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8.若$a^m=2$，则$a^{m+n}=6$，则$a^m + a^n =$
5
.答案
8.5
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件中指数的特征，看到$a^{m+n}$是指数相加的形式，联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可以逆用，即$a^{m+n}=a^m · a^n$。我们已知$a^m$和$a^{m+n}$的数值，先通过逆用同底数幂乘法法则求出$a^n$的值，再代入所求的代数式计算即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则的逆用可得：
$a^{m+n}=a^m · a^n$
将$a^m=2$，$a^{m+n}=6$代入上式得：
$6=2 · a^n$
解得$a^n=6÷2=3$
因此$a^m + a^n = 2 + 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
同底数幂的乘法、代数式求值
【点评】
本题是幂的运算中的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题的关键是建立已知条件和待求式之间的关联，熟练掌握幂的运算法则及其变形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件中指数的特征，看到$a^{m+n}$是指数相加的形式，联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，该法则可以逆用，即$a^{m+n}=a^m · a^n$。我们已知$a^m$和$a^{m+n}$的数值，先通过逆用同底数幂乘法法则求出$a^n$的值，再代入所求的代数式计算即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则的逆用可得：
$a^{m+n}=a^m · a^n$
将$a^m=2$，$a^{m+n}=6$代入上式得：
$6=2 · a^n$
解得$a^n=6÷2=3$
因此$a^m + a^n = 2 + 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
同底数幂的乘法、代数式求值
【点评】
本题是幂的运算中的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题的关键是建立已知条件和待求式之间的关联，熟练掌握幂的运算法则及其变形即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.已知$a^x=7,a^{x+y}=63$,则$a^x+a^y=$
16
.答案
9.16
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则，观察已知条件中$a^{x+y}$的指数是$x$与$y$的和，符合同底数幂相乘的指数特征，因此可以逆用同底数幂的乘法公式，将$a^{x+y}$拆分为$a^x· a^y$，代入已知的$a^x$的值即可求出$a^y$的值，最后将$a^x$与$a^y$相加得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$，逆用该法则可得：
$a^{x+y}=a^x · a^y$
已知$a^x=7$，$a^{x+y}=63$，代入上式得：
$7 · a^y = 63$
解得$a^y = 63 ÷ 7 = 9$
因此$a^x + a^y = 7 + 9 = 16$
【答案】
16
【知识点】
同底数幂的乘法，代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，熟练掌握幂的各类运算法则并能灵活正向、逆向运用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则，观察已知条件中$a^{x+y}$的指数是$x$与$y$的和，符合同底数幂相乘的指数特征，因此可以逆用同底数幂的乘法公式，将$a^{x+y}$拆分为$a^x· a^y$，代入已知的$a^x$的值即可求出$a^y$的值，最后将$a^x$与$a^y$相加得到结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$，逆用该法则可得：
$a^{x+y}=a^x · a^y$
已知$a^x=7$，$a^{x+y}=63$，代入上式得：
$7 · a^y = 63$
解得$a^y = 63 ÷ 7 = 9$
因此$a^x + a^y = 7 + 9 = 16$
【答案】
16
【知识点】
同底数幂的乘法，代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，熟练掌握幂的各类运算法则并能灵活正向、逆向运用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
10.已知$2^a=5,2^b=3.2,2^c=6.4,2^d=10$,则$a+b+c+d$的值为
10
.答案
10.10
解析
【分析】
本题已知多个以2为底的幂的值，要求对应指数的和，解题核心是利用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。逆用该法则将四个已知的同底数幂相乘，乘积的指数就是四个指数的和，再将计算得到的乘积转化为以2为底的幂的形式，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可求出$a+b+c+d$的值。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则$2^m × 2^n = 2^{m+n}$，可得：
$2^a × 2^b × 2^c × 2^d = 2^{a+b+c+d}$
将$2^a=5,2^b=3.2,2^c=6.4,2^d=10$代入左边计算：
$5 × 3.2 × 6.4 × 10 = (5 × 3.2) × (6.4 × 10) = 16 × 64 = 1024$
因为$1024 = 2^{10}$，所以$2^{a+b+c+d}=2^{10}$
根据同底数幂相等则指数相等，可得$a+b+c+d=10$
【答案】
10
【知识点】
同底数幂的乘法、乘方的意义
【点评】
本题侧重考查同底数幂乘法法则的灵活运用，将求指数和的问题转化为同底数幂的乘积运算，计算时通过分组巧算可简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题已知多个以2为底的幂的值，要求对应指数的和，解题核心是利用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。逆用该法则将四个已知的同底数幂相乘，乘积的指数就是四个指数的和，再将计算得到的乘积转化为以2为底的幂的形式，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可求出$a+b+c+d$的值。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则$2^m × 2^n = 2^{m+n}$，可得：
$2^a × 2^b × 2^c × 2^d = 2^{a+b+c+d}$
将$2^a=5,2^b=3.2,2^c=6.4,2^d=10$代入左边计算：
$5 × 3.2 × 6.4 × 10 = (5 × 3.2) × (6.4 × 10) = 16 × 64 = 1024$
因为$1024 = 2^{10}$，所以$2^{a+b+c+d}=2^{10}$
根据同底数幂相等则指数相等，可得$a+b+c+d=10$
【答案】
10
【知识点】
同底数幂的乘法、乘方的意义
【点评】
本题侧重考查同底数幂乘法法则的灵活运用，将求指数和的问题转化为同底数幂的乘积运算，计算时通过分组巧算可简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
11.已知两个单项式$\frac{1}{3}a^{m+2n}b$与$-2a^4b^k$是同类项，求$2^m · 4^n · 8^k$的值.
答案
11.由已知可得：$\begin{cases} m+2n=4, \\ k=1, \end{cases}$
$2^m · 4^n · 8^k=2^m · 2^{2n} · 8^k=2^{m+2n} · 8^k=2^4×8=128$。
$2^m · 4^n · 8^k=2^m · 2^{2n} · 8^k=2^{m+2n} · 8^k=2^4×8=128$。
解析
【分析】
首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。我们可以根据两个单项式为同类项的条件，得到a、b的对应指数相等，从而得出$m+2n=4$、$k=1$的等量关系。接下来观察待求式$2^m · 4^n · 8^k$，利用幂的乘方的逆运算，把底数为4的幂转化为底数为2的幂，即$4^n=(2^2)^n=2^{2n}$，再用同底数幂的乘法法则将前两项合并为$2^{m+2n}$，最后代入已知的等量关系计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\frac{1}{3}a^{m+2n}b$与$-2a^4b^k$是同类项
∴根据同类项的定义可得：
$\begin{cases} m+2n=4 \\ k=1 \end{cases}$
对待求式变形计算：
$2^m · 4^n · 8^k$
$=2^m · (2^2)^n · 8^k$
$=2^m · 2^{2n} · 8^k$
$=2^{m+2n} · 8^k$
把$m+2n=4$，$k=1$代入上式：
原式$=2^4 × 8^1$
$=16 × 8$
$=128$
【答案】
128
【知识点】
同类项的定义；幂的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是同类项定义与幂的运算性质的综合基础题，解题核心是先由同类项的性质得到指数的等量关系，再通过幂的运算性质将待求式转化为可直接代入求值的形式，是幂运算章节的常见典型题。
【难度系数】
0.8
首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。我们可以根据两个单项式为同类项的条件，得到a、b的对应指数相等，从而得出$m+2n=4$、$k=1$的等量关系。接下来观察待求式$2^m · 4^n · 8^k$，利用幂的乘方的逆运算，把底数为4的幂转化为底数为2的幂，即$4^n=(2^2)^n=2^{2n}$，再用同底数幂的乘法法则将前两项合并为$2^{m+2n}$，最后代入已知的等量关系计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\frac{1}{3}a^{m+2n}b$与$-2a^4b^k$是同类项
∴根据同类项的定义可得：
$\begin{cases} m+2n=4 \\ k=1 \end{cases}$
对待求式变形计算：
$2^m · 4^n · 8^k$
$=2^m · (2^2)^n · 8^k$
$=2^m · 2^{2n} · 8^k$
$=2^{m+2n} · 8^k$
把$m+2n=4$，$k=1$代入上式：
原式$=2^4 × 8^1$
$=16 × 8$
$=128$
【答案】
128
【知识点】
同类项的定义；幂的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是同类项定义与幂的运算性质的综合基础题，解题核心是先由同类项的性质得到指数的等量关系，再通过幂的运算性质将待求式转化为可直接代入求值的形式，是幂运算章节的常见典型题。
【难度系数】
0.8
12.已知$2^x=6$，$2^y=3$，求下列各式的值:(1)$2^{x+y}$；(2)$2^{2x}+2^{3y}$。
答案
12.(1)18.
(2)63.
(2)63.
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的逆用，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，观察到所求式子的指数是两数之和，对应同底数幂乘法的逆运算公式$a^{m+n}=a^m · a^n$，可将$2^{x+y}$转化为$2^x$与$2^y$的乘积，代入已知数值即可计算。
2. 解决第(2)问时，观察到所求式子的指数分别是$2x$和$3y$，对应幂的乘方的逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，可将$2^{2x}$转化为$(2^x)^2$、$2^{3y}$转化为$(2^y)^3$，分别代入已知数值计算后求和即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$2^{x+y}=2^x · 2^y$
将$2^x=6$，$2^y=3$代入上式：
原式$=6×3=18$
(2) 根据幂的乘方的逆运算可得：
$2^{2x}=(2^x)^2$，$2^{3y}=(2^y)^3$
将$2^x=6$，$2^y=3$代入上式：
原式$=6^2 + 3^3 = 36 + 27 = 63$
【答案】
(1)18；(2)63
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算性质的逆用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算公式，能根据所求式子的指数特征灵活变形为已知条件的形式，计算量小，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算性质的逆用，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，观察到所求式子的指数是两数之和，对应同底数幂乘法的逆运算公式$a^{m+n}=a^m · a^n$，可将$2^{x+y}$转化为$2^x$与$2^y$的乘积，代入已知数值即可计算。
2. 解决第(2)问时，观察到所求式子的指数分别是$2x$和$3y$，对应幂的乘方的逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，可将$2^{2x}$转化为$(2^x)^2$、$2^{3y}$转化为$(2^y)^3$，分别代入已知数值计算后求和即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$2^{x+y}=2^x · 2^y$
将$2^x=6$，$2^y=3$代入上式：
原式$=6×3=18$
(2) 根据幂的乘方的逆运算可得：
$2^{2x}=(2^x)^2$，$2^{3y}=(2^y)^3$
将$2^x=6$，$2^y=3$代入上式：
原式$=6^2 + 3^3 = 36 + 27 = 63$
【答案】
(1)18；(2)63
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算性质的逆用，解题的关键是熟练掌握幂的相关运算公式，能根据所求式子的指数特征灵活变形为已知条件的形式，计算量小，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
13.已知$10^x=5$，$10^y=6$，求下列各式的值:(1)$10^{2x}+10^{3y}$;(2)$10^{2x+3y}$。
答案
13.(1)$10^{2x}+10^{3y}=25+216=241$.
(2)$10^{2x+3y}=25×216=5\ 400$.
(2)$10^{2x+3y}=25×216=5\ 400$.
解析
【分析】
这道题考查幂的运算性质的逆用，解题时需将待求式转化为含已知条件$10^x$、$10^y$的形式，再整体代入计算。对于第(1)问，逆用幂的乘方法则，可将$10^{2x}$转化为$(10^x)^2$、$10^{3y}$转化为$(10^y)^3$，分别计算后相加即可；对于第(2)问，先逆用同底数幂的乘法法则，将$10^{2x+3y}$拆分为$10^{2x} × 10^{3y}$，再代入对应数值相乘即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方的逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$10^{2x}=(10^x)^2$，$10^{3y}=(10^y)^3$
将$10^x=5$，$10^y=6$代入得：
$(10^x)^2=5^2=25$，$(10^y)^3=6^3=216$
因此$10^{2x}+10^{3y}=25+216=241$
(2) 根据同底数幂乘法的逆运算公式$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$10^{2x+3y}=10^{2x} × 10^{3y}$
将$10^{2x}=25$，$10^{3y}=216$代入得：
$10^{2x+3y}=25 × 216=5400$
【答案】
(1)$241$；(2)$5400$
【知识点】
幂的乘方，同底数幂乘法，整体代入求值
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用，重点考察幂的运算公式的逆变形，熟练掌握公式的双向使用规则，结合整体代入的思想即可快速求解，做题时要注意区分幂的加法和乘法的运算差异。
【难度系数】
0.8
这道题考查幂的运算性质的逆用，解题时需将待求式转化为含已知条件$10^x$、$10^y$的形式，再整体代入计算。对于第(1)问，逆用幂的乘方法则，可将$10^{2x}$转化为$(10^x)^2$、$10^{3y}$转化为$(10^y)^3$，分别计算后相加即可；对于第(2)问，先逆用同底数幂的乘法法则，将$10^{2x+3y}$拆分为$10^{2x} × 10^{3y}$，再代入对应数值相乘即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方的逆运算公式$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$10^{2x}=(10^x)^2$，$10^{3y}=(10^y)^3$
将$10^x=5$，$10^y=6$代入得：
$(10^x)^2=5^2=25$，$(10^y)^3=6^3=216$
因此$10^{2x}+10^{3y}=25+216=241$
(2) 根据同底数幂乘法的逆运算公式$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$10^{2x+3y}=10^{2x} × 10^{3y}$
将$10^{2x}=25$，$10^{3y}=216$代入得：
$10^{2x+3y}=25 × 216=5400$
【答案】
(1)$241$；(2)$5400$
【知识点】
幂的乘方，同底数幂乘法，整体代入求值
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用，重点考察幂的运算公式的逆变形，熟练掌握公式的双向使用规则，结合整体代入的思想即可快速求解，做题时要注意区分幂的加法和乘法的运算差异。
【难度系数】
0.8
14.已知$2^a=3,2^b=5,2^c=30$，求$a,b,c$之间的关系.
答案
14.$\because 2^a=3,2^b=5,2^c=30$，
$\therefore 2^a · 2^b=15$.
$\therefore 2 · 2^a · 2^b=30$.
$\therefore 2^{a+b+1}=2^c$.
$\therefore a+b+1=c$.
$\therefore 2^a · 2^b=15$.
$\therefore 2 · 2^a · 2^b=30$.
$\therefore 2^{a+b+1}=2^c$.
$\therefore a+b+1=c$.
解析
【分析】
本题已知三个以2为底的幂的值，要推导指数a、b、c的数量关系，可从幂的运算规则入手思考：首先观察已知的3、5、30三个数的关系，3×5=15，15×2=30，恰好对应三个幂的数值，因此可以利用同底数幂相乘的法则，将前两个幂相乘后再乘2（即$2^1$），使其结果等于第三个幂，再根据底数相同的非零幂相等时指数也相等的性质，即可得到a、b、c的关系。
【解析】
解：
∵ $2^a=3$，$2^b=5$，$2^c=30$，
∴ $2^a · 2^b = 3 × 5 = 15$，
∴ $2 × 2^a · 2^b = 2 × 15 = 30$，
根据同底数幂的乘法法则，可得$2^{a+b+1} = 2^c$，
∵ 底数2不为0且不等于1，
∴ 指数相等，即$a+b+1 = c$。
【答案】
$a+b+1=c$
【知识点】
1.同底数幂的乘法 2.同底数幂相等的性质
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，核心是灵活运用同底数幂的乘法法则，通过观察已知幂对应数值的关联构造等式，进而推导指数之间的关系，有助于锻炼对幂运算性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题已知三个以2为底的幂的值，要推导指数a、b、c的数量关系，可从幂的运算规则入手思考：首先观察已知的3、5、30三个数的关系，3×5=15，15×2=30，恰好对应三个幂的数值，因此可以利用同底数幂相乘的法则，将前两个幂相乘后再乘2（即$2^1$），使其结果等于第三个幂，再根据底数相同的非零幂相等时指数也相等的性质，即可得到a、b、c的关系。
【解析】
解：
∵ $2^a=3$，$2^b=5$，$2^c=30$，
∴ $2^a · 2^b = 3 × 5 = 15$，
∴ $2 × 2^a · 2^b = 2 × 15 = 30$，
根据同底数幂的乘法法则，可得$2^{a+b+1} = 2^c$，
∵ 底数2不为0且不等于1，
∴ 指数相等，即$a+b+1 = c$。
【答案】
$a+b+1=c$
【知识点】
1.同底数幂的乘法 2.同底数幂相等的性质
【点评】
本题是幂运算的基础应用题型，核心是灵活运用同底数幂的乘法法则，通过观察已知幂对应数值的关联构造等式，进而推导指数之间的关系，有助于锻炼对幂运算性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
