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【例1】下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移变换，又能用旋转变换的是（选项C中，甲图为左上角的一个五角星，乙图为整个图形）（）
思路分析:由平移和旋转变换的特点可知，A能由旋转或轴对称得到；B只能由平移得到；C可由平移或旋转得到；D只能由旋转得到，故选C.
答案:C
【例2】如图28－1，有一块L形钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两部分，请你在图中画出分割痕迹.
思路分析:先通过割补法，把原图形转化为两个矩形(矩形是中心对称图形).因为过一个中心对称图形的对称中心的每一条直线都将这个中心对称图形分成面积相等的两部分，因此只要作一条直线，同时经过这两个矩形各自的对称中心，就可以将整个图形分成面积相等的两部分.
解:如图28－2①②③.
图28－2
点拨:本题提供三种方法把L形钢板转化为两个矩形(矩形是中心对称图形).其中图28－2①②是用“割”的方法，图28－2③是用“补”的方法.
思路分析:由平移和旋转变换的特点可知，A能由旋转或轴对称得到；B只能由平移得到；C可由平移或旋转得到；D只能由旋转得到，故选C.
答案:C
【例2】如图28－1，有一块L形钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两部分，请你在图中画出分割痕迹.
思路分析:先通过割补法，把原图形转化为两个矩形(矩形是中心对称图形).因为过一个中心对称图形的对称中心的每一条直线都将这个中心对称图形分成面积相等的两部分，因此只要作一条直线，同时经过这两个矩形各自的对称中心，就可以将整个图形分成面积相等的两部分.
解:如图28－2①②③.
图28－2
点拨:本题提供三种方法把L形钢板转化为两个矩形(矩形是中心对称图形).其中图28－2①②是用“割”的方法，图28－2③是用“补”的方法.
答案
解：
例1
根据平移、旋转变换的特征逐一判断：
1. 选项A：图形甲变换为图形乙，无法通过平移实现，仅可通过轴对称或旋转变换得到，不符合题意；
2. 选项B：图形甲变换为图形乙，无法通过旋转变换实现，仅可通过平移得到，不符合题意；
3. 选项C：甲为左上角的五角星，既可以通过多次平移得到完整的图形乙，也可以绕图形中心每次旋转72°得到图形乙，同时满足平移变换和旋转变换的要求，符合题意；
4. 选项D：图形甲变换为图形乙，无法通过平移实现，仅可通过旋转变换得到，不符合题意。
综上，本题答案为$\boldsymbol{C}$。
例2
矩形是中心对称图形，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形分成面积相等的两部分。
将L形钢板通过“割”或“补”的方式转化为两个矩形，分别确定两个矩形的对称中心，作同时经过这两个对称中心的直线，该直线即为所求的分割痕迹，共有3种符合要求的分割方式，对应图28-2中的①②③。
例1
根据平移、旋转变换的特征逐一判断：
1. 选项A：图形甲变换为图形乙，无法通过平移实现，仅可通过轴对称或旋转变换得到，不符合题意；
2. 选项B：图形甲变换为图形乙，无法通过旋转变换实现，仅可通过平移得到，不符合题意；
3. 选项C：甲为左上角的五角星，既可以通过多次平移得到完整的图形乙，也可以绕图形中心每次旋转72°得到图形乙，同时满足平移变换和旋转变换的要求，符合题意；
4. 选项D：图形甲变换为图形乙，无法通过平移实现，仅可通过旋转变换得到，不符合题意。
综上，本题答案为$\boldsymbol{C}$。
例2
矩形是中心对称图形，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形分成面积相等的两部分。
将L形钢板通过“割”或“补”的方式转化为两个矩形，分别确定两个矩形的对称中心，作同时经过这两个对称中心的直线，该直线即为所求的分割痕迹，共有3种符合要求的分割方式，对应图28-2中的①②③。
解析
【分析】
例1解题思路：先明确平移、旋转变换的核心特征：平移仅改变图形位置，不改变图形的方向；旋转是绕定点转动一定角度，不改变图形的形状和大小，方向可发生改变。解题时逐一分析各选项是否同时满足两种变换的要求，即可选出正确答案。
例2解题思路：先回忆中心对称图形的性质：过中心对称图形对称中心的任意直线，都能将图形分成面积相等的两部分，矩形属于中心对称图形。解题时通过“割”或“补”的方法，将不规则的L形钢板转化为两个矩形，分别找到两个矩形的对称中心，过这两个中心作直线，就能将整个L形分成面积相等的两部分。
【解析】
例1解析
根据平移、旋转变换的特征逐一判断：
1. 选项A：图形甲变换为图形乙，无法通过平移实现，仅可通过轴对称或旋转变换得到，不符合题意；
2. 选项B：图形甲变换为图形乙，无法通过旋转变换实现，仅可通过平移得到，不符合题意；
3. 选项C：甲为左上角的五角星，既可以通过多次平移得到完整的图形乙，也可以绕图形中心每次旋转72°得到图形乙，同时满足平移变换和旋转变换的要求，符合题意；
4. 选项D：图形甲变换为图形乙，无法通过平移实现，仅可通过旋转变换得到，不符合题意。
例2解析
矩形是中心对称图形，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形分成面积相等的两部分。将L形钢板通过“割”或“补”的方式转化为两个矩形，分别确定两个矩形的对称中心，作同时经过这两个对称中心的直线，该直线即为所求的分割痕迹，共有3种符合要求的分割方式，对应图28-2中的①②③。
【答案】
例1：$\boldsymbol{C}$；例2：共3种分割方法，均为同时过割/补得到的两个矩形的对称中心的直线，对应图28-2①②③
【知识点】
平移与旋转变换；中心对称图形性质；图形割补法
【点评】
两道题均为图形变换相关知识的典型应用，例1侧重平移、旋转的概念辨析，帮助学生厘清不同变换的核心特征；例2侧重不规则图形转化为规则图形的思维训练，能够有效提升学生运用几何性质解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
例1解题思路：先明确平移、旋转变换的核心特征：平移仅改变图形位置，不改变图形的方向；旋转是绕定点转动一定角度，不改变图形的形状和大小，方向可发生改变。解题时逐一分析各选项是否同时满足两种变换的要求，即可选出正确答案。
例2解题思路：先回忆中心对称图形的性质：过中心对称图形对称中心的任意直线，都能将图形分成面积相等的两部分，矩形属于中心对称图形。解题时通过“割”或“补”的方法，将不规则的L形钢板转化为两个矩形，分别找到两个矩形的对称中心，过这两个中心作直线，就能将整个L形分成面积相等的两部分。
【解析】
例1解析
根据平移、旋转变换的特征逐一判断：
1. 选项A：图形甲变换为图形乙，无法通过平移实现，仅可通过轴对称或旋转变换得到，不符合题意；
2. 选项B：图形甲变换为图形乙，无法通过旋转变换实现，仅可通过平移得到，不符合题意；
3. 选项C：甲为左上角的五角星，既可以通过多次平移得到完整的图形乙，也可以绕图形中心每次旋转72°得到图形乙，同时满足平移变换和旋转变换的要求，符合题意；
4. 选项D：图形甲变换为图形乙，无法通过平移实现，仅可通过旋转变换得到，不符合题意。
例2解析
矩形是中心对称图形，过中心对称图形对称中心的任意直线都能将该图形分成面积相等的两部分。将L形钢板通过“割”或“补”的方式转化为两个矩形，分别确定两个矩形的对称中心，作同时经过这两个对称中心的直线，该直线即为所求的分割痕迹，共有3种符合要求的分割方式，对应图28-2中的①②③。
【答案】
例1：$\boldsymbol{C}$；例2：共3种分割方法，均为同时过割/补得到的两个矩形的对称中心的直线，对应图28-2①②③
【知识点】
平移与旋转变换；中心对称图形性质；图形割补法
【点评】
两道题均为图形变换相关知识的典型应用，例1侧重平移、旋转的概念辨析，帮助学生厘清不同变换的核心特征；例2侧重不规则图形转化为规则图形的思维训练，能够有效提升学生运用几何性质解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
【例3】如图28－3①，已知△ABC的面积为6，且点A(1,0)、B(0,3)，点C在x轴的负半轴上.
(1)求点C的坐标；
(2)若△AB₁C₁与△ABC关于点A对称，请画出△AB₁C₁，并求出点B的对称点B₁的坐标.
思路分析:由于A,C两点在x轴上,故根据以AC为底,OB为高的△ABC的面积列方程求点C的坐标.
图28－3
解:(1)设点C的坐标为(a,0),则AC=1−a.
∵S△ABC＝6，
∴$\frac{1}{2}×(1−a)×3＝6$，
∴a＝−3,故点C的坐标为(−3,0).
(2)如图28－3②,△AB₁C₁即为所求.
方法一:过B₁作B₁D⊥AC₁于点D.
∵B,B₁关于点A对称,∴AB=AB₁.
又∵∠BOA＝∠B₁DA＝90°,∠BAO＝∠B₁AD,
∴△AOB≌△ADB₁,
∴AD＝OA＝1,DB₁＝OB＝3,
∴OD＝2,∴点B₁的坐标为(2,−3).
方法二:将y轴向右平移1个单位长度,则点A即为坐标原点.
则点B的坐标为(−1,3),∴点B₁的坐标为(1,−3).
∵AO＝1,∴在原坐标系中,点B关于点A的对称点B₁的坐标为(2,−3).
点拨:本题中出现了关于非原点对称的问题,以上给出了两种解决方案:①证明三角形全等得出所求点到两坐标轴的距离;②平移坐标轴,将对称中心变为坐标原点,先利用“关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数”得出所求点在新坐标系下的坐标,再得出所求点在原坐标系下的坐标.
(1)求点C的坐标；
(2)若△AB₁C₁与△ABC关于点A对称，请画出△AB₁C₁，并求出点B的对称点B₁的坐标.
思路分析:由于A,C两点在x轴上,故根据以AC为底,OB为高的△ABC的面积列方程求点C的坐标.
图28－3
解:(1)设点C的坐标为(a,0),则AC=1−a.
∵S△ABC＝6，
∴$\frac{1}{2}×(1−a)×3＝6$，
∴a＝−3,故点C的坐标为(−3,0).
(2)如图28－3②,△AB₁C₁即为所求.
方法一:过B₁作B₁D⊥AC₁于点D.
∵B,B₁关于点A对称,∴AB=AB₁.
又∵∠BOA＝∠B₁DA＝90°,∠BAO＝∠B₁AD,
∴△AOB≌△ADB₁,
∴AD＝OA＝1,DB₁＝OB＝3,
∴OD＝2,∴点B₁的坐标为(2,−3).
方法二:将y轴向右平移1个单位长度,则点A即为坐标原点.
则点B的坐标为(−1,3),∴点B₁的坐标为(1,−3).
∵AO＝1,∴在原坐标系中,点B关于点A的对称点B₁的坐标为(2,−3).
点拨:本题中出现了关于非原点对称的问题,以上给出了两种解决方案:①证明三角形全等得出所求点到两坐标轴的距离;②平移坐标轴,将对称中心变为坐标原点,先利用“关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数”得出所求点在新坐标系下的坐标,再得出所求点在原坐标系下的坐标.
答案
解：(1) 设点C的坐标为$(a,0)$，
$\because$ 点C在x轴负半轴上，
$\therefore AC=1-a$，$△ ABC$中AC边上的高为$OB=3$。
$\because S_{△ ABC}=6$，
$\therefore \frac{1}{2} × (1-a) × 3 = 6$，
解得$a=-3$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(-3,0)$。
(2) 如图28-3②，$△ AB_1C_1$即为所求作的三角形。
过点$B_1$作$B_1D ⊥ x$轴于点D。
$\because △ AB_1C_1$与$△ ABC$关于点A对称，
$\therefore AB=AB_1$。
在$△ AOB$和$△ ADB_1$中：
$\begin{cases}∠ BOA = ∠ B_1DA = 90° \\∠ BAO = ∠ B_1AD \\AB = AB_1\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ ADB_1 \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=OA=1$，$DB_1=OB=3$，
$\therefore OD=OA+AD=2$，
结合点$B_1$在第四象限，可得点$B_1$的坐标为$(2,-3)$。
$\because$ 点C在x轴负半轴上，
$\therefore AC=1-a$，$△ ABC$中AC边上的高为$OB=3$。
$\because S_{△ ABC}=6$，
$\therefore \frac{1}{2} × (1-a) × 3 = 6$，
解得$a=-3$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(-3,0)$。
(2) 如图28-3②，$△ AB_1C_1$即为所求作的三角形。
过点$B_1$作$B_1D ⊥ x$轴于点D。
$\because △ AB_1C_1$与$△ ABC$关于点A对称，
$\therefore AB=AB_1$。
在$△ AOB$和$△ ADB_1$中：
$\begin{cases}∠ BOA = ∠ B_1DA = 90° \\∠ BAO = ∠ B_1AD \\AB = AB_1\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ ADB_1 \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=OA=1$，$DB_1=OB=3$，
$\therefore OD=OA+AD=2$，
结合点$B_1$在第四象限，可得点$B_1$的坐标为$(2,-3)$。
解析
【分析】
第(1)问：点A、C均在x轴上，△ABC中AC边上的高为点B到x轴的距离即OB的长度，我们先设点C的坐标为$(a,0)$，表示出AC的长度后，代入三角形面积公式列方程求解，即可得到a的值，确定点C的坐标。
第(2)问：△AB₁C₁与△ABC关于点A对称，说明点A是对应点连线的中点，要求点B的对称点B₁的坐标，我们可以过B₁作x轴的垂线构造全等三角形，利用中心对称对应线段相等的性质证明两个直角三角形全等，得到对应边的长度，再结合B₁所在的象限，就能确定B₁的坐标。
【解析】
(1) 设点C的坐标为$(a,0)$，
$\because$ 点C在x轴负半轴上，
$\therefore AC=1-a$，$△ ABC$中AC边上的高为$OB=3$。
$\because S_{△ ABC}=6$，
$\therefore \frac{1}{2} × (1-a) × 3 = 6$，
解得$a=-3$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(-3,0)$。
(2) 如图28-3②，$△ AB_1C_1$即为所求作的三角形。
过点$B_1$作$B_1D ⊥ x$轴于点D。
$\because △ AB_1C_1$与$△ ABC$关于点A对称，
$\therefore AB=AB_1$。
在$△ AOB$和$△ ADB_1$中：
$\begin{cases}∠ BOA = ∠ B_1DA = 90° \\∠ BAO = ∠ B_1AD \\AB = AB_1\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ ADB_1 \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=OA=1$，$DB_1=OB=3$，
$\therefore OD=OA+AD=2$，
结合点$B_1$在第四象限，可得点$B_1$的坐标为$(2,-3)$。
【答案】
(1) $C(-3,0)$；(2) $△AB_1C_1$如图28-3②所示，$B_1(2,-3)$
【知识点】
三角形面积计算，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何知识的综合基础题，解题核心是找准三角形的底和高求解点坐标，以及利用中心对称的性质结合全等推导对称点坐标，解题方法灵活，能锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问：点A、C均在x轴上，△ABC中AC边上的高为点B到x轴的距离即OB的长度，我们先设点C的坐标为$(a,0)$，表示出AC的长度后，代入三角形面积公式列方程求解，即可得到a的值，确定点C的坐标。
第(2)问：△AB₁C₁与△ABC关于点A对称，说明点A是对应点连线的中点，要求点B的对称点B₁的坐标，我们可以过B₁作x轴的垂线构造全等三角形，利用中心对称对应线段相等的性质证明两个直角三角形全等，得到对应边的长度，再结合B₁所在的象限，就能确定B₁的坐标。
【解析】
(1) 设点C的坐标为$(a,0)$，
$\because$ 点C在x轴负半轴上，
$\therefore AC=1-a$，$△ ABC$中AC边上的高为$OB=3$。
$\because S_{△ ABC}=6$，
$\therefore \frac{1}{2} × (1-a) × 3 = 6$，
解得$a=-3$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(-3,0)$。
(2) 如图28-3②，$△ AB_1C_1$即为所求作的三角形。
过点$B_1$作$B_1D ⊥ x$轴于点D。
$\because △ AB_1C_1$与$△ ABC$关于点A对称，
$\therefore AB=AB_1$。
在$△ AOB$和$△ ADB_1$中：
$\begin{cases}∠ BOA = ∠ B_1DA = 90° \\∠ BAO = ∠ B_1AD \\AB = AB_1\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ ADB_1 \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=OA=1$，$DB_1=OB=3$，
$\therefore OD=OA+AD=2$，
结合点$B_1$在第四象限，可得点$B_1$的坐标为$(2,-3)$。
【答案】
(1) $C(-3,0)$；(2) $△AB_1C_1$如图28-3②所示，$B_1(2,-3)$
【知识点】
三角形面积计算，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何知识的综合基础题，解题核心是找准三角形的底和高求解点坐标，以及利用中心对称的性质结合全等推导对称点坐标，解题方法灵活，能锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
