分析】
这是行程类的方程应用题，解题首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。第一步先分别表示出原计划的行驶时间和实际的行驶时间；第二步找等量关系：题目说“提前1小时到达”，意思是原计划用的时间比实际用的时间多1小时，即原计划时间 - 实际时间=1，最后代入两个时间的表达式就能列出方程。
【解析】
首先计算原计划行驶时间：两地路程240km，原计划速度x km/h，根据时间=路程÷速度，原计划时间为$\frac{240}{x}$小时。
再计算实际行驶时间：实际平均速度提高了50%，所以实际速度为$x×(1+50\%)=1.5x$ km/h，同理可得实际时间为$\frac{240}{1.5x}$小时。
根据“提前1小时到达”的等量关系：原计划时间 - 实际时间=1，代入得方程：$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式，列分式方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的关键是准确抓住“提前1小时”对应的等量关系，不要将原计划时间和实际时间的大小关系搞反即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是行程类的方程应用题，解题首先回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度。第一步先分别表示出原计划的行驶时间和实际的行驶时间；第二步找等量关系：题目说“提前1小时到达”，意思是原计划用的时间比实际用的时间多1小时，即原计划时间 - 实际时间=1，最后代入两个时间的表达式就能列出方程。
【解析】
首先计算原计划行驶时间：两地路程240km，原计划速度x km/h，根据时间=路程÷速度，原计划时间为$\frac{240}{x}$小时。
再计算实际行驶时间：实际平均速度提高了50%，所以实际速度为$x×(1+50\%)=1.5x$ km/h，同理可得实际时间为$\frac{240}{1.5x}$小时。
根据“提前1小时到达”的等量关系：原计划时间 - 实际时间=1，代入得方程：$\frac{240}{x} - \frac{240}{1.5x} = 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式，列分式方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的关键是准确抓住“提前1小时”对应的等量关系，不要将原计划时间和实际时间的大小关系搞反即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.计算$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} · \frac{x -1}{x^2 +x} + \frac{2}{x}$的结果是。
答案
解：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x(x+1)} + \frac{2}{x}$
$=\frac{(x+1)(x-1)·(x-1)}{(x-1)^2·x(x+1)} + \frac{2}{x}$
$=\frac{1}{x} + \frac{2}{x}$
$=\frac{3}{x}$
最终结果是$\boldsymbol{\frac{3}{x}}$。
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x(x+1)} + \frac{2}{x}$
$=\frac{(x+1)(x-1)·(x-1)}{(x-1)^2·x(x+1)} + \frac{2}{x}$
$=\frac{1}{x} + \frac{2}{x}$
$=\frac{3}{x}$
最终结果是$\boldsymbol{\frac{3}{x}}$。
解析
【分析】
这是分式混合运算题，遵循先乘除后加减的运算顺序解题：首先处理乘法部分，先将乘法中两个分式的分子、分母分别用平方差公式、完全平方公式、提公因式法因式分解，再约去分子分母的公因式，得到乘法的最简结果；再将最简结果和$\frac{2}{x}$进行同分母分式加法运算，即可得到最终答案。
【解析】
先对各多项式因式分解：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x(x+1)} + \frac{2}{x}$
计算乘法部分，约去分子分母的公因式$(x+1)$和$(x-1)^2$：
$=\frac{1}{x} + \frac{2}{x}$
进行同分母分式加法运算，分母不变，分子相加：
$=\frac{1+2}{x}=\frac{3}{x}$
【答案】
$\frac{3}{x}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式加减法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是先通过因式分解识别公因式，对乘法部分约分简化计算，再进行加减运算，计算时需注意公因式要全部约去，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算题，遵循先乘除后加减的运算顺序解题：首先处理乘法部分，先将乘法中两个分式的分子、分母分别用平方差公式、完全平方公式、提公因式法因式分解，再约去分子分母的公因式，得到乘法的最简结果；再将最简结果和$\frac{2}{x}$进行同分母分式加法运算，即可得到最终答案。
【解析】
先对各多项式因式分解：
原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{x(x+1)} + \frac{2}{x}$
计算乘法部分，约去分子分母的公因式$(x+1)$和$(x-1)^2$：
$=\frac{1}{x} + \frac{2}{x}$
进行同分母分式加法运算，分母不变，分子相加：
$=\frac{1+2}{x}=\frac{3}{x}$
【答案】
$\frac{3}{x}$
【知识点】
分式混合运算、因式分解、分式加减法
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是先通过因式分解识别公因式，对乘法部分约分简化计算，再进行加减运算，计算时需注意公因式要全部约去，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
9. 计算：$(-\dfrac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c)^{-2} ÷ (-\dfrac{3}{2}a^{2}b^{-2})^{2} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
先分别计算乘方运算：
$\begin{aligned}(-\frac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c)^{-2}&=(-\frac{2}{3})^{-2}· (a^{-2})^{-2}· (b^{-1})^{-2}· c^{-2}\\&=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2},\\(-\frac{3}{2}a^{2}b^{-2})^{2}&=(-\frac{3}{2})^{2}· (a^{2})^{2}· (b^{-2})^{2}\\&=\frac{9}{4}a^{4}b^{-4}.\end{aligned}$
再进行同底数幂的除法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2} ÷ \frac{9}{4}a^{4}b^{-4}\\&=(\frac{9}{4}÷\frac{9}{4})· a^{4-4}· b^{2-(-4)}· c^{-2}\\&=b^6· \frac{1}{c^2}\\&=\frac{b^6}{c^2}.\end{aligned}$
$\frac{b^6}{c^2}$
先分别计算乘方运算：
$\begin{aligned}(-\frac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c)^{-2}&=(-\frac{2}{3})^{-2}· (a^{-2})^{-2}· (b^{-1})^{-2}· c^{-2}\\&=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2},\\(-\frac{3}{2}a^{2}b^{-2})^{2}&=(-\frac{3}{2})^{2}· (a^{2})^{2}· (b^{-2})^{2}\\&=\frac{9}{4}a^{4}b^{-4}.\end{aligned}$
再进行同底数幂的除法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2} ÷ \frac{9}{4}a^{4}b^{-4}\\&=(\frac{9}{4}÷\frac{9}{4})· a^{4-4}· b^{2-(-4)}· c^{-2}\\&=b^6· \frac{1}{c^2}\\&=\frac{b^6}{c^2}.\end{aligned}$
$\frac{b^6}{c^2}$
解析
【分析】
本题属于整数指数幂的混合运算题，解题时遵循“先算乘方，再算除法”的运算顺序：第一步，先利用积的乘方法则（将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘）、幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），结合负整数指数幂的运算规则（$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，$a≠0$），分别计算出两个乘方的结果；第二步，按照单项式除以单项式的规则计算除法：系数相除得商的系数，同底数幂分别相除（底数不变，指数相减），仅在被除式中出现的字母连同指数保留在商中，最后将结果化为仅含正整数指数幂的形式即可。
【解析】
先分别计算乘方运算：
$\begin{aligned}(-\frac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c)^{-2}&=(-\frac{2}{3})^{-2}· (a^{-2})^{-2}· (b^{-1})^{-2}· c^{-2}\\&=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2},\\(-\frac{3}{2}a^{2}b^{-2})^{2}&=(-\frac{3}{2})^{2}· (a^{2})^{2}· (b^{-2})^{2}\\&=\frac{9}{4}a^{4}b^{-4}.\end{aligned}$
再进行同底数幂的除法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2} ÷ \frac{9}{4}a^{4}b^{-4}\\&=(\frac{9}{4}÷\frac{9}{4})· a^{4-4}· b^{2-(-4)}· c^{-2}\\&=1·a^0·b^6·\frac{1}{c^2}\\&=\frac{b^6}{c^2}.\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{b^6}{c^2}$
【知识点】
1. 积的乘方运算 2. 幂的乘方运算 3. 同底数幂的除法
【点评】
本题是幂运算的常规考查题型，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，解题时需严格遵循运算顺序，格外注意负指数的转换、指数加减的准确性，最终结果必须化为只含正整数指数幂的形式。
【难度系数】
0.7
本题属于整数指数幂的混合运算题，解题时遵循“先算乘方，再算除法”的运算顺序：第一步，先利用积的乘方法则（将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘）、幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），结合负整数指数幂的运算规则（$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，$a≠0$），分别计算出两个乘方的结果；第二步，按照单项式除以单项式的规则计算除法：系数相除得商的系数，同底数幂分别相除（底数不变，指数相减），仅在被除式中出现的字母连同指数保留在商中，最后将结果化为仅含正整数指数幂的形式即可。
【解析】
先分别计算乘方运算：
$\begin{aligned}(-\frac{2}{3}a^{-2}b^{-1}c)^{-2}&=(-\frac{2}{3})^{-2}· (a^{-2})^{-2}· (b^{-1})^{-2}· c^{-2}\\&=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2},\\(-\frac{3}{2}a^{2}b^{-2})^{2}&=(-\frac{3}{2})^{2}· (a^{2})^{2}· (b^{-2})^{2}\\&=\frac{9}{4}a^{4}b^{-4}.\end{aligned}$
再进行同底数幂的除法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{9}{4}a^{4}b^{2}c^{-2} ÷ \frac{9}{4}a^{4}b^{-4}\\&=(\frac{9}{4}÷\frac{9}{4})· a^{4-4}· b^{2-(-4)}· c^{-2}\\&=1·a^0·b^6·\frac{1}{c^2}\\&=\frac{b^6}{c^2}.\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{b^6}{c^2}$
【知识点】
1. 积的乘方运算 2. 幂的乘方运算 3. 同底数幂的除法
【点评】
本题是幂运算的常规考查题型，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，解题时需严格遵循运算顺序，格外注意负指数的转换、指数加减的准确性，最终结果必须化为只含正整数指数幂的形式。
【难度系数】
0.7
10.已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且$a,b,c$的取值使分式$\dfrac{ab - ac + c^2 - bc}{a - b}$的值为零，则$△ ABC$的形状为。
答案
解：
∵分式$\dfrac{ab - ac + c^2 - bc}{a - b}$的值为零，
∴分子$ab - ac + c^2 - bc = 0$，且分母$a - b ≠ 0$。
对分子因式分解：
$\begin{aligned}ab - ac + c^2 - bc&=a(b - c) - c(b - c)\\&=(a - c)(b - c)\end{aligned}$
因此$(a - c)(b - c)=0$，可得$a=c$或$b=c$，
又$a - b ≠ 0$，即$a ≠ b$，
∴△ABC有两条边相等，且不存在$a=b$的情况，不可能为等边三角形。
答：等腰三角形（腰与底不相等的等腰三角形）。
∵分式$\dfrac{ab - ac + c^2 - bc}{a - b}$的值为零，
∴分子$ab - ac + c^2 - bc = 0$，且分母$a - b ≠ 0$。
对分子因式分解：
$\begin{aligned}ab - ac + c^2 - bc&=a(b - c) - c(b - c)\\&=(a - c)(b - c)\end{aligned}$
因此$(a - c)(b - c)=0$，可得$a=c$或$b=c$，
又$a - b ≠ 0$，即$a ≠ b$，
∴△ABC有两条边相等，且不存在$a=b$的情况，不可能为等边三角形。
答：等腰三角形（腰与底不相等的等腰三角形）。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式值为0的成立条件：分子等于0，且分母不等于0，二者缺一不可。首先根据这个条件列出关于三角形三边a、b、c的关系式，再对分子进行分组因式分解，得到边的等量关系，最后结合分母不为0的限制条件，排除不符合的情况，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵分式$\dfrac{ab - ac + c^2 - bc}{a - b}$的值为零，
∴分子$ab - ac + c^2 - bc = 0$，且分母$a - b ≠ 0$。
对分子分组因式分解：
$\begin{aligned}ab - ac + c^2 - bc&=a(b - c) - c(b - c)\\&=(a - c)(b - c)\end{aligned}$
因此$(a - c)(b - c)=0$，可得$a=c$或$b=c$，
又$a - b ≠ 0$，即$a ≠ b$，
∴△ABC有两条边相等，且不存在$a=b$的情况，不可能为等边三角形。
【答案】
等腰三角形（腰与底不相等的等腰三角形）
【知识点】
分式值为零的条件；因式分解的应用；等腰三角形的判定
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键是牢记分式值为零的两个限制条件，不要忽略分母不为0的要求，避免误判三角形为等边三角形。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆分式值为0的成立条件：分子等于0，且分母不等于0，二者缺一不可。首先根据这个条件列出关于三角形三边a、b、c的关系式，再对分子进行分组因式分解，得到边的等量关系，最后结合分母不为0的限制条件，排除不符合的情况，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵分式$\dfrac{ab - ac + c^2 - bc}{a - b}$的值为零，
∴分子$ab - ac + c^2 - bc = 0$，且分母$a - b ≠ 0$。
对分子分组因式分解：
$\begin{aligned}ab - ac + c^2 - bc&=a(b - c) - c(b - c)\\&=(a - c)(b - c)\end{aligned}$
因此$(a - c)(b - c)=0$，可得$a=c$或$b=c$，
又$a - b ≠ 0$，即$a ≠ b$，
∴△ABC有两条边相等，且不存在$a=b$的情况，不可能为等边三角形。
【答案】
等腰三角形（腰与底不相等的等腰三角形）
【知识点】
分式值为零的条件；因式分解的应用；等腰三角形的判定
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键是牢记分式值为零的两个限制条件，不要忽略分母不为0的要求，避免误判三角形为等边三角形。
【难度系数】
0.6
11. 要使分式$(\dfrac{a+1}{a-1} - \dfrac{a^2 +1}{a^2 -2a +1}) ÷ \dfrac{1}{a-1}$的值为负整数，则整数$a$的值为。
答案
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a^2+1}{a^2-2a+1}) ÷ \frac{1}{a-1}\\=&[\frac{a+1}{a-1} - \frac{a^2+1}{(a-1)^2}] · (a-1)\\=&(a+1) - \frac{a^2+1}{a-1}\\=&\frac{(a+1)(a-1) - (a^2+1)}{a-1}\\=&\frac{a^2-1 -a^2 -1}{a-1}\\=&\frac{-2}{a-1}\\=&\frac{2}{1-a}\end{aligned}$
由分式有意义的条件得：$a-1≠0$，即$a≠1$。
要使$\frac{2}{1-a}$的值为负整数，则$1-a$是2的负整数约数，
因此$1-a=-1$或$1-a=-2$，
解得$a=2$或$a=3$，均满足$a≠1$。
所以整数$a$的值为$\boldsymbol{2或3}$。
$\begin{aligned}&(\frac{a+1}{a-1} - \frac{a^2+1}{a^2-2a+1}) ÷ \frac{1}{a-1}\\=&[\frac{a+1}{a-1} - \frac{a^2+1}{(a-1)^2}] · (a-1)\\=&(a+1) - \frac{a^2+1}{a-1}\\=&\frac{(a+1)(a-1) - (a^2+1)}{a-1}\\=&\frac{a^2-1 -a^2 -1}{a-1}\\=&\frac{-2}{a-1}\\=&\frac{2}{1-a}\end{aligned}$
由分式有意义的条件得：$a-1≠0$，即$a≠1$。
要使$\frac{2}{1-a}$的值为负整数，则$1-a$是2的负整数约数，
因此$1-a=-1$或$1-a=-2$，
解得$a=2$或$a=3$，均满足$a≠1$。
所以整数$a$的值为$\boldsymbol{2或3}$。
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：第一步先处理分式运算，将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），可借助乘法分配律简化计算，降低通分的复杂度；第二步化简完成后，首先根据分式有意义的要求，排除使分母为0的a的取值；第三步结合分式值为负整数的条件，可知化简后分式的分母是分子的负整数约数，分类讨论求出对应的a值，最后验证解是否符合分式有意义的要求即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&(\dfrac{a+1}{a-1} - \dfrac{a^2 +1}{a^2 -2a +1}) ÷ \dfrac{1}{a-1}\\=&[\dfrac{a+1}{a-1} - \dfrac{a^2 +1}{(a-1)^2}] · (a-1)\\=&\dfrac{a+1}{a-1}·(a-1) - \dfrac{a^2 +1}{(a-1)^2}·(a-1)\\=&a+1 - \dfrac{a^2 +1}{a-1}\\=&\dfrac{(a+1)(a-1) - (a^2 +1)}{a-1}\\=&\dfrac{a^2 -1 - a^2 -1}{a-1}\\=&\dfrac{-2}{a-1}\\=&\dfrac{2}{1-a}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知分母不为0，即$a-1≠0$，得$a≠1$。
要使$\dfrac{2}{1-a}$的值为负整数，则$1-a$是2的负整数约数，因此$1-a=-1$或$1-a=-2$，
解得$a=2$或$a=3$，均满足$a≠1$的要求。
【答案】
2或3
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，整数解求解
【点评】
本题是分式运算的经典题型，解题核心是先准确化简分式，尤其要注意分式有意义的隐含限制，避免求出增根，同时需要熟练掌握整数约数的分类讨论方法，才能快速锁定符合要求的解。
【难度系数】
0.6
解决这道题可按以下思路逐步推导：第一步先处理分式运算，将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），可借助乘法分配律简化计算，降低通分的复杂度；第二步化简完成后，首先根据分式有意义的要求，排除使分母为0的a的取值；第三步结合分式值为负整数的条件，可知化简后分式的分母是分子的负整数约数，分类讨论求出对应的a值，最后验证解是否符合分式有意义的要求即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&(\dfrac{a+1}{a-1} - \dfrac{a^2 +1}{a^2 -2a +1}) ÷ \dfrac{1}{a-1}\\=&[\dfrac{a+1}{a-1} - \dfrac{a^2 +1}{(a-1)^2}] · (a-1)\\=&\dfrac{a+1}{a-1}·(a-1) - \dfrac{a^2 +1}{(a-1)^2}·(a-1)\\=&a+1 - \dfrac{a^2 +1}{a-1}\\=&\dfrac{(a+1)(a-1) - (a^2 +1)}{a-1}\\=&\dfrac{a^2 -1 - a^2 -1}{a-1}\\=&\dfrac{-2}{a-1}\\=&\dfrac{2}{1-a}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知分母不为0，即$a-1≠0$，得$a≠1$。
要使$\dfrac{2}{1-a}$的值为负整数，则$1-a$是2的负整数约数，因此$1-a=-1$或$1-a=-2$，
解得$a=2$或$a=3$，均满足$a≠1$的要求。
【答案】
2或3
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，整数解求解
【点评】
本题是分式运算的经典题型，解题核心是先准确化简分式，尤其要注意分式有意义的隐含限制，避免求出增根，同时需要熟练掌握整数约数的分类讨论方法，才能快速锁定符合要求的解。
【难度系数】
0.6
12.有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算,过程如下:
则第n次运算的结果$y_n=$(用含字母x和n的代数式表示).
则第n次运算的结果$y_n=$(用含字母x和n的代数式表示).
答案
$\boldsymbol{\frac{2^n x}{(2^n -1)x +1}}$
解析
【分析】
这是一道规律探究类题目，解题思路如下：先按照运算程序计算出前3次的运算结果，再分别观察每次结果的分子、分母与运算次数n、初始输入x的对应规律，最后归纳得到第n次运算的通用表达式。计算每一步结果时，要注意正确进行分式的混合运算，约分得到最简结果后再找规律更方便。
【解析】
首先计算前几次的运算结果：
第1次运算：$y_1=\frac{2x}{x+1}$；
第2次运算：把$y_1=\frac{2x}{x+1}$代入$y_2=\frac{2y_1}{y_1+1}$，得
$y_2=\frac{2×\frac{2x}{x+1}}{\frac{2x}{x+1}+1}=\frac{\frac{4x}{x+1}}{\frac{2x+x+1}{x+1}}=\frac{4x}{3x+1}$；
第3次运算：把$y_2=\frac{4x}{3x+1}$代入$y_3=\frac{2y_2}{y_2+1}$，得
$y_3=\frac{2×\frac{4x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1}+1}=\frac{\frac{8x}{3x+1}}{\frac{4x+3x+1}{3x+1}}=\frac{8x}{7x+1}$；
观察规律：
$y_1=\frac{2^1x}{(2^1-1)x+1}$，$y_2=\frac{2^2x}{(2^2-1)x+1}$，$y_3=\frac{2^3x}{(2^3-1)x+1}$，
依此类推，第n次运算的结果为$y_n=\frac{2^n x}{(2^n -1)x +1}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2^n x}{(2^n -1)x +1}}$
【知识点】
分式的混合运算；规律探究
【点评】
本题需要结合分式运算，通过计算前几次的结果归纳出通用规律，既考查分式化简的运算能力，也考查归纳推理的能力，计算时要注意先将结果化为最简形式，更易发现规律。
【难度系数】
0.6
这是一道规律探究类题目，解题思路如下：先按照运算程序计算出前3次的运算结果，再分别观察每次结果的分子、分母与运算次数n、初始输入x的对应规律，最后归纳得到第n次运算的通用表达式。计算每一步结果时，要注意正确进行分式的混合运算，约分得到最简结果后再找规律更方便。
【解析】
首先计算前几次的运算结果：
第1次运算：$y_1=\frac{2x}{x+1}$；
第2次运算：把$y_1=\frac{2x}{x+1}$代入$y_2=\frac{2y_1}{y_1+1}$，得
$y_2=\frac{2×\frac{2x}{x+1}}{\frac{2x}{x+1}+1}=\frac{\frac{4x}{x+1}}{\frac{2x+x+1}{x+1}}=\frac{4x}{3x+1}$；
第3次运算：把$y_2=\frac{4x}{3x+1}$代入$y_3=\frac{2y_2}{y_2+1}$，得
$y_3=\frac{2×\frac{4x}{3x+1}}{\frac{4x}{3x+1}+1}=\frac{\frac{8x}{3x+1}}{\frac{4x+3x+1}{3x+1}}=\frac{8x}{7x+1}$；
观察规律：
$y_1=\frac{2^1x}{(2^1-1)x+1}$，$y_2=\frac{2^2x}{(2^2-1)x+1}$，$y_3=\frac{2^3x}{(2^3-1)x+1}$，
依此类推，第n次运算的结果为$y_n=\frac{2^n x}{(2^n -1)x +1}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2^n x}{(2^n -1)x +1}}$
【知识点】
分式的混合运算；规律探究
【点评】
本题需要结合分式运算，通过计算前几次的结果归纳出通用规律，既考查分式化简的运算能力，也考查归纳推理的能力，计算时要注意先将结果化为最简形式，更易发现规律。
【难度系数】
0.6
