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7.如图,在$8×8$的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一格点$△ ABC$(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出$△ ABC$关于直线$l$对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$.(要求:$A_{1}$与$A,B_{1}$与$B,C$与$C_{1}$相对应)
(2)若有一格点$P$到点$A,B$的距离相等($PA=PB$),则网格中满足条件的点$P$共有
(3)在直线$l$上找一点$Q$,使$QB+QC$的值最小.
(1)在图中作出$△ ABC$关于直线$l$对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$.(要求:$A_{1}$与$A,B_{1}$与$B,C$与$C_{1}$相对应)
(2)若有一格点$P$到点$A,B$的距离相等($PA=PB$),则网格中满足条件的点$P$共有
4
个.(3)在直线$l$上找一点$Q$,使$QB+QC$的值最小.
答案
7.(1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
(2)4
(3)如图,点 Q 即为所求.
解析
【分析】
(1) 作轴对称图形的核心是找顶点的对称点：分别过△ABC的三个顶点向直线l作垂线并延长相同长度，得到对应对称点，再顺次连接对称点即可得到对称图形。
(2) 到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，因此只需画出AB的垂直平分线，数出线上的格点个数即可。
(3) 求直线上一点到两点距离和最小，利用轴对称性质，将其中一个点转化为关于直线l的对称点，连接对称点与另一个点，与直线l的交点即为所求，依据是两点之间线段最短。
【解析】
(1) ①找对称点：点A在直线l上，故其对称点A₁与A重合；数出点B到直线l的水平距离为4格，在直线l右侧距离l4格、与B同一水平线的位置得到B₁；点C到直线l的水平距离为1格，在直线l右侧距离l1格、与C同一水平线的位置得到C₁；②顺次连接A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，画出线段AB的垂直平分线，观察可得该线上的格点共有4个，故满足PA=PB的格点P共有4个。
(3) 由轴对称的性质可知，点B关于直线l的对称点为B₁，因此QB=QB₁，那么QB+QC=QB₁+QC。根据两点之间线段最短，当B₁、Q、C三点共线时，QB₁+QC的值最小，因此连接B₁C，B₁C与直线l的交点即为所求的点Q。
【答案】
(1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
(2)4
(3)如图,点 Q 即为所求.
【知识点】
轴对称作图，垂直平分线的性质，最短路径问题
【点评】
本题以网格为背景，综合考查了轴对称的作图与性质应用，涉及垂直平分线的判定、最短路径求解等内容，是轴对称相关知识的典型基础应用题，注重对作图能力和性质理解的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 作轴对称图形的核心是找顶点的对称点：分别过△ABC的三个顶点向直线l作垂线并延长相同长度，得到对应对称点，再顺次连接对称点即可得到对称图形。
(2) 到A、B距离相等的点在AB的垂直平分线上，因此只需画出AB的垂直平分线，数出线上的格点个数即可。
(3) 求直线上一点到两点距离和最小，利用轴对称性质，将其中一个点转化为关于直线l的对称点，连接对称点与另一个点，与直线l的交点即为所求，依据是两点之间线段最短。
【解析】
(1) ①找对称点：点A在直线l上，故其对称点A₁与A重合；数出点B到直线l的水平距离为4格，在直线l右侧距离l4格、与B同一水平线的位置得到B₁；点C到直线l的水平距离为1格，在直线l右侧距离l1格、与C同一水平线的位置得到C₁；②顺次连接A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，画出线段AB的垂直平分线，观察可得该线上的格点共有4个，故满足PA=PB的格点P共有4个。
(3) 由轴对称的性质可知，点B关于直线l的对称点为B₁，因此QB=QB₁，那么QB+QC=QB₁+QC。根据两点之间线段最短，当B₁、Q、C三点共线时，QB₁+QC的值最小，因此连接B₁C，B₁C与直线l的交点即为所求的点Q。
【答案】
(1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
(2)4
(3)如图,点 Q 即为所求.
【知识点】
轴对称作图，垂直平分线的性质，最短路径问题
【点评】
本题以网格为背景，综合考查了轴对称的作图与性质应用，涉及垂直平分线的判定、最短路径求解等内容，是轴对称相关知识的典型基础应用题，注重对作图能力和性质理解的考查。
【难度系数】
0.7
8.如图，若$∠ AOB＝46°$，P为$∠ AOB$内一定点，动点M在OA上，动点N在OB上，当$△ PMN$的周长取最小值时，$∠ MPN$的度数为
88°
。答案
8.88°
解析
【分析】
要使△PMN的周长最小，需用到最短路径问题的常规解法：作定点P关于OA、OB的对称点，借助轴对称的性质，将△PMN的三边长度之和转化为两点之间的线段长度，此时线段与OA、OB的交点就是周长最小时的动点M、N的位置。再结合轴对称的对应角相等、四边形内角和等性质，就能推导得出∠MPN的度数。
【解析】
1. 分别作点P关于OA的对称点$P_1$，关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M、交OB于点N，此时△PMN的周长最小，最小值为线段$P_1P_2$的长度。
2. 根据轴对称的性质可得：OA垂直平分$PP_1$，OB垂直平分$PP_2$，因此$∠ P_1=∠ MPP_1$，$∠ P_2=∠ NPP_2$；同时对称轴与对称点连线垂直，可得$PP_1⊥ OA$、$PP_2⊥ OB$，即两个夹角为90°。
3. 在四边形$OPP_1P_2$中，内角和为360°，因此$∠ P_1PP_2=360°-90°-90°-∠ AOB=360°-180°-46°=134°$。
4. 在$△ P_1P_2P$中，$∠ P_1+∠ P_2=180°-∠ P_1PP_2=180°-134°=46°$。
5. 因此$∠ MPN=∠ P_1PP_2-(∠ MPP_1+∠ NPP_2)=∠ P_1PP_2-(∠ P_1+∠ P_2)=134°-46°=88°$。
【答案】
$88°$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，角度计算
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题核心是通过作对称点将周长最值问题转化为“两点之间线段最短”的问题，再结合轴对称性质和角度和差关系求解，需要熟练掌握轴对称的性质和角度运算的基本方法。
【难度系数】
0.6
要使△PMN的周长最小，需用到最短路径问题的常规解法：作定点P关于OA、OB的对称点，借助轴对称的性质，将△PMN的三边长度之和转化为两点之间的线段长度，此时线段与OA、OB的交点就是周长最小时的动点M、N的位置。再结合轴对称的对应角相等、四边形内角和等性质，就能推导得出∠MPN的度数。
【解析】
1. 分别作点P关于OA的对称点$P_1$，关于OB的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M、交OB于点N，此时△PMN的周长最小，最小值为线段$P_1P_2$的长度。
2. 根据轴对称的性质可得：OA垂直平分$PP_1$，OB垂直平分$PP_2$，因此$∠ P_1=∠ MPP_1$，$∠ P_2=∠ NPP_2$；同时对称轴与对称点连线垂直，可得$PP_1⊥ OA$、$PP_2⊥ OB$，即两个夹角为90°。
3. 在四边形$OPP_1P_2$中，内角和为360°，因此$∠ P_1PP_2=360°-90°-90°-∠ AOB=360°-180°-46°=134°$。
4. 在$△ P_1P_2P$中，$∠ P_1+∠ P_2=180°-∠ P_1PP_2=180°-134°=46°$。
5. 因此$∠ MPN=∠ P_1PP_2-(∠ MPP_1+∠ NPP_2)=∠ P_1PP_2-(∠ P_1+∠ P_2)=134°-46°=88°$。
【答案】
$88°$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，角度计算
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题核心是通过作对称点将周长最值问题转化为“两点之间线段最短”的问题，再结合轴对称性质和角度和差关系求解，需要熟练掌握轴对称的性质和角度运算的基本方法。
【难度系数】
0.6
9.如图,在$△ ABC$中,$AC=10$,$AB=12$,$△ ABC$的面积为$48$,$AD$平分$∠ BAC$,$F$,$E$分别为$AC$,$AD$上两动点,连接$CE$,$EF$,则$CE+EF$的最小值为________。
答案
9.8
解析
【分析】
这是角平分线背景下的最短路径问题，解题核心是利用角平分线的对称性转化线段，结合“垂线段最短”求最值。首先AD是∠BAC的角平分线，因此AC上的点F关于AD的对称点一定落在AB边上，由轴对称性质可得EF等于对应对称点与E的连线，此时CE+EF可转化为两条共端点线段的和，要使和最小，需满足三点共线且线段为点到直线的垂线段，最后结合三角形面积公式求出该垂线段的长度即可。
【解析】
解：过点C作CG⊥AB于点G。
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的轴对称性，AC上任意一点关于AD的对称点都在AB上。
取AC上点F关于AD的对称点F'（F'在AB上），由轴对称性质得$EF=EF'$，
∴$CE+EF=CE+EF'$。
根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可知：当C、E、F'三点共线，且$CF'⊥AB$时，$CE+EF'$的长度最小，最小值即为CG的长度。
已知$S_{△ABC}=48$，$AB=12$，由三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CG$
代入得$48=\frac{1}{2}×12×CG$，解得$CG=8$。
因此CE+EF的最小值为8。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题结合角平分线的对称性考查最短路径问题，解题关键是通过轴对称将两条动线段的和转化为点到直线的距离，再结合垂线段最短和面积公式求解，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
这是角平分线背景下的最短路径问题，解题核心是利用角平分线的对称性转化线段，结合“垂线段最短”求最值。首先AD是∠BAC的角平分线，因此AC上的点F关于AD的对称点一定落在AB边上，由轴对称性质可得EF等于对应对称点与E的连线，此时CE+EF可转化为两条共端点线段的和，要使和最小，需满足三点共线且线段为点到直线的垂线段，最后结合三角形面积公式求出该垂线段的长度即可。
【解析】
解：过点C作CG⊥AB于点G。
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的轴对称性，AC上任意一点关于AD的对称点都在AB上。
取AC上点F关于AD的对称点F'（F'在AB上），由轴对称性质得$EF=EF'$，
∴$CE+EF=CE+EF'$。
根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可知：当C、E、F'三点共线，且$CF'⊥AB$时，$CE+EF'$的长度最小，最小值即为CG的长度。
已知$S_{△ABC}=48$，$AB=12$，由三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CG$
代入得$48=\frac{1}{2}×12×CG$，解得$CG=8$。
因此CE+EF的最小值为8。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质，最短路径问题，三角形面积计算
【点评】
本题结合角平分线的对称性考查最短路径问题，解题关键是通过轴对称将两条动线段的和转化为点到直线的距离，再结合垂线段最短和面积公式求解，是最短路径类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
10.在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2)，点B的坐标为(1,-3)，在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为
(0,-2)
。答案
10.(0,-2)
解析
【分析】
本题属于平面直角坐标系中的最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：1. 明确对称轴为y轴，根据“两点之间线段最短”，要使PA+PB最小，需通过轴对称将同侧两点转化为异侧两点：作其中一个点关于y轴的对称点，利用轴对称性质得对称点到P的距离等于原点到P的距离，将PA+PB转化为对称点与另一点的连线段长度，此时连线与y轴的交点即为所求点P；2. 求出对称点坐标后，用待定系数法求过对称点和另一个点的一次函数解析式，再求该直线与y轴的交点坐标即可。
【解析】
1. 作点A关于y轴的对称点A'，根据“关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数”，已知A(4,2)，得A'的坐标为(-4,2)。
2. 由轴对称的性质可知：PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB取得最小值（两点之间线段最短），此时点P为直线A'B与y轴的交点。
3. 设直线A'B的解析式为y=kx+b（k≠0），将A'(-4,2)、B(1,-3)代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}-4k + b = 2 \\k + b = -3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$5k=-5$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入$k + b = -3$，得：$-1 + b = -3$，解得$b=-2$。
因此直线A'B的解析式为$y=-x-2$。
4. y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-2$，即点P的坐标为(0,-2)。
【答案】
(0,-2)
【知识点】
最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是将军饮马模型在平面直角坐标系中的典型应用，解题核心是利用轴对称实现线段的等量转化，将折线和最小值问题转化为两点之间线段最短问题，再结合一次函数的知识求解交点，兼顾了对几何原理和代数计算能力的考察。
【难度系数】
0.7
本题属于平面直角坐标系中的最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：1. 明确对称轴为y轴，根据“两点之间线段最短”，要使PA+PB最小，需通过轴对称将同侧两点转化为异侧两点：作其中一个点关于y轴的对称点，利用轴对称性质得对称点到P的距离等于原点到P的距离，将PA+PB转化为对称点与另一点的连线段长度，此时连线与y轴的交点即为所求点P；2. 求出对称点坐标后，用待定系数法求过对称点和另一个点的一次函数解析式，再求该直线与y轴的交点坐标即可。
【解析】
1. 作点A关于y轴的对称点A'，根据“关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数”，已知A(4,2)，得A'的坐标为(-4,2)。
2. 由轴对称的性质可知：PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB取得最小值（两点之间线段最短），此时点P为直线A'B与y轴的交点。
3. 设直线A'B的解析式为y=kx+b（k≠0），将A'(-4,2)、B(1,-3)代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}-4k + b = 2 \\k + b = -3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得：$5k=-5$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入$k + b = -3$，得：$-1 + b = -3$，解得$b=-2$。
因此直线A'B的解析式为$y=-x-2$。
4. y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-2$，即点P的坐标为(0,-2)。
【答案】
(0,-2)
【知识点】
最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是将军饮马模型在平面直角坐标系中的典型应用，解题核心是利用轴对称实现线段的等量转化，将折线和最小值问题转化为两点之间线段最短问题，再结合一次函数的知识求解交点，兼顾了对几何原理和代数计算能力的考察。
【难度系数】
0.7
11.学习了“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”后，同学们进行了如下探究.
【最值初体验】(1)如图①，$∠ AOC=90°$，$∠ BOC=60°$，$D$是$OB$上一点，点$E$在$OC$上，$EO=ED=4$.$M$为射线$OA$上一动点，连接$DM$，则线段$DM$的最小值为
【探究与迁移】(2)如图②，在(1)的条件下，小明发现，如果$OT=4$，$P$是边$OE$上的一个动点(点$P$不与$O$，$E$重合)，连接$DP$，将$△ DEP$绕点$D$顺时针旋转$60°$得到$△ DOP'$，连接$TP'$，此时线段$TP'$的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值.
【拓展与应用】(3)如图③，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=5$.点$P$是射线$AC$上的一个动点，连接$PB$，将线段$PB$绕点$B$顺时针旋转$60°$得到$BP'$，连接$CP'$，请直接写出线段$CP'$的最小值为
【最值初体验】(1)如图①，$∠ AOC=90°$，$∠ BOC=60°$，$D$是$OB$上一点，点$E$在$OC$上，$EO=ED=4$.$M$为射线$OA$上一动点，连接$DM$，则线段$DM$的最小值为
2
.【探究与迁移】(2)如图②，在(1)的条件下，小明发现，如果$OT=4$，$P$是边$OE$上的一个动点(点$P$不与$O$，$E$重合)，连接$DP$，将$△ DEP$绕点$D$顺时针旋转$60°$得到$△ DOP'$，连接$TP'$，此时线段$TP'$的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值.
【拓展与应用】(3)如图③，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=5$.点$P$是射线$AC$上的一个动点，连接$PB$，将线段$PB$绕点$B$顺时针旋转$60°$得到$BP'$，连接$CP'$，请直接写出线段$CP'$的最小值为
$\frac{5}{4}$
.答案
11.(1)2
(2)如图.
$\because$将$△ DEP$绕点$D$逆时针旋转$60°$得到$△ DOP'$,
易得$△ DOP'≌△ DEP$(SAS),
$\therefore∠ DOP'=60°.\therefore∠ TOP'=30°$.
当$P'T⊥ P'O$时,$TP'$有最小值 2.
(3)$\frac{5}{4}$
解析
【分析】
(1) 求DM的最小值，根据“垂线段最短”可知当DM⊥OA时DM最短。首先由∠BOC=60°、EO=ED可证△DOE是等边三角形，得OD=4；再由∠AOC=90°推出∠AOB=30°，利用含30°角的直角三角形性质即可求出DM的最小值。
(2) 先根据旋转的性质得△DEP≌△DOP'，推出∠DOP'的度数，进而得到∠TOP'=30°，可知P'在与OT夹角为30°的射线上运动；再根据垂线段最短，当P'T⊥OP'时TP'最短，结合OT=4即可求出最小值。
(3) 由旋转性质可知P'的轨迹为定直线，根据垂线段最短，当CP'垂直于该直线时CP'最短，结合△ABC中30°角的性质即可计算出最小值。
【解析】
(1) 过D作DM⊥OA于M，此时DM长度最小。
∵∠BOC=60°，EO=ED=4，
∴△DOE为等边三角形，即OD=OE=4。
∵∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=30°。
在Rt△DOM中，∠AOB=30°，
∴DM=$\frac{1}{2}$OD=2。
(2) 按要求画图如下：
∵将△DEP绕点D逆时针旋转60°得到△DOP'，
∴△DOP'≌△DEP（SAS），
∴∠DOP'=∠DEP=60°，
∴∠TOP'=∠AOC-∠DOP'=90°-60°=30°。
根据垂线段最短，当P'T⊥P'O时，TP'取得最小值。
在Rt△TP'O中，∠TOP'=30°，OT=4，
∴TP'=$\frac{1}{2}$OT=2。
(3) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$。
由旋转性质得BP=BP'，∠PBP'=60°，可推得P'的运动轨迹为定直线，当CP'垂直于该直线时长度最短，结合角度关系得CP'最小值为$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{4}$。
【答案】
11.(1)2
(2)如图.
$\because$将$△ DEP$绕点$D$逆时针旋转$60°$得到$△ DOP'$,
易得$△ DOP'≌△ DEP$(SAS),
$\therefore∠ DOP'=60°.\therefore∠ TOP'=30°$.
当$P'T⊥ P'O$时,$TP'$有最小值 2.
(3)$\frac{5}{4}$
【知识点】
垂线段最短；旋转的性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题综合考查几何最值问题，核心是通过旋转确定动点的运动轨迹，再结合垂线段最短和特殊直角三角形的性质求解，对几何图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 求DM的最小值，根据“垂线段最短”可知当DM⊥OA时DM最短。首先由∠BOC=60°、EO=ED可证△DOE是等边三角形，得OD=4；再由∠AOC=90°推出∠AOB=30°，利用含30°角的直角三角形性质即可求出DM的最小值。
(2) 先根据旋转的性质得△DEP≌△DOP'，推出∠DOP'的度数，进而得到∠TOP'=30°，可知P'在与OT夹角为30°的射线上运动；再根据垂线段最短，当P'T⊥OP'时TP'最短，结合OT=4即可求出最小值。
(3) 由旋转性质可知P'的轨迹为定直线，根据垂线段最短，当CP'垂直于该直线时CP'最短，结合△ABC中30°角的性质即可计算出最小值。
【解析】
(1) 过D作DM⊥OA于M，此时DM长度最小。
∵∠BOC=60°，EO=ED=4，
∴△DOE为等边三角形，即OD=OE=4。
∵∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=30°。
在Rt△DOM中，∠AOB=30°，
∴DM=$\frac{1}{2}$OD=2。
(2) 按要求画图如下：
∵将△DEP绕点D逆时针旋转60°得到△DOP'，
∴△DOP'≌△DEP（SAS），
∴∠DOP'=∠DEP=60°，
∴∠TOP'=∠AOC-∠DOP'=90°-60°=30°。
根据垂线段最短，当P'T⊥P'O时，TP'取得最小值。
在Rt△TP'O中，∠TOP'=30°，OT=4，
∴TP'=$\frac{1}{2}$OT=2。
(3) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$。
由旋转性质得BP=BP'，∠PBP'=60°，可推得P'的运动轨迹为定直线，当CP'垂直于该直线时长度最短，结合角度关系得CP'最小值为$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{4}$。
【答案】
11.(1)2
(2)如图.
$\because$将$△ DEP$绕点$D$逆时针旋转$60°$得到$△ DOP'$,
易得$△ DOP'≌△ DEP$(SAS),
$\therefore∠ DOP'=60°.\therefore∠ TOP'=30°$.
当$P'T⊥ P'O$时,$TP'$有最小值 2.
(3)$\frac{5}{4}$
【知识点】
垂线段最短；旋转的性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题综合考查几何最值问题，核心是通过旋转确定动点的运动轨迹，再结合垂线段最短和特殊直角三角形的性质求解，对几何图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
