登录
16.甲、乙两个工程队修建一条长15千米的乡村公路.已知甲工程队每天比乙工程队多修路0.5千米,乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍.
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米;
(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元,乙工程队每天的修路费用为0.4万元.要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元,甲工程队至少要修路多少天?
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米;
(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元,乙工程队每天的修路费用为0.4万元.要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元,甲工程队至少要修路多少天?
答案
解：(1) 设甲工程队每天修路$x$千米，则乙工程队每天修路$(x-0.5)$千米。
根据题意列方程：
$\frac{15}{x-0.5}=1.5×\frac{15}{x}$
方程两边同乘$x(x-0.5)$，得：
$15x=22.5(x-0.5)$
解得：$x=1.5$
检验：当$x=1.5$时，$x(x-0.5)≠0$，$x=1.5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙工程队每天修路：$x-0.5=1.5-0.5=1$（千米）
(2) 设甲工程队修路$a$天，则乙工程队需要修路的天数为$\frac{15-1.5a}{1}=15-1.5a$天。
根据题意列不等式：
$0.5a + 0.4(15-1.5a)≤5.2$
化简得：
$0.5a + 6 - 0.6a≤5.2$
解得：$a≥8$
答：(1) 甲工程队每天修路1.5千米，乙工程队每天修路1千米；(2) 甲工程队至少要修路8天。
根据题意列方程：
$\frac{15}{x-0.5}=1.5×\frac{15}{x}$
方程两边同乘$x(x-0.5)$，得：
$15x=22.5(x-0.5)$
解得：$x=1.5$
检验：当$x=1.5$时，$x(x-0.5)≠0$，$x=1.5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙工程队每天修路：$x-0.5=1.5-0.5=1$（千米）
(2) 设甲工程队修路$a$天，则乙工程队需要修路的天数为$\frac{15-1.5a}{1}=15-1.5a$天。
根据题意列不等式：
$0.5a + 0.4(15-1.5a)≤5.2$
化简得：
$0.5a + 6 - 0.6a≤5.2$
解得：$a≥8$
答：(1) 甲工程队每天修路1.5千米，乙工程队每天修路1千米；(2) 甲工程队至少要修路8天。
解析
【分析】
（1）本题属于工程类问题，核心公式为“工作时间=工作总量÷工作效率”。首先根据“甲每天比乙多修0.5千米”设未知数，再结合“乙单独完成的天数是甲的1.5倍”这一等量关系列分式方程，求解后需检验解是否符合分式方程要求及实际意义。
（2）本题是不等式的实际应用，求最值问题。先设甲修路的天数，再根据总路程算出乙需要修路的天数，结合“总费用不超过5.2万元”的不等关系列不等式，求解后取符合条件的最小值即可。
【解析】
(1) 设甲工程队每天修路$x$千米，则乙工程队每天修路$(x-0.5)$千米。
根据题意列方程：
$\frac{15}{x-0.5}=1.5×\frac{15}{x}$
方程两边同乘$x(x-0.5)$，得：
$15x=22.5(x-0.5)$
解得：$x=1.5$
检验：当$x=1.5$时，$x(x-0.5)≠0$，$x=1.5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙工程队每天修路：$x-0.5=1.5-0.5=1$（千米）
(2) 设甲工程队修路$a$天，则乙工程队需要修路的长度为$(15-1.5a)$千米，所需天数为$\frac{15-1.5a}{1}=15-1.5a$天。
根据题意列不等式：
$0.5a + 0.4(15-1.5a)≤5.2$
化简得：
$0.5a + 6 - 0.6a≤5.2$
解得：$a≥8$
【答案】
(1) 甲工程队每天修路1.5千米，乙工程队每天修路1千米；(2) 甲工程队至少要修路8天。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题结合实际工程场景出题，既考查了分式方程的列解方法与检验规则，也考查了一元一次不等式的实际应用，解题核心是准确提取题目中的等量关系和不等关系，同时要注意实际问题的解必须符合现实意义，是典型的应用型考点。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于工程类问题，核心公式为“工作时间=工作总量÷工作效率”。首先根据“甲每天比乙多修0.5千米”设未知数，再结合“乙单独完成的天数是甲的1.5倍”这一等量关系列分式方程，求解后需检验解是否符合分式方程要求及实际意义。
（2）本题是不等式的实际应用，求最值问题。先设甲修路的天数，再根据总路程算出乙需要修路的天数，结合“总费用不超过5.2万元”的不等关系列不等式，求解后取符合条件的最小值即可。
【解析】
(1) 设甲工程队每天修路$x$千米，则乙工程队每天修路$(x-0.5)$千米。
根据题意列方程：
$\frac{15}{x-0.5}=1.5×\frac{15}{x}$
方程两边同乘$x(x-0.5)$，得：
$15x=22.5(x-0.5)$
解得：$x=1.5$
检验：当$x=1.5$时，$x(x-0.5)≠0$，$x=1.5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙工程队每天修路：$x-0.5=1.5-0.5=1$（千米）
(2) 设甲工程队修路$a$天，则乙工程队需要修路的长度为$(15-1.5a)$千米，所需天数为$\frac{15-1.5a}{1}=15-1.5a$天。
根据题意列不等式：
$0.5a + 0.4(15-1.5a)≤5.2$
化简得：
$0.5a + 6 - 0.6a≤5.2$
解得：$a≥8$
【答案】
(1) 甲工程队每天修路1.5千米，乙工程队每天修路1千米；(2) 甲工程队至少要修路8天。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题结合实际工程场景出题，既考查了分式方程的列解方法与检验规则，也考查了一元一次不等式的实际应用，解题核心是准确提取题目中的等量关系和不等关系，同时要注意实际问题的解必须符合现实意义，是典型的应用型考点。
【难度系数】
0.7
17.已知分式$M=(x+2-\dfrac{5}{x-2})÷\dfrac{x^3-6x^2+9x}{x^2-2x}.$
(1)化简这个分式$M$；
(2)把该分式$M$化简后的结果的分子与分母同时减2得到分式$N$，当$x＞5$时，分式$N$的值比原来分式$M$的值大还是小？请说明理由；
(3)若$M$的值为整数，且$x$也为整数，求出符合条件的所有$x$的值的和。
(1)化简这个分式$M$；
(2)把该分式$M$化简后的结果的分子与分母同时减2得到分式$N$，当$x＞5$时，分式$N$的值比原来分式$M$的值大还是小？请说明理由；
(3)若$M$的值为整数，且$x$也为整数，求出符合条件的所有$x$的值的和。
答案
解：(1) 化简分式$M$：
$\begin{aligned}M&=(x+2-\frac{5}{x-2})÷\frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-2x}\\&=\frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}÷\frac{x(x-3)^2}{x(x-2)}\\&=\frac{x^2-9}{x-2}·\frac{x(x-2)}{x(x-3)^2}\\&=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}·\frac{x(x-2)}{x(x-3)^2}\\&=\frac{x+3}{x-3}\end{aligned}$
(2) 分式$N$的值比$M$的值大，理由如下：
由题意得$N=\frac{(x+3)-2}{(x-3)-2}=\frac{x+1}{x-5}$，
计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=\frac{x+1}{x-5}-\frac{x+3}{x-3}\\&=\frac{(x+1)(x-3)-(x+3)(x-5)}{(x-5)(x-3)}\\&=\frac{x^2-2x-3-x^2+2x+15}{(x-5)(x-3)}\\&=\frac{12}{(x-5)(x-3)}\end{aligned}$
$\because x＞5$，$\therefore x-5＞0$，$x-3＞0$，
$\therefore \frac{12}{(x-5)(x-3)}＞0$，即$N-M＞0$，
$\therefore N＞M$，分式$N$的值比原来分式$M$的值大。
(3) 对$M$变形得：
$M=\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x-3)+6}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}$
$\because M$的值为整数，$x$为整数，
$\therefore x-3$是$6$的整数因数，即$x-3=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，
解得$x=4,2,5,1,6,0,9,-3$。
由分式有意义的条件：$x≠0,x≠2,x≠3$，
舍去不符合条件的$x=0$和$x=2$，
符合条件的$x$为$-3,1,4,5,6,9$，
它们的和为：$-3+1+4+5+6+9=22$。
答：符合条件的所有$x$的值的和为22。
$\begin{aligned}M&=(x+2-\frac{5}{x-2})÷\frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-2x}\\&=\frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}÷\frac{x(x-3)^2}{x(x-2)}\\&=\frac{x^2-9}{x-2}·\frac{x(x-2)}{x(x-3)^2}\\&=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}·\frac{x(x-2)}{x(x-3)^2}\\&=\frac{x+3}{x-3}\end{aligned}$
(2) 分式$N$的值比$M$的值大，理由如下：
由题意得$N=\frac{(x+3)-2}{(x-3)-2}=\frac{x+1}{x-5}$，
计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=\frac{x+1}{x-5}-\frac{x+3}{x-3}\\&=\frac{(x+1)(x-3)-(x+3)(x-5)}{(x-5)(x-3)}\\&=\frac{x^2-2x-3-x^2+2x+15}{(x-5)(x-3)}\\&=\frac{12}{(x-5)(x-3)}\end{aligned}$
$\because x＞5$，$\therefore x-5＞0$，$x-3＞0$，
$\therefore \frac{12}{(x-5)(x-3)}＞0$，即$N-M＞0$，
$\therefore N＞M$，分式$N$的值比原来分式$M$的值大。
(3) 对$M$变形得：
$M=\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x-3)+6}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}$
$\because M$的值为整数，$x$为整数，
$\therefore x-3$是$6$的整数因数，即$x-3=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，
解得$x=4,2,5,1,6,0,9,-3$。
由分式有意义的条件：$x≠0,x≠2,x≠3$，
舍去不符合条件的$x=0$和$x=2$，
符合条件的$x$为$-3,1,4,5,6,9$，
它们的和为：$-3+1+4+5+6+9=22$。
答：符合条件的所有$x$的值的和为22。
解析
【分析】
(1) 化简分式M时，先对括号内的部分通分，将异分母分式转化为同分母分式计算，再把除法运算转为乘法运算，对分子分母分别因式分解后约分即可，过程中要注意隐含的分式有意义的条件。
(2) 比较N和M的大小采用作差法：先根据题意写出N的表达式，再计算N-M的结果，结合x＞5的取值范围判断差的正负，差为正则N更大，差为负则M更大。
(3) 求整数x的和时，先将化简后的M分离常数，转化为“整数+分式”的形式，要让M为整数，只需分式部分的分母是分子的整数因数，列出所有可能的因数后，结合原分式有意义的条件排除不合要求的x值，最后将符合条件的x相加即可。
【解析】
(1) 化简分式$M$：
$\begin{aligned}M&=(x+2-\frac{5}{x-2})÷\frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-2x}\\&=\frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}÷\frac{x(x-3)^2}{x(x-2)}\\&=\frac{x^2-9}{x-2}·\frac{x(x-2)}{x(x-3)^2}\\&=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}·\frac{x(x-2)}{x(x-3)^2}\\&=\frac{x+3}{x-3}\end{aligned}$
(2) 分式$N$的值比$M$的值大，理由如下：
由题意得$N=\frac{(x+3)-2}{(x-3)-2}=\frac{x+1}{x-5}$，
计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=\frac{x+1}{x-5}-\frac{x+3}{x-3}\\&=\frac{(x+1)(x-3)-(x+3)(x-5)}{(x-5)(x-3)}\\&=\frac{x^2-2x-3-x^2+2x+15}{(x-5)(x-3)}\\&=\frac{12}{(x-5)(x-3)}\end{aligned}$
$\because x＞5$，$\therefore x-5＞0$，$x-3＞0$，
$\therefore \frac{12}{(x-5)(x-3)}＞0$，即$N-M＞0$，
$\therefore N＞M$，分式$N$的值比原来分式$M$的值大。
(3) 对$M$变形得：
$M=\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x-3)+6}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}$
$\because M$的值为整数，$x$为整数，
$\therefore x-3$是$6$的整数因数，即$x-3=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，
解得$x=4,2,5,1,6,0,9,-3$。
由分式有意义的条件：$x≠0,x≠2,x≠3$，
舍去不符合条件的$x=0$和$x=2$，
符合条件的$x$为$-3,1,4,5,6,9$，
它们的和为：$-3+1+4+5+6+9=22$。
【答案】
(1) $M=\dfrac{x+3}{x-3}$；
(2) 分式$N$的值比原来分式$M$的值大；
(3) 符合条件的所有$x$的值的和为$22$。
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式有意义的条件
3. 作差法比较大小
【点评】
本题综合考查分式的相关运算及应用，基础部分要求熟练掌握通分、约分、因式分解的技巧，作差法是比较代数式大小的常用方法，求解整数解时要注意结合分式有意义的条件排除增解，避免出现多算或漏算的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 化简分式M时，先对括号内的部分通分，将异分母分式转化为同分母分式计算，再把除法运算转为乘法运算，对分子分母分别因式分解后约分即可，过程中要注意隐含的分式有意义的条件。
(2) 比较N和M的大小采用作差法：先根据题意写出N的表达式，再计算N-M的结果，结合x＞5的取值范围判断差的正负，差为正则N更大，差为负则M更大。
(3) 求整数x的和时，先将化简后的M分离常数，转化为“整数+分式”的形式，要让M为整数，只需分式部分的分母是分子的整数因数，列出所有可能的因数后，结合原分式有意义的条件排除不合要求的x值，最后将符合条件的x相加即可。
【解析】
(1) 化简分式$M$：
$\begin{aligned}M&=(x+2-\frac{5}{x-2})÷\frac{x^3-6x^2+9x}{x^2-2x}\\&=\frac{(x+2)(x-2)-5}{x-2}÷\frac{x(x-3)^2}{x(x-2)}\\&=\frac{x^2-9}{x-2}·\frac{x(x-2)}{x(x-3)^2}\\&=\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}·\frac{x(x-2)}{x(x-3)^2}\\&=\frac{x+3}{x-3}\end{aligned}$
(2) 分式$N$的值比$M$的值大，理由如下：
由题意得$N=\frac{(x+3)-2}{(x-3)-2}=\frac{x+1}{x-5}$，
计算$N-M$：
$\begin{aligned}N-M&=\frac{x+1}{x-5}-\frac{x+3}{x-3}\\&=\frac{(x+1)(x-3)-(x+3)(x-5)}{(x-5)(x-3)}\\&=\frac{x^2-2x-3-x^2+2x+15}{(x-5)(x-3)}\\&=\frac{12}{(x-5)(x-3)}\end{aligned}$
$\because x＞5$，$\therefore x-5＞0$，$x-3＞0$，
$\therefore \frac{12}{(x-5)(x-3)}＞0$，即$N-M＞0$，
$\therefore N＞M$，分式$N$的值比原来分式$M$的值大。
(3) 对$M$变形得：
$M=\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x-3)+6}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}$
$\because M$的值为整数，$x$为整数，
$\therefore x-3$是$6$的整数因数，即$x-3=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，
解得$x=4,2,5,1,6,0,9,-3$。
由分式有意义的条件：$x≠0,x≠2,x≠3$，
舍去不符合条件的$x=0$和$x=2$，
符合条件的$x$为$-3,1,4,5,6,9$，
它们的和为：$-3+1+4+5+6+9=22$。
【答案】
(1) $M=\dfrac{x+3}{x-3}$；
(2) 分式$N$的值比原来分式$M$的值大；
(3) 符合条件的所有$x$的值的和为$22$。
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 分式有意义的条件
3. 作差法比较大小
【点评】
本题综合考查分式的相关运算及应用，基础部分要求熟练掌握通分、约分、因式分解的技巧，作差法是比较代数式大小的常用方法，求解整数解时要注意结合分式有意义的条件排除增解，避免出现多算或漏算的错误。
【难度系数】
0.6
