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10.一学生队伍以4 km/h的速度从学校出发步行前往某地参加劳动。出发0.5 h后，学校有紧急通知要传给队长，立即派了一名老师骑自行车以14 km/h的速度原路去追，该老师要用
$\frac{1}{5}$
h才能追上学生队伍。答案
10.$\frac{1}{5}$
解析
【分析】
这是典型的行程追及问题，解题核心是找到等量关系：老师追上学生队伍时，老师骑行的总路程与学生队伍步行的总路程相等。我们可以设老师追及的时间为未知数，分别表示出老师和学生的路程，列一元一次方程求解即可。第一步先设追及时间为x h；第二步分别表示两者的路程：学生总步行时间为提前出发的0.5 h加上老师追及的x h，路程为速度4 km/h乘总时间；老师的路程为骑行速度14 km/h乘追及时间x h；第三步根据路程相等列方程求解。
【解析】
解：设该老师要用x h才能追上学生队伍。
学生队伍总共步行的时间为$(x + 0.5)$h，根据路程=速度×时间，追上时两者路程相等，可列方程：
$14x = 4(x + 0.5)$
展开得：$14x = 4x + 2$
移项合并同类项得：$10x = 2$
解得：$x = \frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题关键是准确把握追及场景下“路程相等”的核心等量关系，熟练掌握列一元一次方程解应用题的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是典型的行程追及问题，解题核心是找到等量关系：老师追上学生队伍时，老师骑行的总路程与学生队伍步行的总路程相等。我们可以设老师追及的时间为未知数，分别表示出老师和学生的路程，列一元一次方程求解即可。第一步先设追及时间为x h；第二步分别表示两者的路程：学生总步行时间为提前出发的0.5 h加上老师追及的x h，路程为速度4 km/h乘总时间；老师的路程为骑行速度14 km/h乘追及时间x h；第三步根据路程相等列方程求解。
【解析】
解：设该老师要用x h才能追上学生队伍。
学生队伍总共步行的时间为$(x + 0.5)$h，根据路程=速度×时间，追上时两者路程相等，可列方程：
$14x = 4(x + 0.5)$
展开得：$14x = 4x + 2$
移项合并同类项得：$10x = 2$
解得：$x = \frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程追及问题
【点评】
本题是行程类基础应用题，解题关键是准确把握追及场景下“路程相等”的核心等量关系，熟练掌握列一元一次方程解应用题的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11.如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；剪15刀，绳子变为
46
段。若绳子剪开后，正好变为103段，则剪了 34
刀。答案
11.46 34
解析
【分析】
这是一道规律探究题，我们可以先从已知条件入手分析：首先列出剪的刀数和对应段数的关系，剪1刀得4段，剪2刀得7段，观察发现每多剪1刀，段数就增加3段，这是因为绳子折成3股，剪1刀会同时剪断3股，所以每次新增3段。由此可推导通用公式：设剪n刀，绳子总段数为y，未剪时（n=0）绳子为1段，因此可得y=3n+1。接下来我们只需将对应数值代入公式，就能分别求解两个问题。
【解析】
根据题中给出的条件归纳规律：
剪1刀时，段数为$ 4=3×1+1 $；
剪2刀时，段数为$ 7=3×2+1 $；
可得通用规律：剪n刀时，绳子的段数为$ 3n+1 $。
1. 当剪15刀时，将$ n=15 $代入公式：
$ 3×15+1=46 $，即绳子变为46段。
2. 当绳子变为103段时，列方程：
$ 3n+1=103 $
移项得$ 3n=103-1=102 $
解得$ n=102÷3=34 $，即剪了34刀。
【答案】
46；34
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类的常见题型，解题关键是通过已知实例归纳出剪的刀数和绳子段数之间的数量关系，再结合关系式进行计算或列方程求解，能有效考查学生的归纳推理和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道规律探究题，我们可以先从已知条件入手分析：首先列出剪的刀数和对应段数的关系，剪1刀得4段，剪2刀得7段，观察发现每多剪1刀，段数就增加3段，这是因为绳子折成3股，剪1刀会同时剪断3股，所以每次新增3段。由此可推导通用公式：设剪n刀，绳子总段数为y，未剪时（n=0）绳子为1段，因此可得y=3n+1。接下来我们只需将对应数值代入公式，就能分别求解两个问题。
【解析】
根据题中给出的条件归纳规律：
剪1刀时，段数为$ 4=3×1+1 $；
剪2刀时，段数为$ 7=3×2+1 $；
可得通用规律：剪n刀时，绳子的段数为$ 3n+1 $。
1. 当剪15刀时，将$ n=15 $代入公式：
$ 3×15+1=46 $，即绳子变为46段。
2. 当绳子变为103段时，列方程：
$ 3n+1=103 $
移项得$ 3n=103-1=102 $
解得$ n=102÷3=34 $，即剪了34刀。
【答案】
46；34
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类的常见题型，解题关键是通过已知实例归纳出剪的刀数和绳子段数之间的数量关系，再结合关系式进行计算或列方程求解，能有效考查学生的归纳推理和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
12.当 x 取何值时，$\frac{1-2x}{7}-1$和$\frac{4-x}{4}$的值相等？
答案
12.解:根据题意,得$\frac{1-2x}{7}-1=\frac{4-x}{4}$。
去分母,得4(1-2x)-28=7(4-x)。
去括号,得4-8x-28=28-7x。
移项、合并同类项,得$-x=52$。
系数化为1,得$x=-52$。
去分母,得4(1-2x)-28=7(4-x)。
去括号,得4-8x-28=28-7x。
移项、合并同类项,得$-x=52$。
系数化为1,得$x=-52$。
解析
【分析】
题目要求两个代数式的值相等，首先根据这一等量关系列出一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可。思考路径：第一步先根据“值相等”建立等式；第二步去分母时要注意等式两边的每一项都要乘两个分母的最小公倍数28，不要漏乘单独的常数项-1；第三步去括号要注意符号规则；第四步移项要记得变号，最后合并同类项、系数化为1就能得到x的值。
【解析】
根据题意，得$\frac{1-2x}{7}-1=\frac{4-x}{4}$。
去分母，两边同乘28，得$4(1-2x)-28=7(4-x)$。
去括号，得$4-8x-28=28-7x$。
移项、合并同类项，得$-x=52$。
系数化为1，得$x=-52$。
【答案】
$x=-52$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是根据题干等量关系列方程，再按解一元一次方程的步骤求解，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、移项要变号，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
题目要求两个代数式的值相等，首先根据这一等量关系列出一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤求解即可。思考路径：第一步先根据“值相等”建立等式；第二步去分母时要注意等式两边的每一项都要乘两个分母的最小公倍数28，不要漏乘单独的常数项-1；第三步去括号要注意符号规则；第四步移项要记得变号，最后合并同类项、系数化为1就能得到x的值。
【解析】
根据题意，得$\frac{1-2x}{7}-1=\frac{4-x}{4}$。
去分母，两边同乘28，得$4(1-2x)-28=7(4-x)$。
去括号，得$4-8x-28=28-7x$。
移项、合并同类项，得$-x=52$。
系数化为1，得$x=-52$。
【答案】
$x=-52$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是根据题干等量关系列方程，再按解一元一次方程的步骤求解，解题时需注意去分母不要漏乘常数项、移项要变号，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
13.某车间有62名工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个，应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套？（3个甲种零件和2个乙种零件配成一套）
答案
13.解:设应分配x人生产甲种零件,则有
(62-x)人生产乙种零件。
由题意得$2×12x=3×23×(62-x)$,
解得$x=46,62-46=16$(人),
所以应分配46人生产甲种零件,16人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套。
(62-x)人生产乙种零件。
由题意得$2×12x=3×23×(62-x)$,
解得$x=46,62-46=16$(人),
所以应分配46人生产甲种零件,16人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套。
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题可按三步推进：第一步梳理已知条件：总共有62名工人，每人每天可生产12个甲零件或23个乙零件，3个甲零件和2个乙零件配成一套；第二步找核心等量关系：一是人数关系，生产甲零件的人数+生产乙零件的人数=62；二是配套关系，要让零件刚好配套，甲零件总数:乙零件总数=3:2，交叉相乘可得等价的整数等量关系：2×甲零件总数=3×乙零件总数，可避免比例计算出错；第三步设未知数列方程求解，设生产甲零件的人数为x，即可表示出生产乙零件的人数，代入等量关系计算即可。
【解析】
解：设应分配x人生产甲种零件，则有(62-x)人生产乙种零件。
由题意得配套等量关系：
$2×12x=3×23×(62-x)$
计算得：$24x=4278-69x$
移项合并同类项：$93x=4278$
解得：$x=46$
生产乙种零件的人数为$62-46=16$（人）
答：应分配46人生产甲种零件，16人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套。
【答案】
应分配46人生产甲种零件，16人生产乙种零件。
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题、解一元一次方程
【点评】
本题是方程应用的常规考法，解题关键是准确转化配套规则为等量关系，注意不要混淆两种零件的配套比例，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题可按三步推进：第一步梳理已知条件：总共有62名工人，每人每天可生产12个甲零件或23个乙零件，3个甲零件和2个乙零件配成一套；第二步找核心等量关系：一是人数关系，生产甲零件的人数+生产乙零件的人数=62；二是配套关系，要让零件刚好配套，甲零件总数:乙零件总数=3:2，交叉相乘可得等价的整数等量关系：2×甲零件总数=3×乙零件总数，可避免比例计算出错；第三步设未知数列方程求解，设生产甲零件的人数为x，即可表示出生产乙零件的人数，代入等量关系计算即可。
【解析】
解：设应分配x人生产甲种零件，则有(62-x)人生产乙种零件。
由题意得配套等量关系：
$2×12x=3×23×(62-x)$
计算得：$24x=4278-69x$
移项合并同类项：$93x=4278$
解得：$x=46$
生产乙种零件的人数为$62-46=16$（人）
答：应分配46人生产甲种零件，16人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套。
【答案】
应分配46人生产甲种零件，16人生产乙种零件。
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题、解一元一次方程
【点评】
本题是方程应用的常规考法，解题关键是准确转化配套规则为等量关系，注意不要混淆两种零件的配套比例，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
14.某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，加价50%作为售价；乙种商品每件进价50元，售价80元。
(1)甲种商品每件售价为
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件。
(1)甲种商品每件售价为
60
元，乙种商品每件的利润为30
元，利润率为60%
；(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲、乙两种商品各多少件。
答案
14.解:(1)60 30 60%
(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50-x)件,
由题意,得$40x+50(50-x)=2 100$,
解得$x=40$,
$50-40=10$(件),
所以购进甲种商品40件,乙种商品10件。
(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50-x)件,
由题意,得$40x+50(50-x)=2 100$,
解得$x=40$,
$50-40=10$(件),
所以购进甲种商品40件,乙种商品10件。
解析
【分析】
（1）第一小问可直接根据销售类公式计算：甲商品售价=进价×(1+加价率)，乙商品利润=售价-进价，乙商品利润率=利润÷进价×100%，代入对应数值即可求解。
（2）第二小问是一元一次方程实际应用问题，首先设购进甲种商品x件，由总件数可得乙种商品为(50-x)件，再根据等量关系“甲总进价+乙总进价=2100元”列方程，求解后即可得到两种商品的购进数量。
【解析】
（1）甲种商品每件售价：$40×(1+50\%)=60$（元）
乙种商品每件利润：$80-50=30$（元）
乙种商品利润率：$\frac{30}{50}×100\%=60\%$
（2）设购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(50-x)$件，
由总进价为2100元可列方程：
$40x+50(50-x)=2100$
展开得：$40x+2500-50x=2100$
合并同类项得：$-10x=-400$
解得：$x=40$
则乙种商品数量为：$50-40=10$（件）
【答案】
(1) 60；30；60%
(2) 购进甲种商品40件，乙种商品10件
【知识点】
销售盈亏计算；一元一次方程的应用；利润率计算
【点评】
本题属于基础的实际应用题型，第一问考察销售类基础公式的直接运用，第二问考察列一元一次方程解应用题的能力，解题核心是找准等量关系，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
（1）第一小问可直接根据销售类公式计算：甲商品售价=进价×(1+加价率)，乙商品利润=售价-进价，乙商品利润率=利润÷进价×100%，代入对应数值即可求解。
（2）第二小问是一元一次方程实际应用问题，首先设购进甲种商品x件，由总件数可得乙种商品为(50-x)件，再根据等量关系“甲总进价+乙总进价=2100元”列方程，求解后即可得到两种商品的购进数量。
【解析】
（1）甲种商品每件售价：$40×(1+50\%)=60$（元）
乙种商品每件利润：$80-50=30$（元）
乙种商品利润率：$\frac{30}{50}×100\%=60\%$
（2）设购进甲种商品$x$件，则购进乙种商品$(50-x)$件，
由总进价为2100元可列方程：
$40x+50(50-x)=2100$
展开得：$40x+2500-50x=2100$
合并同类项得：$-10x=-400$
解得：$x=40$
则乙种商品数量为：$50-40=10$（件）
【答案】
(1) 60；30；60%
(2) 购进甲种商品40件，乙种商品10件
【知识点】
销售盈亏计算；一元一次方程的应用；利润率计算
【点评】
本题属于基础的实际应用题型，第一问考察销售类基础公式的直接运用，第二问考察列一元一次方程解应用题的能力，解题核心是找准等量关系，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.85
