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8. ⊙O的半径是13，弦AB//CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是 （
A.7
B.17
C.7或17
D.34
C
）A.7
B.17
C.7或17
D.34
答案
8.C
解析
【分析】
遇到圆中平行弦求距离的问题，首先需考虑两种位置情况：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧，避免漏解。解题时需运用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理分别求出两条弦到圆心的距离，最后根据两种位置关系计算弦之间的距离即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
在Rt△OAE中，OA=13，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
在Rt△OCF中，OC=13，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$OF-OE=12-5=7$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为$OF+OE=12+5=17$。
综上，AB与CD的距离是7或17。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略弦的两种位置关系，仅考虑同侧或异侧一种情况导致漏解，解题时要注意结合图形全面分析所有可能的位置。
【难度系数】
0.7
遇到圆中平行弦求距离的问题，首先需考虑两种位置情况：两条弦在圆心的同侧、两条弦在圆心的异侧，避免漏解。解题时需运用垂径定理，过圆心作两条弦的垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理分别求出两条弦到圆心的距离，最后根据两种位置关系计算弦之间的距离即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
在Rt△OAE中，OA=13，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
在Rt△OCF中，OC=13，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$OF-OE=12-5=7$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为$OF+OE=12+5=17$。
综上，AB与CD的距离是7或17。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略弦的两种位置关系，仅考虑同侧或异侧一种情况导致漏解，解题时要注意结合图形全面分析所有可能的位置。
【难度系数】
0.7
9.(2025·南通)在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心,$\sqrt{13}$为半径作$\odot A$,直线$y=kx-3k+2$与$\odot A$交于B,C两点,则BC的最小值为
6
。答案
9.6
解析
【分析】
首先对直线方程进行变形，确定直线恒过的定点D；再结合圆的弦长计算公式可知，弦长BC的长度由圆心A到直线的距离d决定，d越大则BC越短；由于直线恒过定点D，因此d的最大值为线段AD的长度，此时AD与直线BC垂直，BC取得最小值，最后代入数据计算即可。
【解析】
1. 求直线恒过的定点：
将直线方程$y=kx-3k+2$变形为$y=k(x-3)+2$，可知当$x=3$时，$y=2$，与$k$的取值无关，因此直线恒过定点$D(3,2)$。
2. 计算圆心到定点的距离：
已知圆心$A(3,0)$，因此$AD$的长度为$|2-0|=2$。
3. 求最短弦长：
根据垂径定理，弦长$BC=2\sqrt{r^2 - d^2}$，其中$r$为$\odot A$的半径，$d$为圆心$A$到直线$BC$的距离。
由于直线恒过$D$，因此$d≤ AD=2$，当且仅当$AD⊥ BC$时，$d$取最大值2，此时$BC$最短。
代入$r=\sqrt{13}$，$d=2$得：
$BC_{\mathrm{最小值}}=2\sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2}=2\sqrt{13-4}=2\sqrt{9}=6$
【答案】
6
【知识点】
一次函数定点判断；垂径定理；弦长最值计算
【点评】
本题是圆的对称性应用的典型题型，解题的核心是先识别出动直线的定点，再结合垂径定理分析弦长最值的情况，对几何动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先对直线方程进行变形，确定直线恒过的定点D；再结合圆的弦长计算公式可知，弦长BC的长度由圆心A到直线的距离d决定，d越大则BC越短；由于直线恒过定点D，因此d的最大值为线段AD的长度，此时AD与直线BC垂直，BC取得最小值，最后代入数据计算即可。
【解析】
1. 求直线恒过的定点：
将直线方程$y=kx-3k+2$变形为$y=k(x-3)+2$，可知当$x=3$时，$y=2$，与$k$的取值无关，因此直线恒过定点$D(3,2)$。
2. 计算圆心到定点的距离：
已知圆心$A(3,0)$，因此$AD$的长度为$|2-0|=2$。
3. 求最短弦长：
根据垂径定理，弦长$BC=2\sqrt{r^2 - d^2}$，其中$r$为$\odot A$的半径，$d$为圆心$A$到直线$BC$的距离。
由于直线恒过$D$，因此$d≤ AD=2$，当且仅当$AD⊥ BC$时，$d$取最大值2，此时$BC$最短。
代入$r=\sqrt{13}$，$d=2$得：
$BC_{\mathrm{最小值}}=2\sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2}=2\sqrt{13-4}=2\sqrt{9}=6$
【答案】
6
【知识点】
一次函数定点判断；垂径定理；弦长最值计算
【点评】
本题是圆的对称性应用的典型题型，解题的核心是先识别出动直线的定点，再结合垂径定理分析弦长最值的情况，对几何动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10.(2025·宿迁宿城区二模)传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，嘉琪同学用边长为$4\sqrt{2}$的正方形纸板做出如图①所示的七巧板，拼接成小鱼图案(外轮廓是轴对称图形)并把图案放到圆中，如图②所示，A,B,C三点在圆上，圆的半径是
$\dfrac{73}{16}$
。答案
10.$\dfrac{73}{16}$
解析
【分析】
首先根据已知正方形的边长求出七巧板各板块的边长，再分析拼接后的轴对称图形，得到BC的长度、点A到BC的垂直距离；利用轴对称性可知过A且垂直于BC的直线是外接圆的一条对称轴，即圆心在该直线上，设半径为r，结合垂径定理和勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
1. 计算七巧板各部分边长：
原正方形边长为$4\sqrt{2}$，其对角线长度为$4\sqrt{2} × \sqrt{2}=8$，结合七巧板的分割规律，可得：大等腰直角三角形直角边长为4，小等腰直角三角形直角边长为2，小正方形边长为2。
2. 分析拼接图形的线段长度：
拼接图形为轴对称图形，对称轴为过A且垂直于BC的直线，计算得$BC=6$，故BC的一半长度为3，点A到BC的垂直距离为8。
3. 列方程求半径：
设外接圆半径为$r$，圆心在对称轴上，若圆心到BC的距离为$d$，则圆心到点A的距离为$8-d=r$，即$d=8-r$。
根据垂径定理，$OB=r$，在由圆心、B点、BC中点构成的直角三角形中，由勾股定理得：
$r^2 = d^2 + 3^2$
将$d=8-r$代入得：
$r^2=(8-r)^2 + 9$
展开得$r^2=64-16r+r^2+9$，消去$r^2$后整理得$16r=73$，解得$r=\dfrac{73}{16}$。
【答案】
$\dfrac{73}{16}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，轴对称的性质
【点评】
本题结合传统七巧板文化考查圆的相关计算，需要先推导七巧板各部分边长，再结合轴对称性和垂径定理构造方程求解，兼顾了文化性和知识性，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先根据已知正方形的边长求出七巧板各板块的边长，再分析拼接后的轴对称图形，得到BC的长度、点A到BC的垂直距离；利用轴对称性可知过A且垂直于BC的直线是外接圆的一条对称轴，即圆心在该直线上，设半径为r，结合垂径定理和勾股定理列方程即可求解半径。
【解析】
1. 计算七巧板各部分边长：
原正方形边长为$4\sqrt{2}$，其对角线长度为$4\sqrt{2} × \sqrt{2}=8$，结合七巧板的分割规律，可得：大等腰直角三角形直角边长为4，小等腰直角三角形直角边长为2，小正方形边长为2。
2. 分析拼接图形的线段长度：
拼接图形为轴对称图形，对称轴为过A且垂直于BC的直线，计算得$BC=6$，故BC的一半长度为3，点A到BC的垂直距离为8。
3. 列方程求半径：
设外接圆半径为$r$，圆心在对称轴上，若圆心到BC的距离为$d$，则圆心到点A的距离为$8-d=r$，即$d=8-r$。
根据垂径定理，$OB=r$，在由圆心、B点、BC中点构成的直角三角形中，由勾股定理得：
$r^2 = d^2 + 3^2$
将$d=8-r$代入得：
$r^2=(8-r)^2 + 9$
展开得$r^2=64-16r+r^2+9$，消去$r^2$后整理得$16r=73$，解得$r=\dfrac{73}{16}$。
【答案】
$\dfrac{73}{16}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，轴对称的性质
【点评】
本题结合传统七巧板文化考查圆的相关计算，需要先推导七巧板各部分边长，再结合轴对称性和垂径定理构造方程求解，兼顾了文化性和知识性，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
11. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，直线AO⊥BC，垂足为E，连接AC.
(1)求∠B的度数；
(2)若$CE=\sqrt{3}$，求⊙O的半径.
(1)求∠B的度数；
(2)若$CE=\sqrt{3}$，求⊙O的半径.
答案
11.解:(1)$\because AE⊥BC$,AE过圆心O,$\therefore CE=BE$,
$\therefore AC=AB$,同理$AF=BF,AC=BC$,
$\therefore AB=AC=BC,\therefore △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ B=60°$.
(2)$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°$.
$\because CD⊥AB,AC=BC,\therefore ∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
$\because AE⊥BC,\therefore OC=2OE$.
$\because CE=\sqrt{3},OC^2=OE^2+CE^2$,
即$(2OE)^2=OE^2+(\sqrt{3})^2$,解得$OE=1$(负值舍去),
$\therefore OC=2OE=2$,即$\odot O$的半径为2.
$\therefore AC=AB$,同理$AF=BF,AC=BC$,
$\therefore AB=AC=BC,\therefore △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ B=60°$.
(2)$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ ACB=60°$.
$\because CD⊥AB,AC=BC,\therefore ∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$.
$\because AE⊥BC,\therefore OC=2OE$.
$\because CE=\sqrt{3},OC^2=OE^2+CE^2$,
即$(2OE)^2=OE^2+(\sqrt{3})^2$,解得$OE=1$(负值舍去),
$\therefore OC=2OE=2$,即$\odot O$的半径为2.
解析
【分析】
(1) 求解∠B的度数时，先结合已知的两组过圆心的垂线条件：AO⊥BC、CD⊥AB，依据垂径定理可得到相等的线段，进而推出△ABC三边相等，判定其为等边三角形，即可得到∠B的度数。
(2) 求解圆的半径时，先结合等边三角形的性质得到∠DCB的度数，再在Rt△COE中利用30°直角三角形的边的关系得到半径与OE的数量关系，最后结合CE的长度，通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ AO⊥BC，且AO过圆心O，根据垂径定理可得$CE=BE$，即AE垂直平分BC，
∴ $AC=AB$。
同理，CD为⊙O的直径，$CD⊥AB$，可得$AF=BF$，即CD垂直平分AB，
∴ $AC=BC$。
∴ $AB=AC=BC$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠B=60°$。
(2) 由(1)知$△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ACB=60°$。
∵ $CD⊥AB$，$AC=BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，CD平分$∠ACB$，
∴ $∠DCB=\frac{1}{2}∠ACB=30°$。
在$Rt△ COE$中，$∠OEC=90°$，$∠DCB=30°$，
∴ $OC=2OE$。
已知$CE=\sqrt{3}$，根据勾股定理：$OC^2=OE^2+CE^2$，将$OC=2OE$代入得：
$(2OE)^2 = OE^2 + (\sqrt{3})^2$
$4OE^2 = OE^2 + 3$
解得$OE=1$（线段长度为正，舍去负值）
∴ $OC=2OE=2$，即$\odot O$的半径为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=60°}$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理；等边三角形判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，核心考查垂径定理的应用，解题关键是通过垂径定理推导线段相等，进而判断三角形的形状，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理计算，能有效考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠B的度数时，先结合已知的两组过圆心的垂线条件：AO⊥BC、CD⊥AB，依据垂径定理可得到相等的线段，进而推出△ABC三边相等，判定其为等边三角形，即可得到∠B的度数。
(2) 求解圆的半径时，先结合等边三角形的性质得到∠DCB的度数，再在Rt△COE中利用30°直角三角形的边的关系得到半径与OE的数量关系，最后结合CE的长度，通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵ AO⊥BC，且AO过圆心O，根据垂径定理可得$CE=BE$，即AE垂直平分BC，
∴ $AC=AB$。
同理，CD为⊙O的直径，$CD⊥AB$，可得$AF=BF$，即CD垂直平分AB，
∴ $AC=BC$。
∴ $AB=AC=BC$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠B=60°$。
(2) 由(1)知$△ ABC$是等边三角形，
∴ $∠ACB=60°$。
∵ $CD⊥AB$，$AC=BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，CD平分$∠ACB$，
∴ $∠DCB=\frac{1}{2}∠ACB=30°$。
在$Rt△ COE$中，$∠OEC=90°$，$∠DCB=30°$，
∴ $OC=2OE$。
已知$CE=\sqrt{3}$，根据勾股定理：$OC^2=OE^2+CE^2$，将$OC=2OE$代入得：
$(2OE)^2 = OE^2 + (\sqrt{3})^2$
$4OE^2 = OE^2 + 3$
解得$OE=1$（线段长度为正，舍去负值）
∴ $OC=2OE=2$，即$\odot O$的半径为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=60°}$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理；等边三角形判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，核心考查垂径定理的应用，解题关键是通过垂径定理推导线段相等，进而判断三角形的形状，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理计算，能有效考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.如图，$\odot O$的直径$AB$和弦$CD$相交于点$E$，$AE=2$，$EB=6$，$∠ DEB=60°$，求弦$CD$的长. 
答案
12.解:如答图,作$OF⊥CD$于点F,连接OD.
$\because AE=2,EB=6,\therefore AB=AE+BE=8$,
$\therefore \odot O$的半径长是4.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ OEF$中,$∠ DEB=60°,\therefore ∠ EOF=30°$.
$\because OE=OA-AE=4-2=2,\therefore EF=1$,
$\therefore OF=\sqrt{OE^2-EF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中,$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{13}$,
$\therefore CD=2DF=2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
要求弦CD的长，可利用垂径定理求解，过圆心作CD的垂线，能将问题转化为直角三角形的边长计算问题。第一步先根据已知的AE、EB长度求出圆的直径，进而得到半径和OE的长度；第二步结合∠DEB=60°，在构造的直角三角形OEF中求出弦心距OF的长度；第三步在直角三角形ODF中利用勾股定理求出半弦长DF，再根据垂径定理得到CD=2DF，即可求出CD的长度。
【解析】
解：如答图，作$OF⊥CD$于点$F$，连接$OD$。
$\because AE=2,EB=6$，$\therefore AB=AE+BE=8$，
$\therefore \odot O$的半径长是4，即$OD=OA=4$。
$\therefore OE=OA-AE=4-2=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$∠ DEB=60°$，即$∠ OEF=60°$，$\therefore ∠ EOF=30°$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=1$，
由勾股定理得：$OF=\sqrt{OE^2-EF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{13}$，
$\because OF⊥CD$，由垂径定理可得$CD=2DF$，
$\therefore CD=2\sqrt{13}$。
【答案】
弦$CD$的长为$2\sqrt{13}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题关键是掌握“遇弦作弦心距”的辅助线作法，结合垂径定理和勾股定理建立边长关系求解，能很好地考察对圆的基本性质和直角三角形相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要求弦CD的长，可利用垂径定理求解，过圆心作CD的垂线，能将问题转化为直角三角形的边长计算问题。第一步先根据已知的AE、EB长度求出圆的直径，进而得到半径和OE的长度；第二步结合∠DEB=60°，在构造的直角三角形OEF中求出弦心距OF的长度；第三步在直角三角形ODF中利用勾股定理求出半弦长DF，再根据垂径定理得到CD=2DF，即可求出CD的长度。
【解析】
解：如答图，作$OF⊥CD$于点$F$，连接$OD$。
$\because AE=2,EB=6$，$\therefore AB=AE+BE=8$，
$\therefore \odot O$的半径长是4，即$OD=OA=4$。
$\therefore OE=OA-AE=4-2=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$∠ DEB=60°$，即$∠ OEF=60°$，$\therefore ∠ EOF=30°$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=1$，
由勾股定理得：$OF=\sqrt{OE^2-EF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{13}$，
$\because OF⊥CD$，由垂径定理可得$CD=2DF$，
$\therefore CD=2\sqrt{13}$。
【答案】
弦$CD$的长为$2\sqrt{13}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题关键是掌握“遇弦作弦心距”的辅助线作法，结合垂径定理和勾股定理建立边长关系求解，能很好地考察对圆的基本性质和直角三角形相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
13.已知$\odot O$的直径$AB＝6$，$BC$是弦，$∠ ABC＝30°$，点$P$在$BC$上，点$Q$在$\odot O$上，且$OP⊥ PQ$于点$P$.
(1)如图①，当$PQ// AB$时，求线段$PQ$的长度；
(2)如图②，当点$P$在$BC$上移动时，求线段$PQ$长度的最大值.
(1)如图①，当$PQ// AB$时，求线段$PQ$的长度；
(2)如图②，当点$P$在$BC$上移动时，求线段$PQ$长度的最大值.
答案
13.解:(1)连接OQ,如答图①.
$\because PQ// AB,OP⊥PQ,\therefore OP⊥AB$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ OBP$中,$OB=\frac{1}{2}AB=3,∠ ABC=30°$,
$\therefore OP=\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ OPQ$中,$\because OP=\sqrt{3},OQ=3$,
$\therefore PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{6}$.
(2)连接OQ,如答图②,在$\mathrm{Rt}△ OPQ$中,
$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$,
$\therefore$当OP的长度最小时,PQ的长度最大,此时$OP⊥BC$.
$\because ∠ ABC=30°,\therefore OP=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$,
$\therefore PQ$长度的最大值为$\sqrt{9-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要求PQ的长度，已知OP⊥PQ，因此先连接半径OQ构造Rt△OPQ，OQ是⊙O的半径，长度固定为3，只需算出OP的长度即可求解。由PQ//AB、OP⊥PQ可推出OP⊥AB，在Rt△OBP中，已知OB=3、∠ABC=30°，利用直角三角形的性质可求出OP，再代入勾股定理即可算出PQ。
(2) 在Rt△OPQ中OQ为定值3，由勾股定理可得$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}$，因此要使PQ最大，需要使OP的长度最小。根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当OP⊥BC时OP最短，算出此时OP的长度代入公式即可得到PQ的最大值。
【解析】
(1) 连接OQ，如答图①。
$\because PQ// AB,OP⊥ PQ,\therefore OP⊥ AB$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ OBP$中,$OB=\frac{1}{2}AB=3,∠ ABC=30°$,
$\therefore OP=OB· \tan30°=3× \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPQ$中,$\because OP=\sqrt{3},OQ=3$,
$\therefore PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
(2) 连接OQ，如答图②,在$\mathrm{Rt}△ OPQ$中,
$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$,
$\therefore$当OP的长度最小时,PQ的长度最大,根据垂线段最短，此时$OP⊥BC$。
$\because ∠ ABC=30°,\therefore OP=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$,
$\therefore PQ$长度的最大值为$\sqrt{9-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{6}$；(2) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
圆的基本性质；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的典型题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，将未知线段计算转化为勾股定理的应用，最值问题需要结合垂线段最短的性质转化求解，能够有效锻炼几何转化思维。
【难度系数】
0.65
(1) 要求PQ的长度，已知OP⊥PQ，因此先连接半径OQ构造Rt△OPQ，OQ是⊙O的半径，长度固定为3，只需算出OP的长度即可求解。由PQ//AB、OP⊥PQ可推出OP⊥AB，在Rt△OBP中，已知OB=3、∠ABC=30°，利用直角三角形的性质可求出OP，再代入勾股定理即可算出PQ。
(2) 在Rt△OPQ中OQ为定值3，由勾股定理可得$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}$，因此要使PQ最大，需要使OP的长度最小。根据点到直线的距离中垂线段最短，可知当OP⊥BC时OP最短，算出此时OP的长度代入公式即可得到PQ的最大值。
【解析】
(1) 连接OQ，如答图①。
$\because PQ// AB,OP⊥ PQ,\therefore OP⊥ AB$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ OBP$中,$OB=\frac{1}{2}AB=3,∠ ABC=30°$,
$\therefore OP=OB· \tan30°=3× \frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPQ$中,$\because OP=\sqrt{3},OQ=3$,
$\therefore PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
(2) 连接OQ，如答图②,在$\mathrm{Rt}△ OPQ$中,
$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$,
$\therefore$当OP的长度最小时,PQ的长度最大,根据垂线段最短，此时$OP⊥BC$。
$\because ∠ ABC=30°,\therefore OP=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$,
$\therefore PQ$长度的最大值为$\sqrt{9-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{6}$；(2) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
圆的基本性质；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的典型题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，将未知线段计算转化为勾股定理的应用，最值问题需要结合垂线段最短的性质转化求解，能够有效锻炼几何转化思维。
【难度系数】
0.65
