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1.(2025·重庆)如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ AOB=100°$,$∠ C$的度数是 (
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
B
)A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
1.B
解析
【分析】
首先观察图形，可判断∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠C是同一段弧AB所对的圆周角，求解此类角度问题可直接联想圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，代入已知的圆心角度数即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆周角定理的应用，熟练掌握同弧所对圆周角与圆心角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，可判断∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠C是同一段弧AB所对的圆周角，求解此类角度问题可直接联想圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，代入已知的圆心角度数即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵$∠ AOB=100°$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}×100°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查圆周角定理的应用，熟练掌握同弧所对圆周角与圆心角的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2.如图，CD是$\odot O$的直径，AB是弦，$AB⊥ CD$，$∠ ADC=30°$，则$∠ BOC=$（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：CD是圆O的直径，AB垂直于CD，首先联想垂径定理，垂直于弦的直径会平分弦所对的两条弧，由此可得劣弧AC和劣弧BC相等，等弧对应的圆心角也相等，即∠AOC=∠BOC。接下来看已知的∠ADC=30°，它是弧AC对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，就能求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，进而得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$（等弧所对的圆心角相等）。
∵$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴由圆周角定理得$∠ AOC=2∠ ADC$，
又
∵$∠ ADC=30°$，
∴$∠ AOC=2×30°=60°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，核心是通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角和圆心角的数量关系求解，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：CD是圆O的直径，AB垂直于CD，首先联想垂径定理，垂直于弦的直径会平分弦所对的两条弧，由此可得劣弧AC和劣弧BC相等，等弧对应的圆心角也相等，即∠AOC=∠BOC。接下来看已知的∠ADC=30°，它是弧AC对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，就能求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，进而得到∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$（等弧所对的圆心角相等）。
∵$∠ ADC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴由圆周角定理得$∠ AOC=2∠ ADC$，
又
∵$∠ ADC=30°$，
∴$∠ AOC=2×30°=60°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，核心是通过垂径定理得到等弧，再结合圆周角和圆心角的数量关系求解，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.8
3.(2025·山西)如图，AB为$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件AB是圆O的直径，可得弧AB对应的度数为180°，再根据$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即可求出弧AC的度数；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∵∠D是$\odot O$的圆周角，且所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；圆的基本性质；弧的度数计算
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，重点考查圆周角定理的应用，解题的核心是先求出所求圆周角对应弧的度数，再结合定理计算角度，是圆周角章节的常规考法。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件AB是圆O的直径，可得弧AB对应的度数为180°，再根据$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即可求出弧AC的度数；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∵∠D是$\odot O$的圆周角，且所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；圆的基本性质；弧的度数计算
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，重点考查圆周角定理的应用，解题的核心是先求出所求圆周角对应弧的度数，再结合定理计算角度，是圆周角章节的常规考法。
【难度系数】
0.8
4.(2025·宿迁宿城新区教学共同体期末)已知圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是
45°或 135°
。答案
4.45°或 135°
解析
【分析】
解题时首先明确圆周总度数为360°，根据弦分圆周的比例先求出弦所对的两条弧的度数；其次要牢记一条弦对应两条弧（一条劣弧、一条优弧），因此对应两个不同的圆周角，再结合圆周角定理（圆周角的度数等于其所对弧度数的一半）分别计算两个圆周角的度数，避免漏解。
【解析】
解：
∵圆周的总度数为360°，这条弦把圆周分成1:3两部分
∴弦所对的两段弧的度数分别为：
$360° × \frac{1}{1+3}=90°$，$360° - 90° = 270°$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半
①当圆周角对的是90°的劣弧时，圆周角度数为 $\frac{1}{2} × 90° = 45°$
②当圆周角对的是270°的优弧时，圆周角度数为 $\frac{1}{2} × 270° = 135°$
综上，这条弦所对的圆周角的度数为45°或135°。
【答案】
45°或135°
【知识点】
1.圆周角定理 2.弦与弧的对应关系
【点评】
本题易错点是忽略一条弦对应两条弧，仅计算劣弧所对的圆周角导致漏解，解题时要全面考虑弦对应的弧的两种情况，结合圆周角定理求解即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确圆周总度数为360°，根据弦分圆周的比例先求出弦所对的两条弧的度数；其次要牢记一条弦对应两条弧（一条劣弧、一条优弧），因此对应两个不同的圆周角，再结合圆周角定理（圆周角的度数等于其所对弧度数的一半）分别计算两个圆周角的度数，避免漏解。
【解析】
解：
∵圆周的总度数为360°，这条弦把圆周分成1:3两部分
∴弦所对的两段弧的度数分别为：
$360° × \frac{1}{1+3}=90°$，$360° - 90° = 270°$
根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半
①当圆周角对的是90°的劣弧时，圆周角度数为 $\frac{1}{2} × 90° = 45°$
②当圆周角对的是270°的优弧时，圆周角度数为 $\frac{1}{2} × 270° = 135°$
综上，这条弦所对的圆周角的度数为45°或135°。
【答案】
45°或135°
【知识点】
1.圆周角定理 2.弦与弧的对应关系
【点评】
本题易错点是忽略一条弦对应两条弧，仅计算劣弧所对的圆周角导致漏解，解题时要全面考虑弦对应的弧的两种情况，结合圆周角定理求解即可。
【难度系数】
0.6
5.(2025·宿迁泗阳县二模)如图，OA，OB是$\odot O$的半径，C是$\odot O$上一点，$∠ AOB=40°$，$∠ OBC=50°$，则$∠ OAC$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$.
答案
5.30
解析
【分析】
解题时首先利用圆的半径都相等，可得OA=OB=OC，即△OBC和△OAC均为等腰三角形。先在△OBC中，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和求出∠BOC的度数，再结合已知的∠AOB求出∠AOC的度数，最后在△OAC中再次利用等腰三角形性质和内角和定理即可算出∠OAC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OB=OC。
在△OBC中，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
由三角形内角和为180°，得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-50°-50°=80°。
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+80°=120°。
在△OAC中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=(180°-∠AOC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
【答案】
30
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，核心是利用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合角度和差关系、三角形内角和求解，解题时注意理清各个角之间的位置关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆的半径都相等，可得OA=OB=OC，即△OBC和△OAC均为等腰三角形。先在△OBC中，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和求出∠BOC的度数，再结合已知的∠AOB求出∠AOC的度数，最后在△OAC中再次利用等腰三角形性质和内角和定理即可算出∠OAC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OB=OC。
在△OBC中，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
由三角形内角和为180°，得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-50°-50°=80°。
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+80°=120°。
在△OAC中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=(180°-∠AOC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
【答案】
30
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础角度计算题，核心是利用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合角度和差关系、三角形内角和求解，解题时注意理清各个角之间的位置关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
6.(2025·宿迁泗阳县期中)如图,点A,B,C在$\odot O$上,D是$\overset{\frown}{AB}$的中点.若$∠ AOB=124°$,求$∠ BCD$的度数.
答案
6.解:$\because D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠ AOB=124°$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}$的度数为$62°$,$\therefore ∠ BCD=\frac{1}{2}×62°=31°$.
$\therefore \overset{\frown}{BD}$的度数为$62°$,$\therefore ∠ BCD=\frac{1}{2}×62°=31°$.
解析
【分析】
要求$∠ BCD$的度数，首先明确$∠ BCD$是圆周角，它所对的弧是$\overset{\frown}{BD}$，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此只需要先求出$\overset{\frown}{BD}$的度数即可。已知D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，说明$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$，而弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此$\overset{\frown}{AB}$的度数等于$∠ AOB$的度数$124°$，由此可算出$\overset{\frown}{BD}$的度数，进而求出$∠ BCD$的度数。
【解析】
解：$\because$ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=124°$，
$\therefore$ $\overset{\frown}{BD}$的度数为$\frac{1}{2}×124°=62°$，
又$\because$ $∠ BCD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
$\therefore$ $∠ BCD=\frac{1}{2}×62°=31°$。
【答案】
$31°$
【知识点】
1. 弧中点的性质 2. 圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是将圆周角的求解转化为对应弧的度数的计算，熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要求$∠ BCD$的度数，首先明确$∠ BCD$是圆周角，它所对的弧是$\overset{\frown}{BD}$，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此只需要先求出$\overset{\frown}{BD}$的度数即可。已知D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，说明$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AD}$，而弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此$\overset{\frown}{AB}$的度数等于$∠ AOB$的度数$124°$，由此可算出$\overset{\frown}{BD}$的度数，进而求出$∠ BCD$的度数。
【解析】
解：$\because$ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=124°$，
$\therefore$ $\overset{\frown}{BD}$的度数为$\frac{1}{2}×124°=62°$，
又$\because$ $∠ BCD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
$\therefore$ $∠ BCD=\frac{1}{2}×62°=31°$。
【答案】
$31°$
【知识点】
1. 弧中点的性质 2. 圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是将圆周角的求解转化为对应弧的度数的计算，熟练掌握弧、圆心角、圆周角之间的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.(2025·宿迁宿城新区教学共同体期末)如图,AB是$\odot O$的一条弦,C是$\odot O$上一动点,且$∠ ACB=30°$,E,F分别是AC,BC的中点,直线EF与$\odot O$交于G,H两点.若$\odot O$的半径为8,则$GE+FH$的最大值为 (
A.8
B.12
C.16
D.20
B
)A.8
B.12
C.16
D.20
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先从已知的圆周角∠ACB=30°入手，根据圆周角定理求出弧AB对应的圆心角，确定弦AB的长度；再结合E、F是中点的条件，利用三角形中位线定理得到EF为定值；最后将所求GE+FH转化为GH-EF，要使GE+FH最大，只需GH取最大值，而圆中最长的弦是直径，由此即可计算出结果。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵∠ACB=30°，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
又
∵OA=OB=8（⊙O的半径），
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=8，
∵E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8=4$，
∴GE+FH=GH-EF，
∵EF为定值4，
∴要使GE+FH最大，只需弦GH的长度最大，
∵圆中最长的弦为直径，⊙O的直径为$2×8=16$，即GH的最大值为16，
∴GE+FH的最大值为$16-4=12$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，圆的弦的性质
【点评】
本题考查了圆的相关性质与三角形知识的综合应用，解题的核心是运用转化思想，将所求线段和的最值问题转化为求圆的最长弦的问题，有助于提升学生的知识整合与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的圆周角∠ACB=30°入手，根据圆周角定理求出弧AB对应的圆心角，确定弦AB的长度；再结合E、F是中点的条件，利用三角形中位线定理得到EF为定值；最后将所求GE+FH转化为GH-EF，要使GE+FH最大，只需GH取最大值，而圆中最长的弦是直径，由此即可计算出结果。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵∠ACB=30°，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
又
∵OA=OB=8（⊙O的半径），
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=8，
∵E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×8=4$，
∴GE+FH=GH-EF，
∵EF为定值4，
∴要使GE+FH最大，只需弦GH的长度最大，
∵圆中最长的弦为直径，⊙O的直径为$2×8=16$，即GH的最大值为16，
∴GE+FH的最大值为$16-4=12$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，圆的弦的性质
【点评】
本题考查了圆的相关性质与三角形知识的综合应用，解题的核心是运用转化思想，将所求线段和的最值问题转化为求圆的最长弦的问题，有助于提升学生的知识整合与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
