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1.(2025·宿迁沭阳外国语学校期末)下列说法:①三点确定一个圆;②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦;③相等的圆心角所对的弦相等;④三角形的外心到三个顶点的距离相等,其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解题时需逐一验证4个说法是否符合圆的相关性质，关键要注意每个定理成立的前提限制条件，不能忽略条件直接判断对错。首先回忆各个定理的完整内容，逐个排查每个说法是否满足前提，最终统计正确说法的数量即可。
【解析】
对4个说法逐一判断：
① 三点确定一个圆：只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线无法确定圆，故①错误；
② 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦：这是垂径定理的推论，若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本题已明确弦不是直径，故②正确；
③ 相等的圆心角所对的弦相等：该结论仅在同圆或等圆中成立，缺少前提则结论不成立，故③错误；
④ 三角形的外心到三个顶点的距离相等：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，为三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离都等于外接圆半径，故④正确。
综上，正确的说法为②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理及推论；圆心角、弧、弦的关系；三角形外心的性质
【点评】
本题属于圆的性质基础判断题，易错点是容易忽略各定理的前提限制条件，比如判断①时忽略三点不共线的要求，判断③时忽略同圆或等圆的前提，导致误判正确个数。
【难度系数】
0.7
解题时需逐一验证4个说法是否符合圆的相关性质，关键要注意每个定理成立的前提限制条件，不能忽略条件直接判断对错。首先回忆各个定理的完整内容，逐个排查每个说法是否满足前提，最终统计正确说法的数量即可。
【解析】
对4个说法逐一判断：
① 三点确定一个圆：只有不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线无法确定圆，故①错误；
② 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦：这是垂径定理的推论，若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本题已明确弦不是直径，故②正确；
③ 相等的圆心角所对的弦相等：该结论仅在同圆或等圆中成立，缺少前提则结论不成立，故③错误；
④ 三角形的外心到三个顶点的距离相等：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，为三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离都等于外接圆半径，故④正确。
综上，正确的说法为②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理及推论；圆心角、弧、弦的关系；三角形外心的性质
【点评】
本题属于圆的性质基础判断题，易错点是容易忽略各定理的前提限制条件，比如判断①时忽略三点不共线的要求，判断③时忽略同圆或等圆的前提，导致误判正确个数。
【难度系数】
0.7
2.(2025·宿迁泗阳县期中)如图,在$\odot O$中,直径$CD⊥$弦$AB$于点$E$,连接$AO$,则下列结论不一定正确的是 (
A.$AE=BE$
B.$OE=DE$
C.$AO=CO$
D.$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
B
)A.$AE=BE$
B.$OE=DE$
C.$AO=CO$
D.$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：CD是$\odot O$的直径，且$CD⊥$弦$AB$于点$E$，要求选出结论不一定正确的选项。我们可以结合垂径定理和圆的基本性质逐个分析选项：①垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可直接判断A、D选项；②同圆的所有半径长度相等，可判断C选项；③B选项涉及OE和DE的长度关系，题干未给出E点平分OD的相关条件，无法推出该关系恒成立。
【解析】
已知在$\odot O$中，直径$CD⊥$弦$AB$于点$E$：
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可得$AE=BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，因此A、D选项结论正确，不符合题意；
2. $AO$和$CO$都是$\odot O$的半径，同圆的半径长度相等，因此$AO=CO$，C选项结论正确，不符合题意；
3. 题干未给出E是OD中点的相关条件，无法推出$OE=DE$恒成立，该结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；同圆半径相等
【点评】
本题属于基础题，核心考查对垂径定理和圆基本性质的理解，解题时需注意题干要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心误选正确结论。
【难度系数】
0.8
首先明确题目已知条件：CD是$\odot O$的直径，且$CD⊥$弦$AB$于点$E$，要求选出结论不一定正确的选项。我们可以结合垂径定理和圆的基本性质逐个分析选项：①垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可直接判断A、D选项；②同圆的所有半径长度相等，可判断C选项；③B选项涉及OE和DE的长度关系，题干未给出E点平分OD的相关条件，无法推出该关系恒成立。
【解析】
已知在$\odot O$中，直径$CD⊥$弦$AB$于点$E$：
1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可得$AE=BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，因此A、D选项结论正确，不符合题意；
2. $AO$和$CO$都是$\odot O$的半径，同圆的半径长度相等，因此$AO=CO$，C选项结论正确，不符合题意；
3. 题干未给出E是OD中点的相关条件，无法推出$OE=DE$恒成立，该结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；同圆半径相等
【点评】
本题属于基础题，核心考查对垂径定理和圆基本性质的理解，解题时需注意题干要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心误选正确结论。
【难度系数】
0.8
3.(2025·宜宾)如图,AB是$\odot O$的弦,半径$OC⊥ AB$于点D.若$AB=8,OC=5$,则OD的长是 (
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
A
)A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
3.A
解析
【分析】
本题可结合垂径定理和勾股定理求解。首先观察图形，已知半径OC垂直于弦AB，根据垂径定理可先求出弦AB一半的长度；再连接半径OA，得到直角三角形OAD，最后利用勾股定理计算OD的长度即可。
【解析】
解：
∵半径$OC⊥AB$，$AB=8$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
∵$OA$和$OC$都是$\odot O$的半径，$OC=5$
∴$OA=OC=5$
在$Rt△ OAD$中，$∠ ODA=90°$，由勾股定理得：
$OD^2+AD^2=OA^2$
代入数值计算：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理，构造直角三角形结合勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.8
本题可结合垂径定理和勾股定理求解。首先观察图形，已知半径OC垂直于弦AB，根据垂径定理可先求出弦AB一半的长度；再连接半径OA，得到直角三角形OAD，最后利用勾股定理计算OD的长度即可。
【解析】
解：
∵半径$OC⊥AB$，$AB=8$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
∵$OA$和$OC$都是$\odot O$的半径，$OC=5$
∴$OA=OC=5$
在$Rt△ OAD$中，$∠ ODA=90°$，由勾股定理得：
$OD^2+AD^2=OA^2$
代入数值计算：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是熟练掌握垂径定理，构造直角三角形结合勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.8
4.(2025·长沙)如图，AB为$\odot O$的弦，$OC⊥ AB$于点C，连接OA，OB，若$AB=OA$，$AC=3$，则OA的长为
6
。答案
4.6
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知OC垂直于弦AB且过圆心O，优先运用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可先求出弦AB的总长度；再结合题目给出的AB=OA的等量关系，就能直接求出OA的长度。
【解析】
∵ OC⊥AB，且OC过圆心O，根据垂径定理可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB$
已知$AC=3$，代入计算得：
$AB=2AC=2×3=6$
又
∵ 题目给出$AB=OA$
∴ $OA=6$
【答案】
6
【知识点】
1. 垂径定理
2. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查垂径定理的简单应用，解题关键是熟练掌握垂径定理的内容，找到弦长的一半与整条弦的数量关系，结合已知的等量关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知OC垂直于弦AB且过圆心O，优先运用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可先求出弦AB的总长度；再结合题目给出的AB=OA的等量关系，就能直接求出OA的长度。
【解析】
∵ OC⊥AB，且OC过圆心O，根据垂径定理可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB$
已知$AC=3$，代入计算得：
$AB=2AC=2×3=6$
又
∵ 题目给出$AB=OA$
∴ $OA=6$
【答案】
6
【知识点】
1. 垂径定理
2. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查垂径定理的简单应用，解题关键是熟练掌握垂径定理的内容，找到弦长的一半与整条弦的数量关系，结合已知的等量关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且$AE=BF$，求证：$OE=OF$. 
答案
5.证明:如答图,过点O作$OM⊥AB$于点M,则$MA=MB$.
$\because AE=BF,\therefore MA-AE=MB-BF$,即$ME=MF$,
$\therefore OM$垂直平分$EF,\therefore OE=OF$.
解析
【分析】
要证明$OE=OF$，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。解决圆内弦相关的问题时，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到线段相等关系。首先过点$O$作$OM⊥ AB$，由垂径定理可得$MA=MB$，再结合已知$AE=BF$，通过等式性质推导得到$ME=MF$，即可推出$OM$垂直平分$EF$，进而得到$OE=OF$。
【解析】
证明：过点$O$作$OM⊥ AB$于点$M$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$MA=MB$。
已知$AE=BF$，根据等式的性质，可得$MA-AE=MB-BF$，即$ME=MF$。
又因为$OM⊥ AB$，所以$OM$垂直平分线段$EF$，根据线段垂直平分线的性质，点$O$在$EF$的垂直平分线$OM$上，因此$OE=OF$。
【答案】
证明:如答图,过点O作$OM⊥AB$于点M,则$MA=MB$.
$\because AE=BF,\therefore MA-AE=MB-BF$,即$ME=MF$,
$\therefore OM$垂直平分$EF,\therefore OE=OF$.
【知识点】
垂径定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的对称性应用的基础题型，核心考查弦相关问题的辅助线作法，通过作圆心到弦的垂线，结合垂径定理即可快速建立线段间的等量关系，是圆中线段相等证明的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要证明$OE=OF$，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。解决圆内弦相关的问题时，常用辅助线是过圆心作弦的垂线，结合垂径定理得到线段相等关系。首先过点$O$作$OM⊥ AB$，由垂径定理可得$MA=MB$，再结合已知$AE=BF$，通过等式性质推导得到$ME=MF$，即可推出$OM$垂直平分$EF$，进而得到$OE=OF$。
【解析】
证明：过点$O$作$OM⊥ AB$于点$M$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$MA=MB$。
已知$AE=BF$，根据等式的性质，可得$MA-AE=MB-BF$，即$ME=MF$。
又因为$OM⊥ AB$，所以$OM$垂直平分线段$EF$，根据线段垂直平分线的性质，点$O$在$EF$的垂直平分线$OM$上，因此$OE=OF$。
【答案】
证明:如答图,过点O作$OM⊥AB$于点M,则$MA=MB$.
$\because AE=BF,\therefore MA-AE=MB-BF$,即$ME=MF$,
$\therefore OM$垂直平分$EF,\therefore OE=OF$.
【知识点】
垂径定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的对称性应用的基础题型，核心考查弦相关问题的辅助线作法，通过作圆心到弦的垂线，结合垂径定理即可快速建立线段间的等量关系，是圆中线段相等证明的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
6.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,在$\odot O$中,直径$EF$与弦$CD$相交于点$M$,$F$为$\overset{\frown}{CD}$的中点.若$CD=2$,$EM=5$,则$\odot O$的半径为（
A.4
B.3
C.$\frac{13}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
C
）A.4
B.3
C.$\frac{13}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先利用弧的中点与直径的性质，结合垂径定理推论可得直径EF垂直平分弦CD，得到CM的长度；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OMC的直角边OM的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
解：
∵F为$\overset{\frown}{CD}$的中点，EF是$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理的推论，得$EF⊥ CD$，$CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OM=EM - EO=5 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，由勾股定理得：
$OC^2=OM^2 + CM^2$
代入得$r^2=(5 - r)^2 + 1^2$
展开得$r^2=25 - 10r + r^2 + 1$
消去$r^2$，整理得$10r=26$
解得$r=\frac{13}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求半径的常见题型，解题的关键是结合垂径定理构造直角三角形，再通过设未知数利用勾股定理列方程求解，这种“方程思想”在圆的计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用弧的中点与直径的性质，结合垂径定理推论可得直径EF垂直平分弦CD，得到CM的长度；接着设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OMC的直角边OM的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
解：
∵F为$\overset{\frown}{CD}$的中点，EF是$\odot O$的直径，
∴根据垂径定理的推论，得$EF⊥ CD$，$CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OM=EM - EO=5 - r$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，由勾股定理得：
$OC^2=OM^2 + CM^2$
代入得$r^2=(5 - r)^2 + 1^2$
展开得$r^2=25 - 10r + r^2 + 1$
消去$r^2$，整理得$10r=26$
解得$r=\frac{13}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求半径的常见题型，解题的关键是结合垂径定理构造直角三角形，再通过设未知数利用勾股定理列方程求解，这种“方程思想”在圆的计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.65
7.(2025·宿迁沭阳外国语学校期末)如图,在$\odot O$中,CD是$\odot O$的一条弦,直径$AB⊥CD$,连接AC,OD,$∠A=26°$,则$∠D$的度数是 （
A.$26°$
B.$38°$
C.$52°$
D.$64°$
B
）A.$26°$
B.$38°$
C.$52°$
D.$64°$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 看到直径AB垂直弦CD，首先联想到垂径定理，可得弧BC与弧BD相等，进而推出两段弧对应的圆心角∠BOC和∠BOD相等；2. 已知圆周角∠A的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出∠BOC的度数，也就得到了∠BOD的度数；3. 最后在AB与CD垂直形成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠D的度数。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 由垂径定理：
∵AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BOD=∠ BOC$。
2. 由圆周角定理：
∵$∠ A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$∠ BOC=2∠ A=2×26°=52°$，因此$∠ BOD=52°$。
3.
∵$AB⊥ CD$，
∴$∠ OED=90°$，在$Rt△ OED$中，$∠ D+∠ BOD=90°$，
∴$∠ D=90°-52°=38°$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，快速建立已知角和待求角之间的数量关系，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：1. 看到直径AB垂直弦CD，首先联想到垂径定理，可得弧BC与弧BD相等，进而推出两段弧对应的圆心角∠BOC和∠BOD相等；2. 已知圆周角∠A的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出∠BOC的度数，也就得到了∠BOD的度数；3. 最后在AB与CD垂直形成的直角三角形中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠D的度数。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 由垂径定理：
∵AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BOD=∠ BOC$。
2. 由圆周角定理：
∵$∠ A$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$∠ BOC=2∠ A=2×26°=52°$，因此$∠ BOD=52°$。
3.
∵$AB⊥ CD$，
∴$∠ OED=90°$，在$Rt△ OED$中，$∠ D+∠ BOD=90°$，
∴$∠ D=90°-52°=38°$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，快速建立已知角和待求角之间的数量关系，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
