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8.(2025·宿迁泗洪县期中)如图,AB是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,$∠ BOC=40°$,则$∠ A$的度数是
55
°。答案
8.55
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发：AB是直径，可得平角$∠ AOB=180°$，结合已知$∠ BOC$的度数先求出$∠ AOC$的度数；再根据“等弧所对的圆心角相等”，由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$推出$∠ AOD$是$∠ AOC$的一半，求出$∠ AOD$的度数；最后利用圆的半径相等得到$△ AOD$是等腰三角形，结合三角形内角和即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ BOC=40°$，
∴$∠ AOC=180° - ∠ BOC=180° - 40°=140°$，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×140°=70°$，
又
∵OA=OD（都是$\odot O$的半径），
∴$△ AOD$是等腰三角形，$∠ A=∠ ADO$，
∴$∠ A=\frac{180° - ∠ AOD}{2}=\frac{180° -70°}{2}=55°$。
【答案】
55
【知识点】
等弧对等圆心角；等腰三角形性质；圆的半径相等
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是将弧的等量关系转化为圆心角的等量关系，再结合等腰三角形的性质求解，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
解题时首先从已知条件出发：AB是直径，可得平角$∠ AOB=180°$，结合已知$∠ BOC$的度数先求出$∠ AOC$的度数；再根据“等弧所对的圆心角相等”，由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$推出$∠ AOD$是$∠ AOC$的一半，求出$∠ AOD$的度数；最后利用圆的半径相等得到$△ AOD$是等腰三角形，结合三角形内角和即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ BOC=40°$，
∴$∠ AOC=180° - ∠ BOC=180° - 40°=140°$，
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ AOD=∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×140°=70°$，
又
∵OA=OD（都是$\odot O$的半径），
∴$△ AOD$是等腰三角形，$∠ A=∠ ADO$，
∴$∠ A=\frac{180° - ∠ AOD}{2}=\frac{180° -70°}{2}=55°$。
【答案】
55
【知识点】
等弧对等圆心角；等腰三角形性质；圆的半径相等
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是将弧的等量关系转化为圆心角的等量关系，再结合等腰三角形的性质求解，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
9.如图，$\odot O$的半径为2，AB为直径，C，D是$\odot O$上两点，且$AD=DC=CB$，则四边形ABCD的面积为
$3\sqrt{3}$
.答案
9.$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件分析：AB是圆的直径，且弦AD=DC=CB，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可推出$\overset{\frown}{AD}、\overset{\frown}{DC}、\overset{\frown}{CB}$的度数相等，均为60°。此时连接OD、OC，可得到3个圆心角为60°的等腰三角形，也就是等边三角形，四边形ABCD的面积即可转化为这三个等边三角形的面积之和，代入公式计算即可。
【解析】
解：连接OD、OC。
∵$\odot O$的半径为2，
∴$OA=OD=OC=OB=2$。
∵AB为直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
∵$AD=DC=CB$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
∴$∠ AOD=∠ DOC=∠ COB=\frac{180°}{3}=60°$，
∴$△ AOD、△ DOC、△ COB$均为等边三角形。
单个等边三角形的面积：$S_{\mathrm{单}}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD的面积：$S_{ABCD}=3× \sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 弦弧圆心角的关系
2. 等边三角形判定与性质
3. 图形面积计算
【点评】
本题通过连接半径作辅助线，将不规则四边形的面积转化为规则等边三角形的面积和，体现了几何中的转化思想，能较好地考察学生对圆基本性质的掌握和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件分析：AB是圆的直径，且弦AD=DC=CB，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可推出$\overset{\frown}{AD}、\overset{\frown}{DC}、\overset{\frown}{CB}$的度数相等，均为60°。此时连接OD、OC，可得到3个圆心角为60°的等腰三角形，也就是等边三角形，四边形ABCD的面积即可转化为这三个等边三角形的面积之和，代入公式计算即可。
【解析】
解：连接OD、OC。
∵$\odot O$的半径为2，
∴$OA=OD=OC=OB=2$。
∵AB为直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
∵$AD=DC=CB$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
∴$∠ AOD=∠ DOC=∠ COB=\frac{180°}{3}=60°$，
∴$△ AOD、△ DOC、△ COB$均为等边三角形。
单个等边三角形的面积：$S_{\mathrm{单}}=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD的面积：$S_{ABCD}=3× \sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 弦弧圆心角的关系
2. 等边三角形判定与性质
3. 图形面积计算
【点评】
本题通过连接半径作辅助线，将不规则四边形的面积转化为规则等边三角形的面积和，体现了几何中的转化思想，能较好地考察学生对圆基本性质的掌握和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$\odot O$中，弦AB与CD相交于点H，AB=CD，连接AD，BC。求证：AH=CH。
第10题图
第10题图答案
10. 证明:$\because AB=CD$,
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}$,$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$,
$\therefore AD=BC$. 又$\because∠ ADH=∠ CBH$,$∠ A=∠ C$,
$\therefore△ ADH≌△ CBH(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AH=CH$.
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}$,$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$,
$\therefore AD=BC$. 又$\because∠ ADH=∠ CBH$,$∠ A=∠ C$,
$\therefore△ ADH≌△ CBH(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AH=CH$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB=CD入手，回忆同圆中弦与弧的关系：相等的弦所对的弧相等，由此可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；观察两条弧均包含公共部分$\overset{\frown}{AC}$，同时减去公共弧即可推出$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，进一步得到等弧对应的弦AD=BC。接下来要证AH=CH，可将两条线段放到$△ ADH$和$△ CBH$中，通过证明三角形全等得到对应边相等；再根据同弧所对的圆周角相等，得到两组对应角相等，结合已证的AD=BC，即可用ASA判定三角形全等，最终推出结论。
【解析】
证明：$\because AB=CD$，
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore AD=BC$。
又$\because∠ ADH=∠ CBH$，$∠ A=∠ C$，
$\therefore△ ADH≌△ CBH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AH=CH$。
【答案】
$AH=CH$
【知识点】
弦弧的对应关系；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础常考题，将圆的弦、弧、圆周角的对应关系和全等三角形的知识结合考查，解题关键是通过弦相等推导弧相等，再结合圆周角的性质找到全等的条件，难度不大，需要熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AB=CD入手，回忆同圆中弦与弧的关系：相等的弦所对的弧相等，由此可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；观察两条弧均包含公共部分$\overset{\frown}{AC}$，同时减去公共弧即可推出$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，进一步得到等弧对应的弦AD=BC。接下来要证AH=CH，可将两条线段放到$△ ADH$和$△ CBH$中，通过证明三角形全等得到对应边相等；再根据同弧所对的圆周角相等，得到两组对应角相等，结合已证的AD=BC，即可用ASA判定三角形全等，最终推出结论。
【解析】
证明：$\because AB=CD$，
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore AD=BC$。
又$\because∠ ADH=∠ CBH$，$∠ A=∠ C$，
$\therefore△ ADH≌△ CBH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AH=CH$。
【答案】
$AH=CH$
【知识点】
弦弧的对应关系；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆性质应用的基础常考题，将圆的弦、弧、圆周角的对应关系和全等三角形的知识结合考查，解题关键是通过弦相等推导弧相等，再结合圆周角的性质找到全等的条件，难度不大，需要熟练掌握圆的基本性质。
【难度系数】
0.7
11.如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB长为半径作$\odot A$,分别交AD,BC于点E,F,延长BA交$\odot A$于点G,连接GE,EF.求证:$GE=EF$. 
第11题图
第11题图答案
11. 证明:连接AF,如答图.
$\because AB=AF$,$\therefore∠ B=∠ AFB$.
$\because$在平行四边形ABCD中,$AD// BC$,
$\therefore∠ GAE=∠ B$,$∠ EAF=∠ AFB$,
$\therefore∠ GAE=∠ EAF$,$\therefore\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$,$\therefore GE=EF$.
解析
【分析】
要证明圆中两条弦$GE=EF$，根据圆的对称性相关性质：同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可将问题转化为证明两条弦对应的圆心角$∠ GAE=∠ EAF$。首先作辅助线连接$AF$，利用同圆半径相等可得$AB=AF$，推出$∠ B=∠ AFB$；再结合平行四边形$AD// BC$的性质，通过同位角、内错角的等量代换，即可推导出两个圆心角相等，进而得到对应弦相等。
【解析】
证明：连接$AF$，如答图。
$\because AB$、$AF$都是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AF$，$\therefore∠ B=∠ AFB$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore∠ GAE=∠ B$（两直线平行，同位角相等），$∠ EAF=∠ AFB$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore∠ GAE=∠ EAF$。
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，可得$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$，$\therefore GE=EF$。
【答案】
证明:连接AF,如答图.
$\because AB=AF$,$\therefore∠ B=∠ AFB$.
$\because$在平行四边形ABCD中,$AD// BC$,
$\therefore∠ GAE=∠ B$,$∠ EAF=∠ AFB$,
$\therefore∠ GAE=∠ EAF$,$\therefore\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$,$\therefore GE=EF$.
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形性质，圆心角弧弦的关系
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，将弦相等的证明转化为圆心角相等的证明，能帮助学生掌握几何中“等量转化”的解题思路。
【难度系数】
0.7
要证明圆中两条弦$GE=EF$，根据圆的对称性相关性质：同圆中相等的圆心角所对的弦相等，可将问题转化为证明两条弦对应的圆心角$∠ GAE=∠ EAF$。首先作辅助线连接$AF$，利用同圆半径相等可得$AB=AF$，推出$∠ B=∠ AFB$；再结合平行四边形$AD// BC$的性质，通过同位角、内错角的等量代换，即可推导出两个圆心角相等，进而得到对应弦相等。
【解析】
证明：连接$AF$，如答图。
$\because AB$、$AF$都是$\odot A$的半径，$\therefore AB=AF$，$\therefore∠ B=∠ AFB$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore∠ GAE=∠ B$（两直线平行，同位角相等），$∠ EAF=∠ AFB$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore∠ GAE=∠ EAF$。
根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等，可得$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$，$\therefore GE=EF$。
【答案】
证明:连接AF,如答图.
$\because AB=AF$,$\therefore∠ B=∠ AFB$.
$\because$在平行四边形ABCD中,$AD// BC$,
$\therefore∠ GAE=∠ B$,$∠ EAF=∠ AFB$,
$\therefore∠ GAE=∠ EAF$,$\therefore\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$,$\therefore GE=EF$.
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形性质，圆心角弧弦的关系
【点评】
本题是圆与平行四边形结合的基础综合题，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，将弦相等的证明转化为圆心角相等的证明，能帮助学生掌握几何中“等量转化”的解题思路。
【难度系数】
0.7
12.(2025·苏州高新区期末)如图，AB，AC是$\odot O$的弦，$AB=AC$，$OD$，$OE$是$\odot O$的半径，且$AB// OD$，$AC// OE$. 求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$.
答案
12. 证明:如答图,连接OA,OB,OC,则$OB=OC$.
在$△ AOB$和$△ AOC$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AO=AO,\\ BO=CO, \end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$,$\therefore∠ ABO=∠ ACO$.
$\because AB// OD$,$AC// OE$,$\therefore∠ ABO=∠ BOD$,$∠ COE=∠ ACO$,
$\therefore∠ BOD=∠ COE$,$\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$.
解析
【分析】
要证明同圆中两条弧相等，根据圆的对称性相关性质，同圆内相等的圆心角对应的弧相等，因此我们的目标是证明$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角$∠ BOD=∠ COE$。首先连接OA、OB、OC，利用已知AB=AC，结合圆的半径均相等的性质，可证明$△ AOB$和$△ AOC$全等，得到$∠ ABO=∠ ACO$；再结合AB//OD、AC//OE的平行线性质，通过内错角相等建立角的等量关系，即可推导出$∠ BOD=∠ COE$，进而得到两条弧相等。
【解析】
证明：如答图，连接OA，OB，OC，则OB=OC。
在$△ AOB$和$△ AOC$中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ AO=AO,\\ BO=CO, \end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$，$\therefore∠ ABO=∠ ACO$。
$\because AB// OD$，$AC// OE$，
$\therefore∠ ABO=∠ BOD$，$∠ COE=∠ ACO$，
$\therefore∠ BOD=∠ COE$，
$\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$。
【答案】
证明:如答图,连接OA,OB,OC,则$OB=OC$.
在$△ AOB$和$△ AOC$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AO=AO,\\ BO=CO, \end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$,$\therefore∠ ABO=∠ ACO$.
$\because AB// OD$,$AC// OE$,$\therefore∠ ABO=∠ BOD$,$∠ COE=∠ ACO$,
$\therefore∠ BOD=∠ COE$,$\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是掌握同圆中弧相等和圆心角相等的转化关系，通过连接半径构造全等三角形，结合平行线的性质即可完成证明，辅助线构造属于圆类证明题的常规考查方向。
【难度系数】
0.75
要证明同圆中两条弧相等，根据圆的对称性相关性质，同圆内相等的圆心角对应的弧相等，因此我们的目标是证明$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{CE}$对应的圆心角$∠ BOD=∠ COE$。首先连接OA、OB、OC，利用已知AB=AC，结合圆的半径均相等的性质，可证明$△ AOB$和$△ AOC$全等，得到$∠ ABO=∠ ACO$；再结合AB//OD、AC//OE的平行线性质，通过内错角相等建立角的等量关系，即可推导出$∠ BOD=∠ COE$，进而得到两条弧相等。
【解析】
证明：如答图，连接OA，OB，OC，则OB=OC。
在$△ AOB$和$△ AOC$中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ AO=AO,\\ BO=CO, \end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$，$\therefore∠ ABO=∠ ACO$。
$\because AB// OD$，$AC// OE$，
$\therefore∠ ABO=∠ BOD$，$∠ COE=∠ ACO$，
$\therefore∠ BOD=∠ COE$，
$\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$。
【答案】
证明:如答图,连接OA,OB,OC,则$OB=OC$.
在$△ AOB$和$△ AOC$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AO=AO,\\ BO=CO, \end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ AOC(\mathrm{SSS})$,$\therefore∠ ABO=∠ ACO$.
$\because AB// OD$,$AC// OE$,$\therefore∠ ABO=∠ BOD$,$∠ COE=∠ ACO$,
$\therefore∠ BOD=∠ COE$,$\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是掌握同圆中弧相等和圆心角相等的转化关系，通过连接半径构造全等三角形，结合平行线的性质即可完成证明，辅助线构造属于圆类证明题的常规考查方向。
【难度系数】
0.75
