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7.某加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件和1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（）
A.$\frac{2100}{30x}=\frac{1200}{20(26-x)}$
B.$\frac{2100}{x}=\frac{1200}{26-x}$
C.$\frac{2100}{20x}=\frac{1200}{30(26-x)}$
D.$\frac{2100}{x} × 30=\frac{1200}{26-x} × 20$
A.$\frac{2100}{30x}=\frac{1200}{20(26-x)}$
B.$\frac{2100}{x}=\frac{1200}{26-x}$
C.$\frac{2100}{20x}=\frac{1200}{30(26-x)}$
D.$\frac{2100}{x} × 30=\frac{1200}{26-x} × 20$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，首先抓住题干核心要求“同时完成两种零件的加工任务”，说明加工A零件的总时间和加工B零件的总时间相等。我们先明确两个基本信息：1. 人数：安排x人加工A零件，那么加工B零件的人数就是总人数26减去x，即(26-x)人；2. 工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作总效率。接下来分别计算两种零件的加工时间，再令两个时间相等即可列出方程。
【解析】
解：设安排x人加工A零件，则加工B零件的人数为(26-x)人。
1. 计算加工A零件的总时间：
A零件总工作量为2100个，每人每天加工A零件30个，x人每天共加工30x个A零件，
根据工作时间=工作总量÷工作效率，得加工A零件的时间为：$\frac{2100}{30x}$。
2. 计算加工B零件的总时间：
B零件总工作量为1200个，每人每天加工B零件20个，(26-x)人每天共加工$20(26-x)$个B零件，
同理得加工B零件的时间为：$\frac{1200}{20(26-x)}$。
3. 因为要同时完成两种零件加工，所以两个时间相等，列方程得：
$\frac{2100}{30x}=\frac{1200}{20(26-x)}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用；工程问题；等量关系提取
【点评】
本题属于工程类列方程的基础题型，解题的核心是抓住“同时完成”这一关键条件，提取出“两种零件加工时间相等”的等量关系，再结合工程问题的基本公式即可顺利求解，需要注意不要混淆两种零件的单人加工效率。
【难度系数】
0.7
要解决这道列方程的题目，首先抓住题干核心要求“同时完成两种零件的加工任务”，说明加工A零件的总时间和加工B零件的总时间相等。我们先明确两个基本信息：1. 人数：安排x人加工A零件，那么加工B零件的人数就是总人数26减去x，即(26-x)人；2. 工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作总效率。接下来分别计算两种零件的加工时间，再令两个时间相等即可列出方程。
【解析】
解：设安排x人加工A零件，则加工B零件的人数为(26-x)人。
1. 计算加工A零件的总时间：
A零件总工作量为2100个，每人每天加工A零件30个，x人每天共加工30x个A零件，
根据工作时间=工作总量÷工作效率，得加工A零件的时间为：$\frac{2100}{30x}$。
2. 计算加工B零件的总时间：
B零件总工作量为1200个，每人每天加工B零件20个，(26-x)人每天共加工$20(26-x)$个B零件，
同理得加工B零件的时间为：$\frac{1200}{20(26-x)}$。
3. 因为要同时完成两种零件加工，所以两个时间相等，列方程得：
$\frac{2100}{30x}=\frac{1200}{20(26-x)}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用；工程问题；等量关系提取
【点评】
本题属于工程类列方程的基础题型，解题的核心是抓住“同时完成”这一关键条件，提取出“两种零件加工时间相等”的等量关系，再结合工程问题的基本公式即可顺利求解，需要注意不要混淆两种零件的单人加工效率。
【难度系数】
0.7
8. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是()
A.8天
B.7天
C.6天
D.5天
A.8天
B.7天
C.6天
D.5天
答案
A
解析
【分析】
这是典型的工程类分式方程应用题，解题思路如下：①工程问题通常设总工作量为1，若设甲志愿者计划完成工作的天数为x天，则甲的日工作效率为$\frac{1}{x}$，因甲乙工效相同，乙的日效率也为$\frac{1}{x}$；②找等量关系：甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1；③确定甲乙的工作时长：实际完成任务提前3天，即实际总时长为$(x-3)$天，甲全程参与工作，时长为$(x-3)$天；乙从第3个工作日加入，比甲少工作2天，因此乙的工作时长为$(x-3-2)$天；④代入等量关系列分式方程，求解后检验是否符合题意即可。
【解析】
设甲志愿者计划完成此项工作的天数为$x$天，将总工作量看作单位1，则甲的日工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的日工作效率也为$\frac{1}{x}$。
由题意知，实际完成工作的天数为$(x-3)$天：
甲全程参与工作，工作量为$\frac{x-3}{x}$
乙从第3个工作日加入，工作时长为$(x-3-2)=(x-5)$天，工作量为$\frac{x-5}{x}$
根据总工作量为1，列方程：
$\frac{x-3}{x} + \frac{x-5}{x} = 1$
方程两边同乘$x$去分母得：
$x-3 + x -5 = x$
移项合并同类项得：
$x=8$
检验：当$x=8$时，$x≠0$，且工作天数为正整数，符合实际意义，因此$x=8$是原方程的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的应用，解题核心是抓住总工作量为1的隐含等量关系，易错点是容易算错乙的工作时长，解分式方程后注意要检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
这是典型的工程类分式方程应用题，解题思路如下：①工程问题通常设总工作量为1，若设甲志愿者计划完成工作的天数为x天，则甲的日工作效率为$\frac{1}{x}$，因甲乙工效相同，乙的日效率也为$\frac{1}{x}$；②找等量关系：甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1；③确定甲乙的工作时长：实际完成任务提前3天，即实际总时长为$(x-3)$天，甲全程参与工作，时长为$(x-3)$天；乙从第3个工作日加入，比甲少工作2天，因此乙的工作时长为$(x-3-2)$天；④代入等量关系列分式方程，求解后检验是否符合题意即可。
【解析】
设甲志愿者计划完成此项工作的天数为$x$天，将总工作量看作单位1，则甲的日工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的日工作效率也为$\frac{1}{x}$。
由题意知，实际完成工作的天数为$(x-3)$天：
甲全程参与工作，工作量为$\frac{x-3}{x}$
乙从第3个工作日加入，工作时长为$(x-3-2)=(x-5)$天，工作量为$\frac{x-5}{x}$
根据总工作量为1，列方程：
$\frac{x-3}{x} + \frac{x-5}{x} = 1$
方程两边同乘$x$去分母得：
$x-3 + x -5 = x$
移项合并同类项得：
$x=8$
检验：当$x=8$时，$x≠0$，且工作天数为正整数，符合实际意义，因此$x=8$是原方程的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的应用，解题核心是抓住总工作量为1的隐含等量关系，易错点是容易算错乙的工作时长，解分式方程后注意要检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
9.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程.已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的$\frac{4}{5}$，甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
答案
解：设甲施工队单独完成此项工程需$x$天，则乙施工队单独完成此项工程需$\frac{4}{5}x$天。
根据题意，甲队共工作10天，乙队共工作$2+10=12$天，总工作量为1，列方程得：
$\frac{10}{x} + \frac{12}{\frac{4}{5}x} = 1$
化简得：
$\frac{10}{x} + \frac{15}{x} = 1$
$\frac{25}{x} = 1$
解得：$x=25$
检验：当$x=25$时，$x≠0$，$x=25$是原分式方程的解，且符合实际意义。
乙队单独完成此项工程的天数为：$\frac{4}{5} × 25 = 20$（天）
答：甲施工队单独完成此项工程需25天，乙施工队单独完成此项工程需20天。
根据题意，甲队共工作10天，乙队共工作$2+10=12$天，总工作量为1，列方程得：
$\frac{10}{x} + \frac{12}{\frac{4}{5}x} = 1$
化简得：
$\frac{10}{x} + \frac{15}{x} = 1$
$\frac{25}{x} = 1$
解得：$x=25$
检验：当$x=25$时，$x≠0$，$x=25$是原分式方程的解，且符合实际意义。
乙队单独完成此项工程的天数为：$\frac{4}{5} × 25 = 20$（天）
答：甲施工队单独完成此项工程需25天，乙施工队单独完成此项工程需20天。
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题核心是利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系，通常将总工作量设为单位1，工作效率即为单独完成天数的倒数。首先根据“乙队单独完成天数是甲队的$\frac{4}{5}$”设未知数：设甲单独完成需$x$天，则乙单独完成需$\frac{4}{5}x$天；再梳理两队的工作时间：乙先单独做2天，又合作10天，共工作12天，甲仅参与合作的10天，工作时长为10天；最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”列分式方程，解后需检验根是否符合方程和实际意义，再计算乙的单独完成天数即可。
【解析】
解：设甲施工队单独完成此项工程需$x$天，则乙施工队单独完成此项工程需$\frac{4}{5}x$天。
根据题意，甲队工作10天，乙队共工作$2+10=12$天，总工作量为1，列方程得：
$\frac{10}{x} + \frac{12}{\frac{4}{5}x} = 1$
化简得：
$\frac{10}{x} + \frac{15}{x} = 1$
$\frac{25}{x} = 1$
解得：$x=25$
检验：当$x=25$时，$x≠0$，因此$x=25$是原分式方程的解，且符合实际工程的时间意义。
乙队单独完成此项工程的天数为：$\frac{4}{5} × 25 = 20$（天）
答：甲施工队单独完成此项工程需25天，乙施工队单独完成此项工程需20天。
【答案】
甲施工队单独完成需25天，乙施工队单独完成需20天。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题求解；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础应用型题目，解题关键是准确梳理各施工队的工作时长，牢牢抓住总工作量为1的等量关系列方程，需注意分式方程的解必须同时满足方程本身和实际场景的要求，不可省略检验步骤。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题核心是利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系，通常将总工作量设为单位1，工作效率即为单独完成天数的倒数。首先根据“乙队单独完成天数是甲队的$\frac{4}{5}$”设未知数：设甲单独完成需$x$天，则乙单独完成需$\frac{4}{5}x$天；再梳理两队的工作时间：乙先单独做2天，又合作10天，共工作12天，甲仅参与合作的10天，工作时长为10天；最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”列分式方程，解后需检验根是否符合方程和实际意义，再计算乙的单独完成天数即可。
【解析】
解：设甲施工队单独完成此项工程需$x$天，则乙施工队单独完成此项工程需$\frac{4}{5}x$天。
根据题意，甲队工作10天，乙队共工作$2+10=12$天，总工作量为1，列方程得：
$\frac{10}{x} + \frac{12}{\frac{4}{5}x} = 1$
化简得：
$\frac{10}{x} + \frac{15}{x} = 1$
$\frac{25}{x} = 1$
解得：$x=25$
检验：当$x=25$时，$x≠0$，因此$x=25$是原分式方程的解，且符合实际工程的时间意义。
乙队单独完成此项工程的天数为：$\frac{4}{5} × 25 = 20$（天）
答：甲施工队单独完成此项工程需25天，乙施工队单独完成此项工程需20天。
【答案】
甲施工队单独完成需25天，乙施工队单独完成需20天。
【知识点】
分式方程的应用；工程问题求解；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础应用型题目，解题关键是准确梳理各施工队的工作时长，牢牢抓住总工作量为1的等量关系列方程，需注意分式方程的解必须同时满足方程本身和实际场景的要求，不可省略检验步骤。
【难度系数】
0.7
10.近年来，某市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6 min，求走路线B的平均速度.
答案
解：设走路线A的平均速度为$ x \, \mathrm{km/h} $，则走路线B的平均速度为$ (1+50\%)x = 1.5x \, \mathrm{km/h} $。
根据题意，$ 6\ \mathrm{min} = \frac{6}{60}\ \mathrm{h} = 0.1\ \mathrm{h} $，列方程得：
$\frac{25}{x} - \frac{30}{1.5x} = 0.1$
化简得：
$\frac{25}{x} - \frac{20}{x} = 0.1$
$\frac{5}{x} = 0.1$
解得：$ x = 50 $。
检验：当$ x=50 $时，$ 1.5x ≠ 0 $，所以$ x=50 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
走路线B的平均速度为：$ 1.5 × 50 = 75 \, \mathrm{km/h} $。
答：走路线B的平均速度为75 km/h。
根据题意，$ 6\ \mathrm{min} = \frac{6}{60}\ \mathrm{h} = 0.1\ \mathrm{h} $，列方程得：
$\frac{25}{x} - \frac{30}{1.5x} = 0.1$
化简得：
$\frac{25}{x} - \frac{20}{x} = 0.1$
$\frac{5}{x} = 0.1$
解得：$ x = 50 $。
检验：当$ x=50 $时，$ 1.5x ≠ 0 $，所以$ x=50 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
走路线B的平均速度为：$ 1.5 × 50 = 75 \, \mathrm{km/h} $。
答：走路线B的平均速度为75 km/h。
解析
【分析】
本题属于行程类分式方程应用题，核心解题依据是“时间=路程÷速度”。解题思路如下：首先统一单位，题目中节省的时间是6分钟，速度单位为km/h，因此要先将6分钟换算为0.1小时；其次合理设未知数，可先设走路线A的平均速度为x km/h，根据“走路线B比走路线A平均速度提高50%”，可表示出路线B的平均速度为1.5x km/h；然后找等量关系：走路线A的总时间减去走路线B的总时间等于节省的0.1小时，据此列出分式方程；最后解方程后需先检验解是否使原分式分母不为0，再判断是否符合实际意义，进而求出路线B的平均速度。
【解析】
解：设走路线A的平均速度为$ x \, \mathrm{km/h} $，则走路线B的平均速度为$ (1+50\%)x = 1.5x \, \mathrm{km/h} $。
先统一单位：$ 6\ \mathrm{min} = \frac{6}{60}\ \mathrm{h} = 0.1\ \mathrm{h} $
根据时间差的等量关系列方程得：
$\frac{25}{x} - \frac{30}{1.5x} = 0.1$
化简方程：
$\frac{25}{x} - \frac{20}{x} = 0.1$
$\frac{5}{x} = 0.1$
解得：$ x = 50 $
检验：当$ x=50 $时，$ 1.5x = 75 ≠ 0 $，所以$ x=50 $是原分式方程的解，且符合实际出行的速度要求。
则走路线B的平均速度为：$ 1.5 × 50 = 75 \, \mathrm{km/h} $
答：走路线B的平均速度为75 km/h。
【答案】
75 km/h
【知识点】
分式方程的应用、行程问题数量关系、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的常考题型，解题核心是找准不同路线的时间差等量关系，要注意单位统一的细节，同时牢记分式方程求解后必须进行检验，确保解既符合方程要求也符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类分式方程应用题，核心解题依据是“时间=路程÷速度”。解题思路如下：首先统一单位，题目中节省的时间是6分钟，速度单位为km/h，因此要先将6分钟换算为0.1小时；其次合理设未知数，可先设走路线A的平均速度为x km/h，根据“走路线B比走路线A平均速度提高50%”，可表示出路线B的平均速度为1.5x km/h；然后找等量关系：走路线A的总时间减去走路线B的总时间等于节省的0.1小时，据此列出分式方程；最后解方程后需先检验解是否使原分式分母不为0，再判断是否符合实际意义，进而求出路线B的平均速度。
【解析】
解：设走路线A的平均速度为$ x \, \mathrm{km/h} $，则走路线B的平均速度为$ (1+50\%)x = 1.5x \, \mathrm{km/h} $。
先统一单位：$ 6\ \mathrm{min} = \frac{6}{60}\ \mathrm{h} = 0.1\ \mathrm{h} $
根据时间差的等量关系列方程得：
$\frac{25}{x} - \frac{30}{1.5x} = 0.1$
化简方程：
$\frac{25}{x} - \frac{20}{x} = 0.1$
$\frac{5}{x} = 0.1$
解得：$ x = 50 $
检验：当$ x=50 $时，$ 1.5x = 75 ≠ 0 $，所以$ x=50 $是原分式方程的解，且符合实际出行的速度要求。
则走路线B的平均速度为：$ 1.5 × 50 = 75 \, \mathrm{km/h} $
答：走路线B的平均速度为75 km/h。
【答案】
75 km/h
【知识点】
分式方程的应用、行程问题数量关系、分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程解决实际问题的常考题型，解题核心是找准不同路线的时间差等量关系，要注意单位统一的细节，同时牢记分式方程求解后必须进行检验，确保解既符合方程要求也符合实际意义。
【难度系数】
0.7
