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1.计算 $a^3 · a^4$ 的结果是（
A.$2a^7$
B.$a^7$
C.$2a^4$
D.$a^{12}$
B
）.A.$2a^7$
B.$a^7$
C.$2a^4$
D.$a^{12}$
答案
1.B
解析
【分析】
拿到这道题首先观察算式特征：两个相乘的项都是底数为a的幂，属于同底数幂的乘法运算。首先回忆同底数幂乘法的运算法则：底数不变，指数相加；其次注意两个项的系数均为1，相乘后系数仍为1，不会出现系数为2的情况，同时要注意不要把同底数幂的指数相加和幂的乘方的指数相乘混淆，按照法则计算即可得到正确结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
计算过程如下：
$a^3 · a^4 = a^{3+4} = a^7$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础题，主要考查对同底数幂乘法法则的掌握，解题时需注意区分不同幂运算的运算法则，避免将指数的运算规则记错。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先观察算式特征：两个相乘的项都是底数为a的幂，属于同底数幂的乘法运算。首先回忆同底数幂乘法的运算法则：底数不变，指数相加；其次注意两个项的系数均为1，相乘后系数仍为1，不会出现系数为2的情况，同时要注意不要把同底数幂的指数相加和幂的乘方的指数相乘混淆，按照法则计算即可得到正确结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
计算过程如下：
$a^3 · a^4 = a^{3+4} = a^7$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础题，主要考查对同底数幂乘法法则的掌握，解题时需注意区分不同幂运算的运算法则，避免将指数的运算规则记错。
【难度系数】
0.9
2.下列运算正确的是(
A.$a+b=ab$
B.$2a^2 - 2a = a$
C.$2(a+5)=2a+10$
D.$x^3 · x^2 = x^6$
C
).A.$a+b=ab$
B.$2a^2 - 2a = a$
C.$2(a+5)=2a+10$
D.$x^3 · x^2 = x^6$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查整式相关运算的正误判断，解题时需结合各类整式运算的法则逐个分析选项，排除错误选项即可得到答案。思考时要明确三个核心规则：①只有所含字母相同、且相同字母的指数也相同的同类项才可以合并；②去括号时要遵循乘法分配律，括号外的系数要乘括号内的每一项；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对照规则逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：a和b所含字母不同，不是同类项，无法合并，所以$a+b≠ab$，该选项运算错误；
B选项：$2a^2$和$-2a$中a的指数分别为2和1，不是同类项，无法合并，该选项运算错误；
C选项：根据乘法分配律，$2(a+5)=2× a + 2×5=2a+10$，该选项运算正确；
D选项：根据同底数幂的乘法法则，$x^3 · x^2 = x^{3+2}=x^5≠x^6$，该选项运算错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；乘法分配律；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查整式运算的基础法则，易错点是混淆同底数幂乘法的指数运算规则、对同类项的概念理解不到位导致非同类项强行合并，熟练掌握基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查整式相关运算的正误判断，解题时需结合各类整式运算的法则逐个分析选项，排除错误选项即可得到答案。思考时要明确三个核心规则：①只有所含字母相同、且相同字母的指数也相同的同类项才可以合并；②去括号时要遵循乘法分配律，括号外的系数要乘括号内的每一项；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对照规则逐一验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：a和b所含字母不同，不是同类项，无法合并，所以$a+b≠ab$，该选项运算错误；
B选项：$2a^2$和$-2a$中a的指数分别为2和1，不是同类项，无法合并，该选项运算错误；
C选项：根据乘法分配律，$2(a+5)=2× a + 2×5=2a+10$，该选项运算正确；
D选项：根据同底数幂的乘法法则，$x^3 · x^2 = x^{3+2}=x^5≠x^6$，该选项运算错误。
综上，运算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；乘法分配律；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查整式运算的基础法则，易错点是混淆同底数幂乘法的指数运算规则、对同类项的概念理解不到位导致非同类项强行合并，熟练掌握基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3.若$(7×10^{6})×(5×10^{5})×(2×10)=a×10^{n}$，则$a$，$n$的值分别为(
A.$a=7,n=11$
B.$a=5,n=12$
C.$a=7,n=13$
D.$a=2,n=13$
C
)。A.$a=7,n=11$
B.$a=5,n=12$
C.$a=7,n=13$
D.$a=2,n=13$
答案
3.C
解析
【分析】
本题可利用乘法交换律和结合律，将常数项与含10的幂的项分别归类计算，再结合同底数幂的乘法法则和科学记数法的规范求解。第一步先计算所有常数项的乘积，第二步计算同底数幂相乘的结果，第三步将前两步的乘积调整为科学记数法的标准形式（$1≤a＜10$），即可得到$a$和$n$的值，匹配选项即可。
【解析】
根据乘法交换律和结合律对原式变形：
原式=$(7×5×2)×(10^6×10^5×10^1)$
①计算常数项乘积：$7×5×2=70$
②计算同底数幂的乘积：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$10^6×10^5×10^1=10^{6+5+1}=10^{12}$
③将两部分结果合并并调整为科学记数法标准形式：
$70×10^{12}=7×10^1×10^{12}=7×10^{13}$
因此$a=7$，$n=13$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法，科学记数法，乘法运算律
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题核心是掌握同底数幂的运算法则，同时要注意科学记数法的规范要求，即$a$的取值范围必须满足$1≤a＜10$，计算常数项乘积后不要忘记调整指数，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题可利用乘法交换律和结合律，将常数项与含10的幂的项分别归类计算，再结合同底数幂的乘法法则和科学记数法的规范求解。第一步先计算所有常数项的乘积，第二步计算同底数幂相乘的结果，第三步将前两步的乘积调整为科学记数法的标准形式（$1≤a＜10$），即可得到$a$和$n$的值，匹配选项即可。
【解析】
根据乘法交换律和结合律对原式变形：
原式=$(7×5×2)×(10^6×10^5×10^1)$
①计算常数项乘积：$7×5×2=70$
②计算同底数幂的乘积：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$10^6×10^5×10^1=10^{6+5+1}=10^{12}$
③将两部分结果合并并调整为科学记数法标准形式：
$70×10^{12}=7×10^1×10^{12}=7×10^{13}$
因此$a=7$，$n=13$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法，科学记数法，乘法运算律
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题核心是掌握同底数幂的运算法则，同时要注意科学记数法的规范要求，即$a$的取值范围必须满足$1≤a＜10$，计算常数项乘积后不要忘记调整指数，避免出错。
【难度系数】
0.7
4.计算$(\underbrace{m+m+\dots+m}_{m个})+(\underbrace{n× n×\dots× n}_{n个})$的结果是(
A.$m^2 + n^n$
B.$m^3 + n^2$
C.$m^m + n^2$
D.$m^2 + n^2$
A
).A.$m^2 + n^n$
B.$m^3 + n^2$
C.$m^m + n^2$
D.$m^2 + n^2$
答案
4.A
解析
【分析】
解题思路：首先将原式拆分为两个部分分别计算，第一部分是m个m相加，根据乘法的意义，求几个相同加数的和可以用乘法简便运算；第二部分是n个n相乘，根据乘方的定义，求几个相同因数的积的运算叫做乘方，分别计算两部分的结果后再相加，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：先计算第一部分：$\underbrace{m+m+\dots+m}_{m个}$表示m个相同的加数m相加，根据乘法的意义可得：
$\underbrace{m+m+\dots+m}_{m个}=m× m=m^2$
再计算第二部分：$\underbrace{n× n×\dots× n}_{n个}$表示n个相同的因数n相乘，根据乘方的定义可得：
$\underbrace{n× n×\dots× n}_{n个}=n^n$
将两部分结果相加，原式$=m^2 + n^n$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义，乘方的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分相同数相加和相同数相乘的运算规则，避免混淆乘法和乘方的概念即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先将原式拆分为两个部分分别计算，第一部分是m个m相加，根据乘法的意义，求几个相同加数的和可以用乘法简便运算；第二部分是n个n相乘，根据乘方的定义，求几个相同因数的积的运算叫做乘方，分别计算两部分的结果后再相加，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：先计算第一部分：$\underbrace{m+m+\dots+m}_{m个}$表示m个相同的加数m相加，根据乘法的意义可得：
$\underbrace{m+m+\dots+m}_{m个}=m× m=m^2$
再计算第二部分：$\underbrace{n× n×\dots× n}_{n个}$表示n个相同的因数n相乘，根据乘方的定义可得：
$\underbrace{n× n×\dots× n}_{n个}=n^n$
将两部分结果相加，原式$=m^2 + n^n$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义，乘方的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分相同数相加和相同数相乘的运算规则，避免混淆乘法和乘方的概念即可正确求解。
【难度系数】
0.8
5.下列运算正确的是(
A.$a^2 · a^3 = a^5$
B.$a^2 + a^4 = a^6$
C.$-a^4 · (-a)^3 = (-a)^7$
D.$-a^4 · a^3 = -a^{12}$
A
).A.$a^2 · a^3 = a^5$
B.$a^2 + a^4 = a^6$
C.$-a^4 · (-a)^3 = (-a)^7$
D.$-a^4 · a^3 = -a^{12}$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查幂的运算及整式加减的相关规则，解题思路如下：首先明确核心规则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②只有所含字母相同、且相同字母的指数也相同的同类项才能合并；③负数的奇次幂为负，偶次幂为正。随后逐一用对应规则验证每个选项的运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，运算正确。
选项B：$a^2$和$a^4$中相同字母$a$的指数不同，不是同类项，不能直接合并相加，运算错误。
选项C：先化简$(-a)^3=-a^3$，则左边$-a^4· (-a)^3=-a^4· (-a^3)=a^{4+3}=a^7$；右边$(-a)^7=-a^7$，左右两边不相等，运算错误。
选项D：根据同底数幂的乘法法则，$-a^4· a^3=-a^{4+3}=-a^7≠ -a^{12}$，运算错误。
综上，只有A选项运算正确。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、同类项的判断、幂的符号运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查对基础运算法则的掌握程度，易错点在于混淆同底数幂乘法的指数运算规则、误将非同类项合并、计算带负号的幂时符号判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算及整式加减的相关规则，解题思路如下：首先明确核心规则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②只有所含字母相同、且相同字母的指数也相同的同类项才能合并；③负数的奇次幂为负，偶次幂为正。随后逐一用对应规则验证每个选项的运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，运算正确。
选项B：$a^2$和$a^4$中相同字母$a$的指数不同，不是同类项，不能直接合并相加，运算错误。
选项C：先化简$(-a)^3=-a^3$，则左边$-a^4· (-a)^3=-a^4· (-a^3)=a^{4+3}=a^7$；右边$(-a)^7=-a^7$，左右两边不相等，运算错误。
选项D：根据同底数幂的乘法法则，$-a^4· a^3=-a^{4+3}=-a^7≠ -a^{12}$，运算错误。
综上，只有A选项运算正确。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、同类项的判断、幂的符号运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，重点考查对基础运算法则的掌握程度，易错点在于混淆同底数幂乘法的指数运算规则、误将非同类项合并、计算带负号的幂时符号判断错误。
【难度系数】
0.8
6.计算.
(1) $(-x^2) · x^4 + (-x^2)^3$.
(2) $(a-b)^2 · (b-a)^3 · (a-b)$.
(1) $(-x^2) · x^4 + (-x^2)^3$.
(2) $(a-b)^2 · (b-a)^3 · (a-b)$.
答案
6.(1)$-2x^{6}$．
(2)$-(a-b)^{6}$．
(2)$-(a-b)^{6}$．
解析
【分析】
(1) 本题需分两步计算两个幂运算项，再合并同类项。首先计算单项式乘法，遵循同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；再计算积的乘方与幂的乘方，注意负数奇次幂的符号为负，幂的乘方遵循底数不变、指数相乘的法则，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 本题底数不统一，首先根据互为相反数的奇次幂仍互为相反数，将$(b-a)^3$转化为$-(a-b)^3$，统一底数为$(a-b)$，再按照同底数幂的乘法法则计算，运算过程中注意不要遗漏负号。
【解析】
(1) 计算$(-x^2) · x^4 + (-x^2)^3$：
$\begin{aligned}原式&=-x^{2+4} + (-1)^3·(x^2)^3\\&=-x^6 + (-1)· x^{2×3}\\&=-x^6 -x^6\\&=-2x^6\end{aligned}$
(2) 计算$(a-b)^2 · (b-a)^3 · (a-b)$：
$\begin{aligned}原式&=(a-b)^2·[-(a-b)^3]·(a-b)\\&=-(a-b)^{2+3+1}\\&=-(a-b)^6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x^6}$；(2) $\boldsymbol{-(a-b)^6}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查幂的运算法则的应用，解题的关键是注意运算顺序和符号的处理，尤其是底数互为相反数时的幂的转化，是后续整式运算的重要基础。
【难度系数】
0.75
(1) 本题需分两步计算两个幂运算项，再合并同类项。首先计算单项式乘法，遵循同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；再计算积的乘方与幂的乘方，注意负数奇次幂的符号为负，幂的乘方遵循底数不变、指数相乘的法则，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 本题底数不统一，首先根据互为相反数的奇次幂仍互为相反数，将$(b-a)^3$转化为$-(a-b)^3$，统一底数为$(a-b)$，再按照同底数幂的乘法法则计算，运算过程中注意不要遗漏负号。
【解析】
(1) 计算$(-x^2) · x^4 + (-x^2)^3$：
$\begin{aligned}原式&=-x^{2+4} + (-1)^3·(x^2)^3\\&=-x^6 + (-1)· x^{2×3}\\&=-x^6 -x^6\\&=-2x^6\end{aligned}$
(2) 计算$(a-b)^2 · (b-a)^3 · (a-b)$：
$\begin{aligned}原式&=(a-b)^2·[-(a-b)^3]·(a-b)\\&=-(a-b)^{2+3+1}\\&=-(a-b)^6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x^6}$；(2) $\boldsymbol{-(a-b)^6}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础常考题，核心考查幂的运算法则的应用，解题的关键是注意运算顺序和符号的处理，尤其是底数互为相反数时的幂的转化，是后续整式运算的重要基础。
【难度系数】
0.75
7.已知$x^a=4$，$x^b=9$，求$x^{a+b}$的值。
答案
7.$\because x^a=4,x^b=9$，
$\therefore x^a · x^b=4×9=36$，
$\therefore x^{a+b}=x^a · x^b=36$。
$\therefore x^a · x^b=4×9=36$，
$\therefore x^{a+b}=x^a · x^b=36$。
解析
【分析】
解题时先观察所求式子$x^{a+b}$的指数为$a$与$b$的和，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$x^m · x^n = x^{m+n}$。我们可以逆用该法则，将$x^{a+b}$转化为$x^a · x^b$的形式，再代入已知的$x^a$、$x^b$的数值计算即可。
【解析】
$\because x^a=4$，$x^b=9$，
$\therefore x^a · x^b=4×9=36$，
$\therefore x^{a+b}=x^a · x^b=36$。
【答案】
$36$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的运算法则逆用
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对同底数幂乘法法则的灵活运用，熟练掌握各类幂的运算法则及其逆用，就能快速解答这类问题。
【难度系数】
0.9
解题时先观察所求式子$x^{a+b}$的指数为$a$与$b$的和，可联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$x^m · x^n = x^{m+n}$。我们可以逆用该法则，将$x^{a+b}$转化为$x^a · x^b$的形式，再代入已知的$x^a$、$x^b$的数值计算即可。
【解析】
$\because x^a=4$，$x^b=9$，
$\therefore x^a · x^b=4×9=36$，
$\therefore x^{a+b}=x^a · x^b=36$。
【答案】
$36$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的运算法则逆用
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对同底数幂乘法法则的灵活运用，熟练掌握各类幂的运算法则及其逆用，就能快速解答这类问题。
【难度系数】
0.9
