三、解答题(共60分)
9.(16分)(2025·河南二模)如图,学校耕读园里有一块空地,空地上有三棵树A,B,C,学校想修建一个圆形苗圃,使三棵树都在苗圃的边上.
(1)请你把苗圃的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若$△ ABC$中,$BC=4$米,$AC=6$米,$∠ C=90°$,试求圆形苗圃的面积.

9.解:(1)如答图所示,$\odot O$即为苗圃的位置。
(2)$∵BC=4$米,$AC=6$米,$∠ C=90°$,
$∴AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$(米),
$∴△ABC$的外接圆半径为$\sqrt{13}$米,
$∴$圆形苗圃的面积为$13π$平方米.

10.(20分)(2025·无锡惠山区期中)如图，CD是$\odot O$的直径，AB为$\odot O$的一条弦(不为直径)，F是AB与CD的交点，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，AB=12，CF=2.
(1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)求$\odot O$的半径.

10.解:(1)$AB⊥CD$,理由:如答图,连接OA,OB,
$∵\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∴∠AOC=∠BOC$.
又$∵OA=OB$,$∴OF⊥AB$,即$AB⊥CD$.
(2)$∵$直径$CD⊥$弦$AB$于点$F$,$∴AF=BF=\frac{1}{2}AB=6$.
设$\odot O$的半径为$r$,则$OF=r-2$.
在$Rt△AOF$中,由勾股定理,得$OF^2+AF^2=OA^2$,即
$(r-2)^2+6^2=r^2$,解得$r=10$.
$∴\odot O$的半径为10。

11.(24分)如图,在半径为2的扇形OAB中,$∠ AOB=90°$,C是$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点(不与点A,B重合),$OD⊥ BC$,$OE⊥ AC$,垂足分别为D,E.
(1)当$BC=2$时,求线段OD的长和$∠ BOD$的度数.
(2)在$△ DOE$中,是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)在$△ DOE$中,是否存在度数保持不变的角?如果存在,请指出并求其度数;如果不存在,请说明理由.

11.解:(1)$∵OD⊥BC$,$∴BD=CD=\frac{1}{2}BC=1$,
$∴BD=\frac{1}{2}OB$,$∴∠BOD=30°$.
由勾股定理,得$OD^2=2^2-1^2=3$,$∴OD=\sqrt{3}$.
(2)存在,$DE=\sqrt{2}$.如答图,连接AB.
$∵∠AOB=90°$,$OA=OB=2$,
$∴AB^2=OB^2+OA^2=8$,$∴AB=2\sqrt{2}$.
$∵OD⊥BC$,$OE⊥AC$,$∴BD=CD$,$AE=EC$,
$∴DE$是$△ABC$的中位线,$∴DE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
(3)存在,$∠DOE=45°$.如答图,连接OC.
$∵OD⊥BC$,$OE⊥AC$,且$OA=OB=OC$,
$∴∠BOD=∠COD$,$∠AOE=∠COE$,
$∴∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB=45°$。