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11.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份;
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份;
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
答案
解：
(1) 设购买杂酱面$x$份，则购买牛肉面$(170-x)$份。
依题意得：
$15x + 20(170-x) = 3000$
解得：$x=80$
则$170-x=170-80=90$。
(2) 设购买牛肉面$a$份，则购买杂酱面$(1+50\%)a = 1.5a$份。
依题意得：
$\frac{1200}{a} - \frac{1260}{1.5a} = 6$
化简得：$\frac{1200}{a} - \frac{840}{a} = 6$
解得：$a=60$
检验：当$a=60$时，$a ≠ 0$，$1.5a ≠ 0$，故$a=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：购买杂酱面80份，牛肉面90份；购买牛肉面60份。
(1) 设购买杂酱面$x$份，则购买牛肉面$(170-x)$份。
依题意得：
$15x + 20(170-x) = 3000$
解得：$x=80$
则$170-x=170-80=90$。
(2) 设购买牛肉面$a$份，则购买杂酱面$(1+50\%)a = 1.5a$份。
依题意得：
$\frac{1200}{a} - \frac{1260}{1.5a} = 6$
化简得：$\frac{1200}{a} - \frac{840}{a} = 6$
解得：$a=60$
检验：当$a=60$时，$a ≠ 0$，$1.5a ≠ 0$，故$a=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：购买杂酱面80份，牛肉面90份；购买牛肉面60份。
解析
【分析】
(1) 第一问是一元一次方程实际应用问题，解题核心是找准等量关系：杂酱面总花费+牛肉面总花费=3000元。可先设杂酱面份数为未知数，用总份数减去杂酱面份数得到牛肉面份数，再结合“总价=单价×数量”分别表示两种食品的总花费，代入等量关系列方程求解即可。
(2) 第二问是分式方程实际应用问题，核心等量关系为：牛肉面单价 - 杂酱面单价=6元。先设牛肉面份数为a，根据“杂酱面份数比牛肉面多50%”表示出杂酱面份数，再用总花费除以对应份数分别表示两种食品的单价，代入等量关系列分式方程，求解后需检验根是否使分式有意义、是否符合实际情况。
【解析】
(1) 设购买杂酱面$x$份，则购买牛肉面$(170-x)$份。
依题意得：
$15x + 20(170-x) = 3000$
展开得：$15x + 3400 - 20x = 3000$
移项合并同类项得：$-5x = -400$
解得：$x=80$
则牛肉面的份数为$170-x=170-80=90$份。
(2) 设购买牛肉面$a$份，则购买杂酱面$(1+50\%)a = 1.5a$份。
依题意得牛肉面单价为$\frac{1200}{a}$元/份，杂酱面单价为$\frac{1260}{1.5a}$元/份，可列方程：
$\frac{1200}{a} - \frac{1260}{1.5a} = 6$
化简$\frac{1260}{1.5a}=\frac{840}{a}$，方程变为：$\frac{1200}{a} - \frac{840}{a} = 6$
合并得：$\frac{360}{a}=6$
解得：$a=60$
检验：当$a=60$时，$a ≠ 0$，$1.5a=90≠0$，故$a=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 购买杂酱面80份，牛肉面90份；(2) 购买牛肉面60份。
【知识点】
一元一次方程应用，分式方程应用，分式方程验根
【点评】
本题贴近生活实际，考查方程类应用题的常规解法，解题关键是找准题目中的等量关系准确列方程。需要注意分式方程求解后必须进行双重检验，既要保证分母不为零，还要验证解是否符合实际场景，这类题目能有效锻炼学生分析问题、用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问是一元一次方程实际应用问题，解题核心是找准等量关系：杂酱面总花费+牛肉面总花费=3000元。可先设杂酱面份数为未知数，用总份数减去杂酱面份数得到牛肉面份数，再结合“总价=单价×数量”分别表示两种食品的总花费，代入等量关系列方程求解即可。
(2) 第二问是分式方程实际应用问题，核心等量关系为：牛肉面单价 - 杂酱面单价=6元。先设牛肉面份数为a，根据“杂酱面份数比牛肉面多50%”表示出杂酱面份数，再用总花费除以对应份数分别表示两种食品的单价，代入等量关系列分式方程，求解后需检验根是否使分式有意义、是否符合实际情况。
【解析】
(1) 设购买杂酱面$x$份，则购买牛肉面$(170-x)$份。
依题意得：
$15x + 20(170-x) = 3000$
展开得：$15x + 3400 - 20x = 3000$
移项合并同类项得：$-5x = -400$
解得：$x=80$
则牛肉面的份数为$170-x=170-80=90$份。
(2) 设购买牛肉面$a$份，则购买杂酱面$(1+50\%)a = 1.5a$份。
依题意得牛肉面单价为$\frac{1200}{a}$元/份，杂酱面单价为$\frac{1260}{1.5a}$元/份，可列方程：
$\frac{1200}{a} - \frac{1260}{1.5a} = 6$
化简$\frac{1260}{1.5a}=\frac{840}{a}$，方程变为：$\frac{1200}{a} - \frac{840}{a} = 6$
合并得：$\frac{360}{a}=6$
解得：$a=60$
检验：当$a=60$时，$a ≠ 0$，$1.5a=90≠0$，故$a=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 购买杂酱面80份，牛肉面90份；(2) 购买牛肉面60份。
【知识点】
一元一次方程应用，分式方程应用，分式方程验根
【点评】
本题贴近生活实际，考查方程类应用题的常规解法，解题关键是找准题目中的等量关系准确列方程。需要注意分式方程求解后必须进行双重检验，既要保证分母不为零，还要验证解是否符合实际场景，这类题目能有效锻炼学生分析问题、用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
12.兴发服装店老板用4500元购进一批某款式T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元.
(1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
(2)老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出$\frac{4}{5}$时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩下的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价－进价）
(1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
(2)老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出$\frac{4}{5}$时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩下的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价－进价）
答案
解：
(1) 设第一批该款式T恤衫每件进价是$x$元，则第二批每件进价为$(x+9)$元。
根据题意，得：
$\frac{4500}{x} = \frac{4950}{x+9}$
方程两边同乘$x(x+9)$，得：
$4500(x+9) = 4950x$
解得：
$x=90$
检验：当$x=90$时，$x(x+9) ≠ 0$，所以$x=90$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)得，第二批T恤衫每件进价为$90+9=99$元，
第二批购进的数量为：$\frac{4950}{99}=50$件。
设剩下的T恤衫每件售价为$y$元，
根据题意，得：
$120× 50× \frac{4}{5} + y× 50× (1-\frac{4}{5}) - 4950 ≥ 650$
化简得：
$4800 + 10y - 4950 ≥ 650$
解得：
$y ≥ 80$
答：(1)第一批该款式T恤衫每件进价是90元；(2)剩下的T恤衫每件售价至少要80元。
(1) 设第一批该款式T恤衫每件进价是$x$元，则第二批每件进价为$(x+9)$元。
根据题意，得：
$\frac{4500}{x} = \frac{4950}{x+9}$
方程两边同乘$x(x+9)$，得：
$4500(x+9) = 4950x$
解得：
$x=90$
检验：当$x=90$时，$x(x+9) ≠ 0$，所以$x=90$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)得，第二批T恤衫每件进价为$90+9=99$元，
第二批购进的数量为：$\frac{4950}{99}=50$件。
设剩下的T恤衫每件售价为$y$元，
根据题意，得：
$120× 50× \frac{4}{5} + y× 50× (1-\frac{4}{5}) - 4950 ≥ 650$
化简得：
$4800 + 10y - 4950 ≥ 650$
解得：
$y ≥ 80$
答：(1)第一批该款式T恤衫每件进价是90元；(2)剩下的T恤衫每件售价至少要80元。
解析
【分析】
(1) 求解第一批T恤的进价，首先提取题干等量关系：第一批购进数量=第二批购进数量，而购进数量=总进价÷单件进价。因此设第一批每件进价为x元，可表示出第二批的进价，再根据数量相等列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2) 求解剩余T恤的最低售价，首先根据“销售利润不低于650元”确定不等关系：第二批总售价 - 第二批总进价 ≥ 650元。先计算出第二批的单件进价和总购进数量，再设剩余T恤每件售价为y元，分别表示已售部分和剩余部分的销售额，代入不等关系解不等式即可。
【解析】
(1) 设第一批该款式T恤衫每件进价是$x$元，则第二批每件进价为$(x+9)$元。
根据两次购进数量相等，列方程：
$\frac{4500}{x} = \frac{4950}{x+9}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+9)$去分母，得：
$4500(x+9) = 4950x$
展开移项计算：
$4500x + 40500 = 4950x$
$450x = 40500$
解得：$x=90$
检验：当$x=90$时，$x(x+9)=90×99=8910≠0$，因此$x=90$是原分式方程的解，且符合实际题意。
(2) 由(1)得，第二批T恤衫每件进价为$90+9=99$元，
第二批购进的总数量为：$\frac{4950}{99}=50$件。
设剩下的T恤衫每件售价为$y$元，
根据第二批销售利润不低于650元，列不等式：
$120× 50× \frac{4}{5} + y× 50× (1-\frac{4}{5}) - 4950 ≥ 650$
化简计算：
$4800 + 10y - 4950 ≥ 650$
$10y ≥ 800$
解得：$y ≥ 80$
【答案】
(1) 第一批该款式T恤衫每件进价是90元；
(2) 剩下的T恤衫每件售价至少要80元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；销售利润计算
【点评】
本题是贴近生活的应用类题型，解题核心是准确提取题干中的等量关系与不等关系，列出对应的方程、不等式求解。需注意分式方程必须检验根是否符合方程要求和实际意义，不等式的解要满足实际问题的限制条件。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一批T恤的进价，首先提取题干等量关系：第一批购进数量=第二批购进数量，而购进数量=总进价÷单件进价。因此设第一批每件进价为x元，可表示出第二批的进价，再根据数量相等列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性。
(2) 求解剩余T恤的最低售价，首先根据“销售利润不低于650元”确定不等关系：第二批总售价 - 第二批总进价 ≥ 650元。先计算出第二批的单件进价和总购进数量，再设剩余T恤每件售价为y元，分别表示已售部分和剩余部分的销售额，代入不等关系解不等式即可。
【解析】
(1) 设第一批该款式T恤衫每件进价是$x$元，则第二批每件进价为$(x+9)$元。
根据两次购进数量相等，列方程：
$\frac{4500}{x} = \frac{4950}{x+9}$
方程两边同乘最简公分母$x(x+9)$去分母，得：
$4500(x+9) = 4950x$
展开移项计算：
$4500x + 40500 = 4950x$
$450x = 40500$
解得：$x=90$
检验：当$x=90$时，$x(x+9)=90×99=8910≠0$，因此$x=90$是原分式方程的解，且符合实际题意。
(2) 由(1)得，第二批T恤衫每件进价为$90+9=99$元，
第二批购进的总数量为：$\frac{4950}{99}=50$件。
设剩下的T恤衫每件售价为$y$元，
根据第二批销售利润不低于650元，列不等式：
$120× 50× \frac{4}{5} + y× 50× (1-\frac{4}{5}) - 4950 ≥ 650$
化简计算：
$4800 + 10y - 4950 ≥ 650$
$10y ≥ 800$
解得：$y ≥ 80$
【答案】
(1) 第一批该款式T恤衫每件进价是90元；
(2) 剩下的T恤衫每件售价至少要80元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；销售利润计算
【点评】
本题是贴近生活的应用类题型，解题核心是准确提取题干中的等量关系与不等关系，列出对应的方程、不等式求解。需注意分式方程必须检验根是否符合方程要求和实际意义，不等式的解要满足实际问题的限制条件。
【难度系数】
0.7
