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8.(2025·扬州)如图,点A,B,C在⊙O上,∠BAC=50°,则∠OBC=
40°
.答案
8.40°
解析
【分析】
解决本题的思路如下：首先观察图形，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理可先求出圆心角∠BOC的度数；再结合OB、OC都是圆的半径，可知△OBC为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OBC的度数。
【解析】
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，得∠BOC = 2∠BAC
∵ ∠BAC = 50°
∴ ∠BOC = 2×50° = 100°
∵ OB、OC都是⊙O的半径
∴ OB = OC，即△OBC是等腰三角形，∠OBC = ∠OCB
由三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = (180° - ∠BOC)÷2 = (180° - 100°)÷2 = 40°
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合等腰三角形等边对等角的性质即可完成角度计算。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路如下：首先观察图形，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理可先求出圆心角∠BOC的度数；再结合OB、OC都是圆的半径，可知△OBC为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OBC的度数。
【解析】
∵ ∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，得∠BOC = 2∠BAC
∵ ∠BAC = 50°
∴ ∠BOC = 2×50° = 100°
∵ OB、OC都是⊙O的半径
∴ OB = OC，即△OBC是等腰三角形，∠OBC = ∠OCB
由三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = (180° - ∠BOC)÷2 = (180° - 100°)÷2 = 40°
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、三角形内角和
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合等腰三角形等边对等角的性质即可完成角度计算。
【难度系数】
0.8
9.(2025·宿迁沭阳县二模)如图,在$\odot O$中,半径$OA$,$OB$互相垂直,点$C$在劣弧$AB$上.若$∠ ABC=19°$,则$∠ BAC$的度数是
26
°.答案
9.26
解析
【分析】
解题思路如下：首先由OA与OB互相垂直，可得出圆心角∠AOB的度数，对应得到弧AB的度数；再根据圆周角定理，由已知的∠ABC的度数求出它所对的弧AC的度数；接着用弧AB的度数减去弧AC的度数得到弧BC的度数；最后根据圆周角定理，弧BC所对的圆周角∠BAC的度数等于弧BC度数的一半，即可算出结果。
【解析】
解：
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°。
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠ABC=19°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴弧AC的度数=2×∠ABC=2×19°=38°，
∴弧BC的度数=弧AB的度数 - 弧AC的度数=90°-38°=52°。
又
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=½×52°=26°。
【答案】
26
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系，垂直的性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题的核心是找准圆周角对应的弧，理清圆周角、弧、圆心角三者之间的数量关系，通过弧的度数作为中间量推导未知角的度数。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先由OA与OB互相垂直，可得出圆心角∠AOB的度数，对应得到弧AB的度数；再根据圆周角定理，由已知的∠ABC的度数求出它所对的弧AC的度数；接着用弧AB的度数减去弧AC的度数得到弧BC的度数；最后根据圆周角定理，弧BC所对的圆周角∠BAC的度数等于弧BC度数的一半，即可算出结果。
【解析】
解：
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，即弧AB的度数为90°。
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠ABC=19°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴弧AC的度数=2×∠ABC=2×19°=38°，
∴弧BC的度数=弧AB的度数 - 弧AC的度数=90°-38°=52°。
又
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=½×52°=26°。
【答案】
26
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系，垂直的性质
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题的核心是找准圆周角对应的弧，理清圆周角、弧、圆心角三者之间的数量关系，通过弧的度数作为中间量推导未知角的度数。
【难度系数】
0.8
10.(2025·南京)如图,已知扇形AOB,D为圆弧上一点,且$\overset{\frown}{ADB}$的度数为$260°$,若P为扇形内一点,则$∠ APB$的取值范围是
$50°＜∠ APB＜100°$
.答案
10.$50°＜∠ APB＜100°$
解析
【分析】
解题时首先根据已知弧的度数求出劣弧AB的度数，得到对应的圆心角∠AOB的大小；再结合圆周角定理，找到∠APB的两个边界值：当P在优弧ADB上时，∠APB是劣弧AB所对的圆周角，为最小值；当P与圆心O重合时，∠APB等于圆心角∠AOB，为最大值；最后结合P在扇形内部的条件，确定取值范围即可。
【解析】
解：
∵ 整个圆周的度数为$360°$，$\overset{\frown}{ADB}$的度数为$260°$
∴ 劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为 $360° - 260° = 100°$
∴ 劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角 $∠ AOB = 100°$
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
可得劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角度数为 $\frac{1}{2} × 100° = 50°$，即当P在$\overset{\frown}{ADB}$上时，$∠ APB = 50°$
当P与圆心O重合时，$∠ APB = ∠ AOB = 100°$
∵ P为扇形内一点，不与边界重合
∴ $∠ APB$的取值范围是 $50° ＜ ∠ APB ＜ 100°$
【答案】
$50°＜∠ APB＜100°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题解题的关键是明确弧的度数与对应圆心角、圆周角的关系，找到角的两个边界值，结合点的位置范围确定最终的取值区间，需注意边界点取不到，所以使用严格不等号。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知弧的度数求出劣弧AB的度数，得到对应的圆心角∠AOB的大小；再结合圆周角定理，找到∠APB的两个边界值：当P在优弧ADB上时，∠APB是劣弧AB所对的圆周角，为最小值；当P与圆心O重合时，∠APB等于圆心角∠AOB，为最大值；最后结合P在扇形内部的条件，确定取值范围即可。
【解析】
解：
∵ 整个圆周的度数为$360°$，$\overset{\frown}{ADB}$的度数为$260°$
∴ 劣弧$\overset{\frown}{AB}$的度数为 $360° - 260° = 100°$
∴ 劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角 $∠ AOB = 100°$
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
可得劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角度数为 $\frac{1}{2} × 100° = 50°$，即当P在$\overset{\frown}{ADB}$上时，$∠ APB = 50°$
当P与圆心O重合时，$∠ APB = ∠ AOB = 100°$
∵ P为扇形内一点，不与边界重合
∴ $∠ APB$的取值范围是 $50° ＜ ∠ APB ＜ 100°$
【答案】
$50°＜∠ APB＜100°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题解题的关键是明确弧的度数与对应圆心角、圆周角的关系，找到角的两个边界值，结合点的位置范围确定最终的取值区间，需注意边界点取不到，所以使用严格不等号。
【难度系数】
0.6
11.(2025·宿迁宿城区期末)如图,直径AB,CD的夹角∠AOC=60°,P为弧BC上的一个动点(不与点B,C重合).PM,PN分别垂直于CD,AB,垂足分别为M,N.若$\odot O$的半径长为2,则MN的长为
$\sqrt{3}$
.答案
11.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题可通过四点共圆结合正弦定理求解。首先观察到PM⊥CD、PN⊥AB，可得∠OMP与∠ONP均为直角，满足四点共圆的判定条件，即O、M、P、N四点在以OP为直径的圆上；OP为⊙O的半径长度固定，∠MON等于已知的∠AOC=60°，在共圆的小圆中利用正弦定理即可求出弦MN的长度。
【解析】
解：
∵PM⊥CD，PN⊥AB，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
∴∠OMP+∠ONP=180°，
∴O、M、P、N四点共圆，且该圆的直径为OP。
∵⊙O的半径为2，
∴OP=2，即四点共圆的小圆直径为2，半径$r=1$。
又
∵∠AOC=60°，
∴∠MON=∠AOC=60°。
根据正弦定理，在小圆中，弦长与对应圆周角的关系为：
$\frac{MN}{\sin∠MON}=2r$
代入数值计算：
$MN=2r·\sin60°=2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
四点共圆判定，正弦定理，圆的基本性质
【点评】
本题解题关键是发现动点P到定点O的距离不变，结合垂直关系得到四点共圆，将未知弦长转化为共圆的弦长求解，避免了动点带来的复杂计算，较好地考察了圆的性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6
本题可通过四点共圆结合正弦定理求解。首先观察到PM⊥CD、PN⊥AB，可得∠OMP与∠ONP均为直角，满足四点共圆的判定条件，即O、M、P、N四点在以OP为直径的圆上；OP为⊙O的半径长度固定，∠MON等于已知的∠AOC=60°，在共圆的小圆中利用正弦定理即可求出弦MN的长度。
【解析】
解：
∵PM⊥CD，PN⊥AB，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
∴∠OMP+∠ONP=180°，
∴O、M、P、N四点共圆，且该圆的直径为OP。
∵⊙O的半径为2，
∴OP=2，即四点共圆的小圆直径为2，半径$r=1$。
又
∵∠AOC=60°，
∴∠MON=∠AOC=60°。
根据正弦定理，在小圆中，弦长与对应圆周角的关系为：
$\frac{MN}{\sin∠MON}=2r$
代入数值计算：
$MN=2r·\sin60°=2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
四点共圆判定，正弦定理，圆的基本性质
【点评】
本题解题关键是发现动点P到定点O的距离不变，结合垂直关系得到四点共圆，将未知弦长转化为共圆的弦长求解，避免了动点带来的复杂计算，较好地考察了圆的性质的灵活应用。
【难度系数】
0.6
12.如图，点A,B,C为⊙O上的三个点，且△ABC为等边三角形，P为BC上一点.求证：PA=PB+PC.
答案
12.证明:如答图,在PA上截取PD=PB,连接BD.
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°,AB=BC$,
$\therefore ∠ BPA=∠ ACB=60°,∠ APC=∠ ABC=60°$,
$\therefore ∠ BPC=120°$.
又$\because PD=PB,\therefore △ PBD$是等边三角形,
$\therefore ∠ BDP=60°,BD=PB,\therefore ∠ BDA=120°$.
又$\because ∠ BAP=∠ BCP,\therefore △ ABD≌△ CBP(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD=PC,\therefore PA=PD+AD=PB+PC$.
解析
【分析】
要证明一条线段等于两条线段的和，通常采用截长补短法：本题选择截长法，在较长的线段PA上截取PD=PB，先利用等边三角形的性质和圆周角定理推出△PBD是等边三角形，再通过证明三角形全等得到AD=PC，最后通过线段和的关系即可得到结论。
【解析】
证明：如答图，在PA上截取PD=PB，连接BD。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠BPA=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，
∴∠BPC=∠BPA+∠APC=120°。
又
∵PD=PB，∠BPD=60°，
∴△PBD是等边三角形，
∴∠BDP=60°，BD=PB，
∴∠BDA=180°-∠BDP=120°，即∠BDA=∠BPC。
又
∵同弧BP所对的圆周角∠BAP=∠BCP，
在△ABD和△CBP中：
$\{\begin{array}{l}∠BDA=∠BPC\\∠BAD=∠BCP\\AB=BC\end{array} $
∴△ABD≌△CBP(AAS)，
∴AD=PC，
∴PA=PD+AD=PB+PC，原式得证。
【答案】
证明:如答图,在PA上截取PD=PB,连接BD.
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°,AB=BC$,
$\therefore ∠ BPA=∠ ACB=60°,∠ APC=∠ ABC=60°$,
$\therefore ∠ BPC=120°$.
又$\because PD=PB,\therefore △ PBD$是等边三角形,
$\therefore ∠ BDP=60°,BD=PB,\therefore ∠ BDA=120°$.
又$\because ∠ BAP=∠ BCP,\therefore △ ABD≌△ CBP(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD=PC,\therefore PA=PD+AD=PB+PC$.
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的典型题型，核心是运用截长补短法处理线段和差的证明问题，解题时需要结合圆周角的性质找到相等的角，构造全等三角形完成线段的等量代换，熟练掌握截长补短的思路能快速突破这类题型。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于两条线段的和，通常采用截长补短法：本题选择截长法，在较长的线段PA上截取PD=PB，先利用等边三角形的性质和圆周角定理推出△PBD是等边三角形，再通过证明三角形全等得到AD=PC，最后通过线段和的关系即可得到结论。
【解析】
证明：如答图，在PA上截取PD=PB，连接BD。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠BPA=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，
∴∠BPC=∠BPA+∠APC=120°。
又
∵PD=PB，∠BPD=60°，
∴△PBD是等边三角形，
∴∠BDP=60°，BD=PB，
∴∠BDA=180°-∠BDP=120°，即∠BDA=∠BPC。
又
∵同弧BP所对的圆周角∠BAP=∠BCP，
在△ABD和△CBP中：
$\{\begin{array}{l}∠BDA=∠BPC\\∠BAD=∠BCP\\AB=BC\end{array} $
∴△ABD≌△CBP(AAS)，
∴AD=PC，
∴PA=PD+AD=PB+PC，原式得证。
【答案】
证明:如答图,在PA上截取PD=PB,连接BD.
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°,AB=BC$,
$\therefore ∠ BPA=∠ ACB=60°,∠ APC=∠ ABC=60°$,
$\therefore ∠ BPC=120°$.
又$\because PD=PB,\therefore △ PBD$是等边三角形,
$\therefore ∠ BDP=60°,BD=PB,\therefore ∠ BDA=120°$.
又$\because ∠ BAP=∠ BCP,\therefore △ ABD≌△ CBP(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD=PC,\therefore PA=PD+AD=PB+PC$.
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的典型题型，核心是运用截长补短法处理线段和差的证明问题，解题时需要结合圆周角的性质找到相等的角，构造全等三角形完成线段的等量代换，熟练掌握截长补短的思路能快速突破这类题型。
【难度系数】
0.6
13.如图，$\odot O$中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F。
(1)若$AB=10$，$OE=\sqrt{10}$，求AC的长；
(2)求证：$EF⊥ BD$。
(1)若$AB=10$，$OE=\sqrt{10}$，求AC的长；
(2)求证：$EF⊥ BD$。
答案
13.(1)解:$\because E$是AC的中点,$\therefore OE⊥ AC,AC=2AE$.
$\because AB=10,\therefore OA=\frac{1}{2}AB=5$.
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$OE=\sqrt{10}$,
$\therefore AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{10})^2}=\sqrt{15}$,
$\therefore AC=2AE=2\sqrt{15}$,$\therefore AC$的长为$2\sqrt{15}$.
(2)证明:$\because AB⊥ CD,\therefore ∠ APC=∠ BPD=90°$,
$\therefore ∠ DPF+∠ BPF=90°$.
$\because E$是AC的中点,$\therefore EP=EC=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore ∠ EPC=∠ C$.
$\because ∠ EPC=∠ DPF,∠ B=∠ C,\therefore ∠ DPF=∠ B$,
$\therefore ∠ B+∠ BPF=90°$,
$\therefore ∠ BFP=180°-(∠ B+∠ BPF)=90°,\therefore EF⊥ BD$.
$\because AB=10,\therefore OA=\frac{1}{2}AB=5$.
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$OE=\sqrt{10}$,
$\therefore AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{10})^2}=\sqrt{15}$,
$\therefore AC=2AE=2\sqrt{15}$,$\therefore AC$的长为$2\sqrt{15}$.
(2)证明:$\because AB⊥ CD,\therefore ∠ APC=∠ BPD=90°$,
$\therefore ∠ DPF+∠ BPF=90°$.
$\because E$是AC的中点,$\therefore EP=EC=\frac{1}{2}AC$,
$\therefore ∠ EPC=∠ C$.
$\because ∠ EPC=∠ DPF,∠ B=∠ C,\therefore ∠ DPF=∠ B$,
$\therefore ∠ B+∠ BPF=90°$,
$\therefore ∠ BFP=180°-(∠ B+∠ BPF)=90°,\therefore EF⊥ BD$.
解析
【分析】
(1) 求解AC长度时，首先根据圆心O和弦AC中点E的条件，结合垂径定理推论可得OE⊥AC，且AC=2AE；再由AB是直径求出半径OA的长度，最后在Rt△AOE中用勾股定理算出AE的长度，即可得到AC的长。
(2) 证明EF⊥BD，只需证明∠BFP=90°即可：首先由AB⊥CD得到直角，结合E是Rt△APC斜边AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到边相等，进而推出对应角相等；再结合对顶角相等、同弧所对圆周角相等进行角度转化，最终推导出∠B+∠BPF=90°，即可得到∠BFP=90°，证明垂直。
【解析】
(1) 解：$\because E$是$AC$的中点，$O$是圆心，
$\therefore OE⊥ AC,AC=2AE$。
$\because AB=10$，$AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AB=5$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$OE=\sqrt{10}$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{10})^2}=\sqrt{15}$，
$\therefore AC=2AE=2\sqrt{15}$。
(2) 证明：$\because AB⊥ CD$，
$\therefore ∠ APC=∠ BPD=90°$，
$\therefore ∠ DPF+∠ BPF=90°$。
$\because E$是$AC$的中点，$△ APC$是直角三角形，
$\therefore EP=EC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ EPC=∠ C$。
$\because ∠ EPC=∠ DPF$（对顶角相等），$∠ B=∠ C$（同弧所对圆周角相等），
$\therefore ∠ DPF=∠ B$，
$\therefore ∠ B+∠ BPF=90°$，
$\therefore ∠ BFP=180°-(∠ B+∠ BPF)=90°$，
$\therefore EF⊥ BD$。
【答案】
(1) $AC$的长为$2\sqrt{15}$；(2) 证明成立，$EF⊥ BD$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角性质
【点评】
本题第一问是圆的性质与勾股定理的基础结合题，难度较低；第二问需要综合运用直角三角形性质、圆周角性质完成角度转化，对逻辑推理能力有一定要求，属于圆章节的常规中档题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解AC长度时，首先根据圆心O和弦AC中点E的条件，结合垂径定理推论可得OE⊥AC，且AC=2AE；再由AB是直径求出半径OA的长度，最后在Rt△AOE中用勾股定理算出AE的长度，即可得到AC的长。
(2) 证明EF⊥BD，只需证明∠BFP=90°即可：首先由AB⊥CD得到直角，结合E是Rt△APC斜边AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到边相等，进而推出对应角相等；再结合对顶角相等、同弧所对圆周角相等进行角度转化，最终推导出∠B+∠BPF=90°，即可得到∠BFP=90°，证明垂直。
【解析】
(1) 解：$\because E$是$AC$的中点，$O$是圆心，
$\therefore OE⊥ AC,AC=2AE$。
$\because AB=10$，$AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AB=5$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$OE=\sqrt{10}$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{10})^2}=\sqrt{15}$，
$\therefore AC=2AE=2\sqrt{15}$。
(2) 证明：$\because AB⊥ CD$，
$\therefore ∠ APC=∠ BPD=90°$，
$\therefore ∠ DPF+∠ BPF=90°$。
$\because E$是$AC$的中点，$△ APC$是直角三角形，
$\therefore EP=EC=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore ∠ EPC=∠ C$。
$\because ∠ EPC=∠ DPF$（对顶角相等），$∠ B=∠ C$（同弧所对圆周角相等），
$\therefore ∠ DPF=∠ B$，
$\therefore ∠ B+∠ BPF=90°$，
$\therefore ∠ BFP=180°-(∠ B+∠ BPF)=90°$，
$\therefore EF⊥ BD$。
【答案】
(1) $AC$的长为$2\sqrt{15}$；(2) 证明成立，$EF⊥ BD$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角性质
【点评】
本题第一问是圆的性质与勾股定理的基础结合题，难度较低；第二问需要综合运用直角三角形性质、圆周角性质完成角度转化，对逻辑推理能力有一定要求，属于圆章节的常规中档题。
【难度系数】
0.7
