8.(2025·扬州)如图,点A,B,C在⊙O上,∠BAC=50°,则∠OBC=.

8.40°

9.(2025·宿迁沭阳县二模)如图,在$\odot O$中,半径$OA$,$OB$互相垂直,点$C$在劣弧$AB$上.若$∠ ABC=19°$,则$∠ BAC$的度数是°.

9.26

10.(2025·南京)如图,已知扇形AOB,D为圆弧上一点,且$\overset{\frown}{ADB}$的度数为$260°$,若P为扇形内一点,则$∠ APB$的取值范围是.

10.$50°＜∠ APB＜100°$

11.(2025·宿迁宿城区期末)如图,直径AB,CD的夹角∠AOC=60°,P为弧BC上的一个动点(不与点B,C重合).PM,PN分别垂直于CD,AB,垂足分别为M,N.若$\odot O$的半径长为2,则MN的长为.

11.$\sqrt{3}$

12.如图，点A,B,C为⊙O上的三个点，且△ABC为等边三角形，P为BC上一点.求证：PA=PB+PC.

12.证明:如答图,在PA上截取PD=PB,连接BD.
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°,AB=BC$,
$\therefore ∠ BPA=∠ ACB=60°,∠ APC=∠ ABC=60°$,
$\therefore ∠ BPC=120°$.
又$\because PD=PB,\therefore △ PBD$是等边三角形,
$\therefore ∠ BDP=60°,BD=PB,\therefore ∠ BDA=120°$.
又$\because ∠ BAP=∠ BCP,\therefore △ ABD≌△ CBP(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD=PC,\therefore PA=PD+AD=PB+PC$.

13.如图，$\odot O$中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F。
(1)若$AB=10$，$OE=\sqrt{10}$，求AC的长；
(2)求证：$EF⊥ BD$。

13.(1)解:$\because E$是AC的中点,$\therefore OE⊥ AC,AC=2AE$.
$\because AB=10,\therefore OA=\frac{1}{2}AB=5$.
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$OE=\sqrt{10}$,
$\therefore AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{10})^2}=\sqrt{15}$,
$\therefore AC=2AE=2\sqrt{15}$,$\therefore AC$的长为$2\sqrt{15}$.
(2)证明:$\because AB⊥ CD,\therefore ∠ APC=∠ BPD=90°$,
$\therefore ∠ DPF+∠ BPF=90°$.
$\because E$是AC的中点,$\therefore EP=EC=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore ∠ EPC=∠ C$.
$\because ∠ EPC=∠ DPF,∠ B=∠ C,\therefore ∠ DPF=∠ B$,
$\therefore ∠ B+∠ BPF=90°$,
$\therefore ∠ BFP=180°-(∠ B+∠ BPF)=90°,\therefore EF⊥ BD$.