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三、解答题
13.计算：
(1)$\dfrac{2-x}{x-1}÷(x+1-\dfrac{3}{x-1})$；
(2)$(2+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{1-x})÷(x-\dfrac{x}{1-x^2})$。
13.计算：
(1)$\dfrac{2-x}{x-1}÷(x+1-\dfrac{3}{x-1})$；
(2)$(2+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{1-x})÷(x-\dfrac{x}{1-x^2})$。
答案
解：
(1) 先计算括号内的运算：
$\begin{aligned}x+1-\frac{3}{x-1}&=\frac{(x+1)(x-1)-3}{x-1}\\&=\frac{x^2-1-3}{x-1}\\&=\frac{x^2-4}{x-1}\\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\frac{2-x}{x-1}÷\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}&=\frac{2-x}{x-1}·\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{1}{x+2}\end{aligned}$
(2) 分别计算两个括号内的运算：
$\begin{aligned}2+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x}&=2+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{2(x-1)+2}{x-1}\\&=\frac{2x}{x-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}x-\frac{x}{1-x^2}&=x+\frac{x}{x^2-1}\\&=\frac{x(x^2-1)+x}{x^2-1}\\&=\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x-1}÷\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}&=\frac{2x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x^3}\\&=\frac{2(x+1)}{x^2}\\&=\frac{2x+2}{x^2}\end{aligned}$
(1) 先计算括号内的运算：
$\begin{aligned}x+1-\frac{3}{x-1}&=\frac{(x+1)(x-1)-3}{x-1}\\&=\frac{x^2-1-3}{x-1}\\&=\frac{x^2-4}{x-1}\\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\frac{2-x}{x-1}÷\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}&=\frac{2-x}{x-1}·\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{1}{x+2}\end{aligned}$
(2) 分别计算两个括号内的运算：
$\begin{aligned}2+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x}&=2+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{2(x-1)+2}{x-1}\\&=\frac{2x}{x-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}x-\frac{x}{1-x^2}&=x+\frac{x}{x^2-1}\\&=\frac{x(x^2-1)+x}{x^2-1}\\&=\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x-1}÷\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}&=\frac{2x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x^3}\\&=\frac{2(x+1)}{x^2}\\&=\frac{2x+2}{x^2}\end{aligned}$
解析
【分析】
分式混合运算遵循与整式一致的运算顺序，先计算括号内的运算，再计算括号外的运算：1. 处理括号内的整式与分式加减时，可将整式看作分母为1的分式，通分后合并计算；2. 除法运算需先转化为乘法运算（乘以除式的倒数）；3. 对分子分母因式分解后找公因式约分，计算过程中要注意互为相反数的因式变形（如$2-x=-(x-2)$、$1-x=-(x-1)$），避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算括号内的运算：
$\begin{aligned}x+1-\frac{3}{x-1}&=\frac{(x+1)(x-1)-3}{x-1}\\&=\frac{x^2-1-3}{x-1}\\&=\frac{x^2-4}{x-1}\\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\frac{2-x}{x-1}÷\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}&=\frac{2-x}{x-1}·\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{1}{x+2}\end{aligned}$
(2) 分别计算两个括号内的运算：
$\begin{aligned}2+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x}&=2+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{2(x-1)+2}{x-1}\\&=\frac{2x}{x-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}x-\frac{x}{1-x^2}&=x+\frac{x}{x^2-1}\\&=\frac{x(x^2-1)+x}{x^2-1}\\&=\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x-1}÷\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}&=\frac{2x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x^3}\\&=\frac{2(x+1)}{x^2}\\&=\frac{2x+2}{x^2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{x+2}$；(2)$\dfrac{2x+2}{x^2}$
【知识点】
分式混合运算；分式通分约分；因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考察运算顺序、通分约分技巧以及符号处理能力，熟练掌握分式加减乘除的运算法则和因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循与整式一致的运算顺序，先计算括号内的运算，再计算括号外的运算：1. 处理括号内的整式与分式加减时，可将整式看作分母为1的分式，通分后合并计算；2. 除法运算需先转化为乘法运算（乘以除式的倒数）；3. 对分子分母因式分解后找公因式约分，计算过程中要注意互为相反数的因式变形（如$2-x=-(x-2)$、$1-x=-(x-1)$），避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算括号内的运算：
$\begin{aligned}x+1-\frac{3}{x-1}&=\frac{(x+1)(x-1)-3}{x-1}\\&=\frac{x^2-1-3}{x-1}\\&=\frac{x^2-4}{x-1}\\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\frac{2-x}{x-1}÷\frac{(x+2)(x-2)}{x-1}&=\frac{2-x}{x-1}·\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{1}{x+2}\end{aligned}$
(2) 分别计算两个括号内的运算：
$\begin{aligned}2+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x}&=2+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\\&=\frac{2(x-1)+2}{x-1}\\&=\frac{2x}{x-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}x-\frac{x}{1-x^2}&=x+\frac{x}{x^2-1}\\&=\frac{x(x^2-1)+x}{x^2-1}\\&=\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x-1}÷\frac{x^3}{(x+1)(x-1)}&=\frac{2x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x^3}\\&=\frac{2(x+1)}{x^2}\\&=\frac{2x+2}{x^2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{x+2}$；(2)$\dfrac{2x+2}{x^2}$
【知识点】
分式混合运算；分式通分约分；因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考察运算顺序、通分约分技巧以及符号处理能力，熟练掌握分式加减乘除的运算法则和因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14.解方程：(1)
；(2)$\frac{x+1}{x^2 -2x}-\frac{1}{x}=\frac{3}{x -2}$
；(2)$\frac{x+1}{x^2 -2x}-\frac{1}{x}=\frac{3}{x -2}$答案
解：(1) 原方程可变形为：
$\frac{2}{x(x+1)}+\frac{3}{x(x-1)}=\frac{4}{(x+1)(x-1)}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，得：
$2(x-1)+3(x+1)=4x$
去括号，得：
$2x-2+3x+3=4x$
移项、合并同类项，得：
$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
(2) 原方程可变形为：
$\frac{x+1}{x(x-2)}-\frac{1}{x}=\frac{3}{x-2}$
方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$，得：
$(x+1)-(x-2)=3x$
去括号，得：
$x+1-x+2=3x$
合并同类项，得：
$3=3x$
系数化为1，得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x-2)=1×(1-2)=-1≠0$。
所以原分式方程的解为$x=1$。
$\frac{2}{x(x+1)}+\frac{3}{x(x-1)}=\frac{4}{(x+1)(x-1)}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，得：
$2(x-1)+3(x+1)=4x$
去括号，得：
$2x-2+3x+3=4x$
移项、合并同类项，得：
$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
(2) 原方程可变形为：
$\frac{x+1}{x(x-2)}-\frac{1}{x}=\frac{3}{x-2}$
方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$，得：
$(x+1)-(x-2)=3x$
去括号，得：
$x+1-x+2=3x$
合并同类项，得：
$3=3x$
系数化为1，得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x-2)=1×(1-2)=-1≠0$。
所以原分式方程的解为$x=1$。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①先对各分母因式分解，确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④检验：将求得的整式方程的根代入最简公分母，若结果为0，则该根是增根，原方程无解；若结果不为0，则该根是原方程的解。
针对本题：(1)先把各分母分解为$x(x+1)$、$x(x-1)$、$(x+1)(x-1)$，得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，去分母后解一元一次方程再检验即可；(2)各分母分解为$x(x-2)$、$x$、$x-2$，最简公分母为$x(x-2)$，同理按步骤求解检验。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$\frac{2}{x(x+1)}+\frac{3}{x(x-1)}=\frac{4}{(x+1)(x-1)}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，得：
$2(x-1)+3(x+1)=4x$
去括号，得：
$2x-2+3x+3=4x$
移项、合并同类项，得：
$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
(2) 原方程可变形为：
$\frac{x+1}{x(x-2)}-\frac{1}{x}=\frac{3}{x-2}$
方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$，得：
$(x+1)-(x-2)=3x$
去括号，得：
$x+1-x+2=3x$
合并同类项，得：
$3=3x$
系数化为1，得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x-2)=1×(1-2)=-1≠0$。
所以原分式方程的解为$x=1$。
【答案】
(1) 无解；(2) $x=1$
【知识点】
1. 分式方程的解法 2. 因式分解 3. 增根的检验
【点评】
本题是分式方程的基础常规考题，考查分式方程的标准求解步骤，解题的关键是准确找到最简公分母去分母，尤其要注意解分式方程必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①先对各分母因式分解，确定最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④检验：将求得的整式方程的根代入最简公分母，若结果为0，则该根是增根，原方程无解；若结果不为0，则该根是原方程的解。
针对本题：(1)先把各分母分解为$x(x+1)$、$x(x-1)$、$(x+1)(x-1)$，得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，去分母后解一元一次方程再检验即可；(2)各分母分解为$x(x-2)$、$x$、$x-2$，最简公分母为$x(x-2)$，同理按步骤求解检验。
【解析】
(1) 原方程可变形为：
$\frac{2}{x(x+1)}+\frac{3}{x(x-1)}=\frac{4}{(x+1)(x-1)}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+1)(x-1)$，得：
$2(x-1)+3(x+1)=4x$
去括号，得：
$2x-2+3x+3=4x$
移项、合并同类项，得：
$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
(2) 原方程可变形为：
$\frac{x+1}{x(x-2)}-\frac{1}{x}=\frac{3}{x-2}$
方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$，得：
$(x+1)-(x-2)=3x$
去括号，得：
$x+1-x+2=3x$
合并同类项，得：
$3=3x$
系数化为1，得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(x-2)=1×(1-2)=-1≠0$。
所以原分式方程的解为$x=1$。
【答案】
(1) 无解；(2) $x=1$
【知识点】
1. 分式方程的解法 2. 因式分解 3. 增根的检验
【点评】
本题是分式方程的基础常规考题，考查分式方程的标准求解步骤，解题的关键是准确找到最简公分母去分母，尤其要注意解分式方程必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7
15.先化简,再求值:
(1)$( \dfrac{x^2 +1}{2x} -1 ) ÷ \dfrac{x^2 -1}{8x}$,其中$x=2$;
(2)$( \dfrac{x^2 -2x +4}{x-1} +2 -x ) ÷ \dfrac{x^2 +4x +4}{1-x}$,其中$x$满足$\dfrac{3}{x} -1=0$.
(1)$( \dfrac{x^2 +1}{2x} -1 ) ÷ \dfrac{x^2 -1}{8x}$,其中$x=2$;
(2)$( \dfrac{x^2 -2x +4}{x-1} +2 -x ) ÷ \dfrac{x^2 +4x +4}{1-x}$,其中$x$满足$\dfrac{3}{x} -1=0$.
答案
解：
(1)
先化简括号内的运算：
$\dfrac{x^2+1}{2x}-1=\dfrac{x^2+1-2x}{2x}=\dfrac{(x-1)^2}{2x}$
将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{2x} · \dfrac{8x}{x^2-1}$
$=\dfrac{(x-1)^2}{2x} · \dfrac{8x}{(x+1)(x-1)}$
约分后得：
$=\dfrac{4(x-1)}{x+1}$
当$x=2$时，代入得：
原式$=\dfrac{4×(2-1)}{2+1}=\dfrac{4}{3}$
(2)
先化简括号内的运算，将$2-x$通分，分母为$x-1$：
$\dfrac{x^2-2x+4}{x-1}+2-x=\dfrac{x^2-2x+4+(2-x)(x-1)}{x-1}$
计算分子：
$x^2-2x+4+2x-2-x^2+x=x+2$
即括号内结果为$\dfrac{x+2}{x-1}$
将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{x+2}{x-1} ÷ \dfrac{(x+2)^2}{1-x}$
$=\dfrac{x+2}{x-1} · \dfrac{-(x-1)}{(x+2)^2}$
约分后得：
$=-\dfrac{1}{x+2}$
解方程$\dfrac{3}{x}-1=0$，得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$=-\dfrac{1}{3+2}=-\dfrac{1}{5}$
(1)
先化简括号内的运算：
$\dfrac{x^2+1}{2x}-1=\dfrac{x^2+1-2x}{2x}=\dfrac{(x-1)^2}{2x}$
将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{2x} · \dfrac{8x}{x^2-1}$
$=\dfrac{(x-1)^2}{2x} · \dfrac{8x}{(x+1)(x-1)}$
约分后得：
$=\dfrac{4(x-1)}{x+1}$
当$x=2$时，代入得：
原式$=\dfrac{4×(2-1)}{2+1}=\dfrac{4}{3}$
(2)
先化简括号内的运算，将$2-x$通分，分母为$x-1$：
$\dfrac{x^2-2x+4}{x-1}+2-x=\dfrac{x^2-2x+4+(2-x)(x-1)}{x-1}$
计算分子：
$x^2-2x+4+2x-2-x^2+x=x+2$
即括号内结果为$\dfrac{x+2}{x-1}$
将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{x+2}{x-1} ÷ \dfrac{(x+2)^2}{1-x}$
$=\dfrac{x+2}{x-1} · \dfrac{-(x-1)}{(x+2)^2}$
约分后得：
$=-\dfrac{1}{x+2}$
解方程$\dfrac{3}{x}-1=0$，得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$=-\dfrac{1}{3+2}=-\dfrac{1}{5}$
解析
【分析】
这是两道分式化简求值类题目，解题思路清晰：第一步先处理括号内的运算，异分母分式加减需先通分转化为同分母分式，再对分子进行合并化简，能因式分解的部分提前因式分解；第二步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，注意除式的分子分母要颠倒位置，遇到如$1-x$这类和分母$x-1$互为相反数的式子，可变形为$-(x-1)$方便后续计算；第三步对分子分母的多项式因式分解后约分，得到最简分式；第四步代值计算，第一问直接代入给定的$x$值即可，第二问需要先求解给出的分式方程，检验所得根是原方程的解且使原分式有意义后，再代入最简分式计算结果。
【解析】
(1)
先化简括号内的运算：
$\dfrac{x^2+1}{2x}-1=\dfrac{x^2+1-2x}{2x}=\dfrac{(x-1)^2}{2x}$
将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{2x} · \dfrac{8x}{x^2-1}$
$=\dfrac{(x-1)^2}{2x} · \dfrac{8x}{(x+1)(x-1)}$
约分后得：
$=\dfrac{4(x-1)}{x+1}$
当$x=2$时，代入得：
原式$=\dfrac{4×(2-1)}{2+1}=\dfrac{4}{3}$
(2)
先化简括号内的运算，将$2-x$通分，分母为$x-1$：
$\dfrac{x^2-2x+4}{x-1}+2-x=\dfrac{x^2-2x+4+(2-x)(x-1)}{x-1}$
计算分子：
$x^2-2x+4+2x-2-x^2+x=x+2$
即括号内结果为$\dfrac{x+2}{x-1}$
将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{x+2}{x-1} ÷ \dfrac{(x+2)^2}{1-x}$
$=\dfrac{x+2}{x-1} · \dfrac{-(x-1)}{(x+2)^2}$
约分后得：
$=-\dfrac{1}{x+2}$
解方程$\dfrac{3}{x}-1=0$，得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$=-\dfrac{1}{3+2}=-\dfrac{1}{5}$
【答案】
(1)$\dfrac{4}{3}$；(2)$-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式方程的解法
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，核心考查分式运算的基本规则，解题时要注意通分、约分的运算要求，除法转乘法时需正确处理符号，求解分式方程后必须检验根的有效性，避免代入增根导致错误，整体运算难度不高，细致计算即可得分。
【难度系数】
0.7
这是两道分式化简求值类题目，解题思路清晰：第一步先处理括号内的运算，异分母分式加减需先通分转化为同分母分式，再对分子进行合并化简，能因式分解的部分提前因式分解；第二步根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，注意除式的分子分母要颠倒位置，遇到如$1-x$这类和分母$x-1$互为相反数的式子，可变形为$-(x-1)$方便后续计算；第三步对分子分母的多项式因式分解后约分，得到最简分式；第四步代值计算，第一问直接代入给定的$x$值即可，第二问需要先求解给出的分式方程，检验所得根是原方程的解且使原分式有意义后，再代入最简分式计算结果。
【解析】
(1)
先化简括号内的运算：
$\dfrac{x^2+1}{2x}-1=\dfrac{x^2+1-2x}{2x}=\dfrac{(x-1)^2}{2x}$
将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{2x} · \dfrac{8x}{x^2-1}$
$=\dfrac{(x-1)^2}{2x} · \dfrac{8x}{(x+1)(x-1)}$
约分后得：
$=\dfrac{4(x-1)}{x+1}$
当$x=2$时，代入得：
原式$=\dfrac{4×(2-1)}{2+1}=\dfrac{4}{3}$
(2)
先化简括号内的运算，将$2-x$通分，分母为$x-1$：
$\dfrac{x^2-2x+4}{x-1}+2-x=\dfrac{x^2-2x+4+(2-x)(x-1)}{x-1}$
计算分子：
$x^2-2x+4+2x-2-x^2+x=x+2$
即括号内结果为$\dfrac{x+2}{x-1}$
将除法转化为乘法运算：
原式$=\dfrac{x+2}{x-1} ÷ \dfrac{(x+2)^2}{1-x}$
$=\dfrac{x+2}{x-1} · \dfrac{-(x-1)}{(x+2)^2}$
约分后得：
$=-\dfrac{1}{x+2}$
解方程$\dfrac{3}{x}-1=0$，得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
将$x=3$代入化简后的式子：
原式$=-\dfrac{1}{3+2}=-\dfrac{1}{5}$
【答案】
(1)$\dfrac{4}{3}$；(2)$-\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式方程的解法
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，核心考查分式运算的基本规则，解题时要注意通分、约分的运算要求，除法转乘法时需正确处理符号，求解分式方程后必须检验根的有效性，避免代入增根导致错误，整体运算难度不高，细致计算即可得分。
【难度系数】
0.7
