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1.(2025·宿迁宿城区期末)下列说法正确的是 （
A.三点确定一个圆
B.三角形的外心到三角形三边的距离相等
C.垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
D.平分弦的直径垂直于弦
C
）A.三点确定一个圆
B.三角形的外心到三角形三边的距离相等
C.垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
D.平分弦的直径垂直于弦
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道考查圆的基本性质与三角形外心相关概念的选择题，解题时需逐个分析每个选项，结合对应定理的完整内容及限制条件判断正误，尤其要注意常考的定理适用前提，避免因忽略限制条件选错。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，因此A错误。
选项B：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等；到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此B错误。
选项C：根据垂径定理的推论，过圆心且垂直于弦的直线平分这条弦，该表述符合定理内容，因此C正确。
选项D：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，那么两条直径互相平分但不一定垂直，该表述缺少前提条件，因此D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理及其推论；三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重对定理完整内容的掌握情况考查，易错点是容易忽略各定理的适用前提，如三点共线的特殊情况、平分弦时弦不能为直径的限制等，学习时要准确记忆定理的全部内容，不要断章取义。
【难度系数】
0.7
这是一道考查圆的基本性质与三角形外心相关概念的选择题，解题时需逐个分析每个选项，结合对应定理的完整内容及限制条件判断正误，尤其要注意常考的定理适用前提，避免因忽略限制条件选错。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，因此A错误。
选项B：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等；到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此B错误。
选项C：根据垂径定理的推论，过圆心且垂直于弦的直线平分这条弦，该表述符合定理内容，因此C正确。
选项D：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，那么两条直径互相平分但不一定垂直，该表述缺少前提条件，因此D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理及其推论；三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重对定理完整内容的掌握情况考查，易错点是容易忽略各定理的适用前提，如三点共线的特殊情况、平分弦时弦不能为直径的限制等，学习时要准确记忆定理的全部内容，不要断章取义。
【难度系数】
0.7
2.(2025·宿迁宿城新区教学共同体期末)如图,CD是$\odot O$的直径,弦$DE// AO$.若$∠ D$的度数为$60°$,则$∠ C$的度数为 (
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
B
)A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先利用平行线的性质得到圆心角∠AOD的度数，再根据圆周角定理计算∠C的度数即可。第一步：由DE//AO，利用两直线平行内错角相等，可直接得到∠AOD和已知角∠D相等；第二步：明确∠C是弧AD对应的圆周角，∠AOD是弧AD对应的圆心角，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，代入数值计算即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵$DE// AO$，$∠ D=60°$，
∴$∠ AOD=∠ D=60°$（两直线平行，内错角相等）。
∵$∠ C$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础几何题，考查平行线性质和圆周角定理的综合运用，解题核心是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行线的性质得到圆心角∠AOD的度数，再根据圆周角定理计算∠C的度数即可。第一步：由DE//AO，利用两直线平行内错角相等，可直接得到∠AOD和已知角∠D相等；第二步：明确∠C是弧AD对应的圆周角，∠AOD是弧AD对应的圆心角，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，代入数值计算即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵$DE// AO$，$∠ D=60°$，
∴$∠ AOD=∠ D=60°$（两直线平行，内错角相等）。
∵$∠ C$是弧$AD$所对的圆周角，$∠ AOD$是弧$AD$所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是基础几何题，考查平行线性质和圆周角定理的综合运用，解题核心是准确找到同弧对应的圆周角和圆心角，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.(2025·宿迁宿城区一模)如图,在$△ ABC$中,$AB=5$,$AC=8$,$∠ C=30°$.小红作图过程如下:以点$A$为圆心,$AB$长为半径作弧交$BC$于点$D$,连接$AD$,则$CD$的长是 (
A.$3$
B.$2\sqrt{5}-4$
C.$2$
D.$4\sqrt{3}-3$
D
)A.$3$
B.$2\sqrt{5}-4$
C.$2$
D.$4\sqrt{3}-3$
答案
3.D
解析
【分析】首先根据作图特征可得AD=AB=5，要求CD的长度，可通过作高构造直角三角形求解：过点A作AE⊥BC于E，将线段CD转化为CE与DE的差；先在含30°角的Rt△AEC中利用30°直角三角形的性质求出AE，再用勾股定理求出CE；随后在Rt△AED中用勾股定理求出DE，最后作差即可得到CD的长。
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=∠AED=90°。
由作图可知，AD=AB=5。
在Rt△AEC中，∠C=30°，AC=8，
∴$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$，
由勾股定理得：$CE = \sqrt{AC^2 - AE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。
在Rt△AED中，AD=5，AE=4，
由勾股定理得：$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$。
∴$CD = CE - DE = 4\sqrt{3} - 3$。
【答案】D
【知识点】圆的基本性质；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】本题属于几何基础计算题，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合特殊三角形的性质和勾股定理逐步求解线段长度，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】0.65
【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=∠AED=90°。
由作图可知，AD=AB=5。
在Rt△AEC中，∠C=30°，AC=8，
∴$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$，
由勾股定理得：$CE = \sqrt{AC^2 - AE^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。
在Rt△AED中，AD=5，AE=4，
由勾股定理得：$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$。
∴$CD = CE - DE = 4\sqrt{3} - 3$。
【答案】D
【知识点】圆的基本性质；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】本题属于几何基础计算题，解题的关键是通过作高构造直角三角形，结合特殊三角形的性质和勾股定理逐步求解线段长度，考查学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】0.65
4.如图,在$\odot O$内,以弦$AB$为边作等边$△ ABE$,$AE$,$BE$的延长线分别交$\odot O$于点$C$,$D$,过点$O$作$OF ⊥ BD$于点$F$,延长$FO$交$AC$于点$G$,若$DE=4$,$EG=6$,则$AB$的长为（
A.8
B.9
C.10
D.12
C
）A.8
B.9
C.10
D.12
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到∠AEB=60°，结合对顶角相等得到Rt△EGF中的60°内角，利用含30°直角三角形的性质求出EF的长度；再根据垂径定理得到BD中点F，用含AB的式子表示BF的长度，最后根据线段的和差关系建立关于AB的方程，解方程即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=∠B=60°，且BE=AB。
∵∠GEF与∠AEB是对顶角，
∴∠GEF=∠AEB=60°。
∵OF⊥BD，
∴∠EFG=90°，在Rt△EGF中，∠EGF=30°，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得：
$EF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}×6=3$。
设AB的长为$x$，则$BE=x$，$BD=BE+DE=x+4$。
∵OF⊥BD且OF过圆心O，根据垂径定理，F是BD的中点，
∴$BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(x+4)$。
根据线段和差关系：$BE=BF+EF$，代入得：
$x=\frac{1}{2}(x+4)+3$
解得：$x=10$，即$AB=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与特殊三角形的性质，解题核心是找到特殊直角三角形的线段数量关系，结合垂径定理建立方程求解，对几何图形的线段位置分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先利用等边三角形的性质得到∠AEB=60°，结合对顶角相等得到Rt△EGF中的60°内角，利用含30°直角三角形的性质求出EF的长度；再根据垂径定理得到BD中点F，用含AB的式子表示BF的长度，最后根据线段的和差关系建立关于AB的方程，解方程即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=∠B=60°，且BE=AB。
∵∠GEF与∠AEB是对顶角，
∴∠GEF=∠AEB=60°。
∵OF⊥BD，
∴∠EFG=90°，在Rt△EGF中，∠EGF=30°，
根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，得：
$EF=\frac{1}{2}EG=\frac{1}{2}×6=3$。
设AB的长为$x$，则$BE=x$，$BD=BE+DE=x+4$。
∵OF⊥BD且OF过圆心O，根据垂径定理，F是BD的中点，
∴$BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(x+4)$。
根据线段和差关系：$BE=BF+EF$，代入得：
$x=\frac{1}{2}(x+4)+3$
解得：$x=10$，即$AB=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与特殊三角形的性质，解题核心是找到特殊直角三角形的线段数量关系，结合垂径定理建立方程求解，对几何图形的线段位置分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5.(2025·内江)如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点$D$，且$AB=8$，$OC=5$，则$DC$的长是
2
。答案
5.2
解析
【分析】
本题可结合垂径定理和勾股定理求解。首先，看到半径OC垂直于弦AB，根据垂径定理可得到AB被点D平分，算出AD的长度；其次圆的半径都相等，可知OA=OC=5，△OAD是直角三角形，利用勾股定理可求出OD的长度；最后DC的长度等于半径OC减去OD的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，$AB=8$
∴根据垂径定理得：$AD=\frac{1}{2}AB=4$
又
∵$\odot O$的半径$OC=5$，
∴$OA=OC=5$
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$
∴$DC=OC - OD=5 - 3=2$
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆半径的性质
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，解题核心是先通过垂径定理得到弦的一半长度，再结合直角三角形勾股定理计算未知线段，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
本题可结合垂径定理和勾股定理求解。首先，看到半径OC垂直于弦AB，根据垂径定理可得到AB被点D平分，算出AD的长度；其次圆的半径都相等，可知OA=OC=5，△OAD是直角三角形，利用勾股定理可求出OD的长度；最后DC的长度等于半径OC减去OD的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵OC是$\odot O$的半径，$OC⊥AB$，$AB=8$
∴根据垂径定理得：$AD=\frac{1}{2}AB=4$
又
∵$\odot O$的半径$OC=5$，
∴$OA=OC=5$
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$
∴$DC=OC - OD=5 - 3=2$
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆半径的性质
【点评】
本题属于圆章节的基础常考题，解题核心是先通过垂径定理得到弦的一半长度，再结合直角三角形勾股定理计算未知线段，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
6.(2025·扬州期中)如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠ A=40°$,则$∠ BOC$的度数为
50°
.答案
6.50°
解析
【分析】
解题时先从圆的半径性质入手，OA、OB均为⊙O的半径，因此OA=OB，可判定△OAB为等腰三角形，结合已知∠A的度数就能求出∠AOB的大小。再根据C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可知弧AC与弧BC相等，依据同圆中等弧对应的圆心角相等，可得∠BOC是∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形
∴∠B=∠A=40°
根据三角形内角和定理：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-40°-40°=100°$
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$
∴$∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题核心是先利用等腰三角形性质求出圆心角∠AOB的度数，再结合弧中点和圆心角的对应关系推导所求角的度数，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从圆的半径性质入手，OA、OB均为⊙O的半径，因此OA=OB，可判定△OAB为等腰三角形，结合已知∠A的度数就能求出∠AOB的大小。再根据C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可知弧AC与弧BC相等，依据同圆中等弧对应的圆心角相等，可得∠BOC是∠AOB的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形
∴∠B=∠A=40°
根据三角形内角和定理：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-40°-40°=100°$
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$
∴$∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题核心是先利用等腰三角形性质求出圆心角∠AOB的度数，再结合弧中点和圆心角的对应关系推导所求角的度数，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.(2025·南京一模)已知等边三角形的边长为6 cm,则它的外接圆半径长为
$2\sqrt{3}$
cm.答案
7.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算等边三角形的外接圆半径，首先回忆等边三角形的特殊性质：它的外心（外接圆圆心）、内心、重心、垂心四心重合，且外接圆半径是等边三角形高的$\frac{2}{3}$。我们可以先求出等边三角形的高，再根据比例计算外接圆半径；也可以连接外心与顶点、过外心作边的垂线，构造含30°角的直角三角形，用勾股定理或三角函数求解。
【解析】
步骤1：计算等边三角形的高
已知等边三角形边长为6cm，根据勾股定理，其高$h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
步骤2：利用重心性质求外接圆半径
等边三角形的外心与重心重合，重心分高的比为$2:1$（外接圆半径占较长的2份），因此外接圆半径$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，勾股定理
【点评】
本题是基础题，解题的关键是掌握等边三角形四心重合的特点，结合线段比例或直角三角形的性质即可快速求解，是三角形性质部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
要计算等边三角形的外接圆半径，首先回忆等边三角形的特殊性质：它的外心（外接圆圆心）、内心、重心、垂心四心重合，且外接圆半径是等边三角形高的$\frac{2}{3}$。我们可以先求出等边三角形的高，再根据比例计算外接圆半径；也可以连接外心与顶点、过外心作边的垂线，构造含30°角的直角三角形，用勾股定理或三角函数求解。
【解析】
步骤1：计算等边三角形的高
已知等边三角形边长为6cm，根据勾股定理，其高$h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
步骤2：利用重心性质求外接圆半径
等边三角形的外心与重心重合，重心分高的比为$2:1$（外接圆半径占较长的2份），因此外接圆半径$R = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} × 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，勾股定理
【点评】
本题是基础题，解题的关键是掌握等边三角形四心重合的特点，结合线段比例或直角三角形的性质即可快速求解，是三角形性质部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
8.(2025·宿迁期中)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,以原点$O$为圆心,13为半径画圆,直线$y=kx+3k+4(k≠0)$与$\odot O$交于$B,C$两点,则弦$BC$长的最小值为
24
.答案
8.24
解析
【分析】
首先对直线解析式变形，可发现直线恒过圆内一个定点；再结合圆的弦长性质：半径固定时，圆心到弦的距离越大，弦长越短。可知当圆心到直线的距离最大（即直线与圆心和定点的连线垂直）时，弦长BC最小，最后结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【解析】
1. 找直线过的定点：将直线解析式$y=kx+3k+4$整理为$y=k(x+3)+4$，当$x=-3$时，$y=4$，与$k$的取值无关，因此直线恒过定点$P(-3,4)$。
2. 判断定点位置：由两点间距离公式得$OP=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5＜13$，故点$P$在$\odot O$内部。
3. 弦长公式：设圆心$O$到直线$BC$的距离为$d$，$\odot O$半径$r=13$，根据垂径定理，弦长$BC=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{169-d^2}$。
4. 求最大距离$d$：过圆内定点$P$的所有直线中，圆心到直线的最大距离为$OP$的长度，即当$OP⊥ BC$时，$d$取最大值$5$。
5. 计算最小弦长：将$d=5$代入弦长公式，得$BC_{\mathrm{最小}}=2\sqrt{13^2-5^2}=2\sqrt{144}=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
一次函数过定点、垂径定理、弦长计算
【点评】
本题是一次函数与圆结合的典型题型，解题核心是先确定直线恒过的定点，再结合圆的性质找到弦长最小时的位置，最后用勾股定理计算即可，很好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
首先对直线解析式变形，可发现直线恒过圆内一个定点；再结合圆的弦长性质：半径固定时，圆心到弦的距离越大，弦长越短。可知当圆心到直线的距离最大（即直线与圆心和定点的连线垂直）时，弦长BC最小，最后结合垂径定理和勾股定理计算即可。
【解析】
1. 找直线过的定点：将直线解析式$y=kx+3k+4$整理为$y=k(x+3)+4$，当$x=-3$时，$y=4$，与$k$的取值无关，因此直线恒过定点$P(-3,4)$。
2. 判断定点位置：由两点间距离公式得$OP=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5＜13$，故点$P$在$\odot O$内部。
3. 弦长公式：设圆心$O$到直线$BC$的距离为$d$，$\odot O$半径$r=13$，根据垂径定理，弦长$BC=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{169-d^2}$。
4. 求最大距离$d$：过圆内定点$P$的所有直线中，圆心到直线的最大距离为$OP$的长度，即当$OP⊥ BC$时，$d$取最大值$5$。
5. 计算最小弦长：将$d=5$代入弦长公式，得$BC_{\mathrm{最小}}=2\sqrt{13^2-5^2}=2\sqrt{144}=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
一次函数过定点、垂径定理、弦长计算
【点评】
本题是一次函数与圆结合的典型题型，解题核心是先确定直线恒过的定点，再结合圆的性质找到弦长最小时的位置，最后用勾股定理计算即可，很好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
