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三、解答题(共60分)
9.(16分)(2025·河南二模)如图,学校耕读园里有一块空地,空地上有三棵树A,B,C,学校想修建一个圆形苗圃,使三棵树都在苗圃的边上.
(1)请你把苗圃的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若$△ ABC$中,$BC=4$米,$AC=6$米,$∠ C=90°$,试求圆形苗圃的面积.
9.(16分)(2025·河南二模)如图,学校耕读园里有一块空地,空地上有三棵树A,B,C,学校想修建一个圆形苗圃,使三棵树都在苗圃的边上.
(1)请你把苗圃的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若$△ ABC$中,$BC=4$米,$AC=6$米,$∠ C=90°$,试求圆形苗圃的面积.
答案
9.解:(1)如答图所示,$\odot O$即为苗圃的位置。
(2)$∵BC=4$米,$AC=6$米,$∠ C=90°$,
$∴AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$(米),
$∴△ABC$的外接圆半径为$\sqrt{13}$米,
$∴$圆形苗圃的面积为$13π$平方米.
解析
【分析】
(1) 要让三棵树都在苗圃边上，即需作△ABC的外接圆：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，交点就是圆心O，再以O到任意顶点的长度为半径画圆，即可得到所求苗圃。
(2) 已知△ABC是直角三角形，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形外接圆的直径等于斜边长度，因此先通过勾股定理求出斜边AB的长度，就能得到外接圆半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，即为所求苗圃，保留作图痕迹即可。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4$米，$AC=6$米，
由勾股定理可得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$（米），
∵直角三角形外接圆的直径为斜边长度，
∴该外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$米，
根据圆的面积公式可得苗圃面积：$S=π r^2=π×(\sqrt{13})^2=13π$（平方米）。
【答案】
(1) 如答图所示，$\odot O$即为苗圃的位置。
(2) 圆形苗圃的面积为$13π$平方米。
【知识点】
1. 三角形外接圆作图
2. 勾股定理
3. 圆的面积计算
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算，既考查了外接圆的作图方法，也考查了直角三角形外接圆性质的应用，属于基础常考题，熟练掌握外心的定义和特殊三角形外接圆的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
(1) 要让三棵树都在苗圃边上，即需作△ABC的外接圆：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），只需作出△ABC任意两条边的垂直平分线，交点就是圆心O，再以O到任意顶点的长度为半径画圆，即可得到所求苗圃。
(2) 已知△ABC是直角三角形，根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形外接圆的直径等于斜边长度，因此先通过勾股定理求出斜边AB的长度，就能得到外接圆半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，即为所求苗圃，保留作图痕迹即可。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4$米，$AC=6$米，
由勾股定理可得：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$（米），
∵直角三角形外接圆的直径为斜边长度，
∴该外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$米，
根据圆的面积公式可得苗圃面积：$S=π r^2=π×(\sqrt{13})^2=13π$（平方米）。
【答案】
(1) 如答图所示，$\odot O$即为苗圃的位置。
(2) 圆形苗圃的面积为$13π$平方米。
【知识点】
1. 三角形外接圆作图
2. 勾股定理
3. 圆的面积计算
【点评】
本题结合尺规作图和几何计算，既考查了外接圆的作图方法，也考查了直角三角形外接圆性质的应用，属于基础常考题，熟练掌握外心的定义和特殊三角形外接圆的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
10.(20分)(2025·无锡惠山区期中)如图，CD是$\odot O$的直径，AB为$\odot O$的一条弦(不为直径)，F是AB与CD的交点，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，AB=12，CF=2.
(1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)求$\odot O$的半径.
(1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)求$\odot O$的半径.
答案
10.解:(1)$AB⊥CD$,理由:如答图,连接OA,OB,
$∵\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$∴∠AOC=∠BOC$.
又$∵OA=OB$,$∴OF⊥AB$,即$AB⊥CD$.
(2)$∵$直径$CD⊥$弦$AB$于点$F$,$∴AF=BF=\frac{1}{2}AB=6$.
设$\odot O$的半径为$r$,则$OF=r-2$.
在$Rt△AOF$中,由勾股定理,得$OF^2+AF^2=OA^2$,即
$(r-2)^2+6^2=r^2$,解得$r=10$.
$∴\odot O$的半径为10。
解析
【分析】
(1) 要判断AB与CD的位置关系，首先利用“等弧所对的圆心角相等”的性质，连接OA、OB得到相等的圆心角，再结合OA=OB的等腰三角形性质，通过三线合一即可推导垂直关系；
(2) 求圆的半径时，先利用第一问的垂直关系，由垂径定理得到AF的长度，再设半径为r，用含r的代数式表示出OF的长度，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $AB⊥CD$，理由：
如答图，连接$OA$，$OB$，
$∵\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∴∠AOC=∠BOC$。
又$∵OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，OF是$∠ AOB$的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得$OF⊥AB$，即$AB⊥CD$。
(2) $∵$直径$CD⊥$弦$AB$于点$F$，由垂径定理得：
$AF=BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=r$，$OF=OC-CF=r-2$。
在$Rt△AOF$中，由勾股定理得$OF^2+AF^2=OA^2$，代入得：
$(r-2)^2+6^2=r^2$
展开化简得：$r^2-4r+4+36=r^2$，解得$r=10$。
【答案】
(1) $AB⊥CD$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
圆心角与弧的关系；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形和直角三角形，将圆的性质与勾股定理结合，其中用方程思想求解半径是圆中线段计算的常用方法。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断AB与CD的位置关系，首先利用“等弧所对的圆心角相等”的性质，连接OA、OB得到相等的圆心角，再结合OA=OB的等腰三角形性质，通过三线合一即可推导垂直关系；
(2) 求圆的半径时，先利用第一问的垂直关系，由垂径定理得到AF的长度，再设半径为r，用含r的代数式表示出OF的长度，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) $AB⊥CD$，理由：
如答图，连接$OA$，$OB$，
$∵\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∴∠AOC=∠BOC$。
又$∵OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，OF是$∠ AOB$的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得$OF⊥AB$，即$AB⊥CD$。
(2) $∵$直径$CD⊥$弦$AB$于点$F$，由垂径定理得：
$AF=BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=r$，$OF=OC-CF=r-2$。
在$Rt△AOF$中，由勾股定理得$OF^2+AF^2=OA^2$，代入得：
$(r-2)^2+6^2=r^2$
展开化简得：$r^2-4r+4+36=r^2$，解得$r=10$。
【答案】
(1) $AB⊥CD$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
圆心角与弧的关系；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常考题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形和直角三角形，将圆的性质与勾股定理结合，其中用方程思想求解半径是圆中线段计算的常用方法。
【难度系数】
0.8
11.(24分)如图,在半径为2的扇形OAB中,$∠ AOB=90°$,C是$\overset{\frown}{AB}$上的一个动点(不与点A,B重合),$OD⊥ BC$,$OE⊥ AC$,垂足分别为D,E.
(1)当$BC=2$时,求线段OD的长和$∠ BOD$的度数.
(2)在$△ DOE$中,是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)在$△ DOE$中,是否存在度数保持不变的角?如果存在,请指出并求其度数;如果不存在,请说明理由.
(1)当$BC=2$时,求线段OD的长和$∠ BOD$的度数.
(2)在$△ DOE$中,是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.
(3)在$△ DOE$中,是否存在度数保持不变的角?如果存在,请指出并求其度数;如果不存在,请说明理由.
答案
11.解:(1)$∵OD⊥BC$,$∴BD=CD=\frac{1}{2}BC=1$,
$∴BD=\frac{1}{2}OB$,$∴∠BOD=30°$.
由勾股定理,得$OD^2=2^2-1^2=3$,$∴OD=\sqrt{3}$.
(2)存在,$DE=\sqrt{2}$.如答图,连接AB.
$∵∠AOB=90°$,$OA=OB=2$,
$∴AB^2=OB^2+OA^2=8$,$∴AB=2\sqrt{2}$.
$∵OD⊥BC$,$OE⊥AC$,$∴BD=CD$,$AE=EC$,
$∴DE$是$△ABC$的中位线,$∴DE=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
(3)存在,$∠DOE=45°$.如答图,连接OC.
$∵OD⊥BC$,$OE⊥AC$,且$OA=OB=OC$,
$∴∠BOD=∠COD$,$∠AOE=∠COE$,
$∴∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB=45°$。
解析
【分析】
(1) 第一问首先根据垂径定理可得OD平分BC，先算出BD的长度，再在Rt△BOD中，利用“直角边等于斜边一半时对应锐角为30°”得到∠BOD的度数，最后通过勾股定理计算OD的长度即可。
(2) 第二问要找长度不变的边，由垂径定理可推出D、E分别是BC、AC的中点，联想到三角形中位线定理，连接固定长度的弦AB，即可得到DE为△ABC的中位线，长度为AB的一半，为定值。
(3) 第三问要找度数不变的角，连接OC，利用等腰三角形三线合一的性质，可得OD平分∠BOC、OE平分∠AOC，由此推出∠DOE是固定角∠AOB的一半，即可得到定值。
【解析】
(1) $\because OD⊥ BC$，由垂径定理可得：
$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
在$Rt△ BOD$中，$OB=2$，$BD=1=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore ∠ BOD=30°$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
(2) 存在长度保持不变的边，为$DE$，求解如下：
如答图，连接$AB$，
$\because ∠ AOB=90°$，$OA=OB=2$，
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\because OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，由垂径定理得：$BD=CD$，$AE=EC$，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
(3) 存在度数保持不变的角，为$∠ DOE$，求解如下：
如答图，连接$OC$，
$\because OB=OC$，$OD⊥ BC$，由等腰三角形三线合一得$∠ BOD=∠ COD$，
同理$OA=OC$，$OE⊥ AC$，得$∠ AOE=∠ COE$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ BOC+∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$，
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
(1) $OD=\sqrt{3}$，$∠ BOD=30°$；
(2) 存在，长度不变的边是$DE$，长度为$\sqrt{2}$；
(3) 存在，度数不变的角是$∠ DOE$，度数为$45°$。
【知识点】
垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是扇形背景下的动态几何题，三个小问梯度明显，综合考查了圆的基础性质、三角形相关定理的应用，解题的关键是合理添加辅助线，挖掘动态过程中的不变关系，能有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问首先根据垂径定理可得OD平分BC，先算出BD的长度，再在Rt△BOD中，利用“直角边等于斜边一半时对应锐角为30°”得到∠BOD的度数，最后通过勾股定理计算OD的长度即可。
(2) 第二问要找长度不变的边，由垂径定理可推出D、E分别是BC、AC的中点，联想到三角形中位线定理，连接固定长度的弦AB，即可得到DE为△ABC的中位线，长度为AB的一半，为定值。
(3) 第三问要找度数不变的角，连接OC，利用等腰三角形三线合一的性质，可得OD平分∠BOC、OE平分∠AOC，由此推出∠DOE是固定角∠AOB的一半，即可得到定值。
【解析】
(1) $\because OD⊥ BC$，由垂径定理可得：
$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
在$Rt△ BOD$中，$OB=2$，$BD=1=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore ∠ BOD=30°$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
(2) 存在长度保持不变的边，为$DE$，求解如下：
如答图，连接$AB$，
$\because ∠ AOB=90°$，$OA=OB=2$，
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\because OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，由垂径定理得：$BD=CD$，$AE=EC$，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
(3) 存在度数保持不变的角，为$∠ DOE$，求解如下：
如答图，连接$OC$，
$\because OB=OC$，$OD⊥ BC$，由等腰三角形三线合一得$∠ BOD=∠ COD$，
同理$OA=OC$，$OE⊥ AC$，得$∠ AOE=∠ COE$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COD+∠ COE=\frac{1}{2}(∠ BOC+∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$，
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ DOE=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
(1) $OD=\sqrt{3}$，$∠ BOD=30°$；
(2) 存在，长度不变的边是$DE$，长度为$\sqrt{2}$；
(3) 存在，度数不变的角是$∠ DOE$，度数为$45°$。
【知识点】
垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是扇形背景下的动态几何题，三个小问梯度明显，综合考查了圆的基础性质、三角形相关定理的应用，解题的关键是合理添加辅助线，挖掘动态过程中的不变关系，能有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
