1.下列计算正确的是().

A.$a^{3}· a^{2}=a$
B.$a^{3}· a^{2}=a^{5}$
C.$a^{3}· a^{2}=a^{6}$
D.$a^{3}· a^{2}=a^{9}$

1.B

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题时先回忆同底数幂的乘法法则，再运用法则计算$a^3·a^2$的结果，最后和各选项对比选出正确答案即可。要注意同底数幂相乘的指数运算规则，不要和幂的乘方的规则混淆。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数）。
对$a^3·a^2$进行计算：
底数$a$保持不变，指数相加得$3+2=5$，因此$a^3·a^2=a^5$。
对比各选项：
A选项结果为$a$，错误；
B选项结果为$a^5$，正确；
C选项结果为$a^6$，属于误将指数相乘的错误，错误；
D选项结果为$a^9$，错误。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查同底数幂乘法法则的应用，解题时需区分不同幂运算的指数计算规则，避免将指数相加误记为指数相乘。
【难度系数】
0.9

2.计算$(3a^3)^2$的结果是().

A.$9a^6$
B.$9a^5$
C.$6a^6$
D.$6a^5$

2.A

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：第一步先识别运算类型，本题是积的乘方运算，需运用积的乘方法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；第二步对拆分后的两部分分别计算，系数部分计算乘方，字母部分运用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算；第三步将两部分结果相乘得到最终结果，再匹配选项即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则展开式子：
$(3a^3)^2 = 3^2 × (a^3)^2$
首先计算系数部分：$3^2=9$
再根据幂的乘方运算法则计算字母部分：$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6$
将两部分结果合并可得：$9× a^6=9a^6$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础常规题，核心是牢记相关运算法则，避免出现系数乘方错算为系数乘2、幂的乘方指数错算为相加这类常见失误即可得分。
【难度系数】
0.9

3.下列运算中,正确的是().

A.$2^5 + 2^5 = 2^6$
B.$x^2 · x^3 = x^6$
C.$(x^2)^3 = x^5$
D.$(2a^2)^3 = 6a^6$

3.A

【分析】
这道题考查幂的相关运算法则，解题思路是逐一分析每个选项，对应结合合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则进行计算验证，找出计算正确的选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$2^5+2^5$是两个$2^5$相加，合并同类项可得$2×2^5$，根据同底数幂的乘法法则，$2×2^5=2^{1+5}=2^6$，该选项计算正确。
B选项：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，$x^2· x^3=x^{2+3}=x^5≠ x^6$，该选项错误。
C选项：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘的法则，$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6≠ x^5$，该选项错误。
D选项：根据积的乘方法则，需将积中每个因式分别乘方再相乘，$(2a^2)^3=2^3×(a^2)^3=8a^6≠6a^6$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】A
【知识点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】本题是幂运算的基础题，解题核心是准确区分各类幂运算的法则，尤其要注意积的乘方运算中不要忽略系数的乘方，避免因混淆法则导致计算错误。
【难度系数】0.8

4.计算$(-0.5)^{2025} × 2^{2026}$的结果是.

4.$-2$

【分析】
本题考查幂的运算的简便计算，解题思路如下：首先观察两个幂的指数，发现2025和2026仅相差1，因此可以将指数较大的$2^{2026}$拆分为$2^{2025}×2$，使两个幂的指数统一为2025；再逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，将同指数的两个幂合并计算，最后结合负数乘方的符号规律求出最终结果即可。
【解析】
$\begin{aligned}(-0.5)^{2025} × 2^{2026}&=(-0.5)^{2025} × 2^{2025} × 2\\&=[(-0.5)×2]^{2025} × 2\\&=(-1)^{2025} × 2\\&=-1 × 2\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
积的乘方逆用，同底数幂乘法，乘方符号规律
【点评】
本题是幂的运算板块的基础应用题型，解题关键是通过拆分高次幂凑出相同指数，逆用积的乘方公式简化运算，计算时要注意负数奇次幂的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7

5.计算:(1)$a^{2}· a^{3}=$;(2)$(2a)^{2}=$.

5.(1)$a^{5}$
(2)$4a^{2}$

【分析】
本题考查幂的基本运算，解题时先匹配对应运算法则即可：(1)是同底数幂相乘的运算，遵循“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的规则计算；(2)是积的乘方运算，遵循“积的乘方，要把积的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘”的规则计算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）：
$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$
(2) 根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$（n为正整数）：
$(2a)^2=2^2· a^2=4a^2$
【答案】
(1)$a^{5}$；(2)$4a^{2}$
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础题，核心是准确区分不同幂运算的规则，熟记法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

6.若$3^{x+1} · 5^{x+1}=15^{2x-3}$，则$x$的值为。

6.4

【分析】
观察等式左右两边的底数，发现左边两个幂的底数3和5相乘等于右边幂的底数15，且左边两个幂的指数相同，因此可以先逆用积的乘方公式将左边合并为底数是15的幂，再根据“底数不为0和1的两个同底数幂相等，则指数相等”的性质列一元一次方程求解即可。
【解析】
逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，对等式左边变形：
$3^{x+1}· 5^{x+1}=(3×5)^{x+1}=15^{x+1}$
因此原方程可化为：
$15^{x+1}=15^{2x-3}$
由于底数$15≠0$且$15≠1$，若两个同底数幂相等，则其指数相等，可得：
$x+1=2x-3$
解这个一元一次方程：
移项得：$x-2x=-3-1$
合并同类项得：$-x=-4$
系数化为1得：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
积的乘方逆运算，同底数幂的性质，解一元一次方程
【点评】
本题是幂运算的常规题型，核心是灵活运用积的乘方的逆运算将等式两侧化为同底数幂的形式，将幂的运算问题转化为一元一次方程求解，是幂运算模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8

7.计算.
(1) $x^2 · x^4 + (x^3)^2 -5x^6$.
(2) $(-2a)^6 - (-3a^3)^2 + [-(2a)^2]^3$.

7.(1)原式$=x^6+x^6-5x^6=-3x^6$.
(2)原式$=64a^6-9a^6+(-4a^2)^3=64a^6-9a^6-64a^6=-9a^6$.

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先回忆幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。运算时先分别计算每一项的幂运算，将各项化简为同类项后，再合并同类项得到最终结果。
（1）小题先分别计算同底数幂的乘法$x^2·x^4$、幂的乘方$(x^3)^2$，再将三个同类项合并即可；
（2）小题要注意符号的处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，依次计算$(-2a)^6$、$(-3a^3)^2$、$[-(2a)^2]^3$，再合并同类项。
【解析】
(1) 先计算同底数幂乘法和幂的乘方：
原式$=x^{2+4} + x^{3×2} -5x^6 = x^6 + x^6 -5x^6$
合并同类项得：
$=(1+1-5)x^6=-3x^6$
(2) 分别计算各项的积的乘方与幂的乘方：
原式$=(-2)^6a^6 - (-3)^2·(a^3)^2 + [-(2^2a^2)]^3$
$=64a^6 -9a^6 + (-4a^2)^3$
$=64a^6 -9a^6 -64a^6$
合并同类项得：
$=(64-9-64)a^6=-9a^6$
【答案】
(1) $-3x^6$；(2) $-9a^6$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的乘方与积的乘方
3. 合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础计算题，解题核心是准确记忆幂的各运算法则，尤其要注意运算中负号的符号变化，避免因符号判断错误、指数运算混淆导致失分。
【难度系数】
0.8

8.若$a^m=3,a^n=2$,求:
(1)$a^{m+n}$;
(2)$(a^3)^n$;
(3)$a^{2m+3n}$.

8.(1)原式$=a^m × a^n=3×2=6$.
(2)原式$=(a^n)^3=2^3=8$.
(3)原式$=a^{2m} × a^{3n}=(a^m)^2 × (a^n)^3=3^2 × 2^3=9×8=72$.

【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算公式及逆用。思路如下：①对于$a^{m+n}$，逆用同底数幂的乘法公式$a^{x+y}=a^x·a^y$，将其转化为已知的$a^m$和$a^n$的乘积计算；②对于$(a^3)^n$，利用幂的乘方公式$(a^x)^y=a^{xy}$，变形为$(a^n)^3$后代入已知值计算；③对于$a^{2m+3n}$，先逆用同底数幂的乘法拆分为$a^{2m}·a^{3n}$，再分别逆用幂的乘方公式变形为$(a^m)^2$和$(a^n)^3$，最后代入已知值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算：$a^{m+n}=a^m × a^n$，将$a^m=3,a^n=2$代入得：
原式$=3×2=6$
(2) 根据幂的乘方运算规则：$(a^x)^y=a^{xy}$，可得$(a^3)^n=(a^n)^3$，将$a^n=2$代入得：
原式$=2^3=8$
(3) 先逆用同底数幂的乘法拆分指数：$a^{2m+3n}=a^{2m} × a^{3n}$，再逆用幂的乘方变形得$a^{2m}=(a^m)^2$，$a^{3n}=(a^n)^3$，将$a^m=3,a^n=2$代入得：
原式$=3^2 × 2^3=9×8=72$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{8}$；(3) $\boxed{72}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂运算的基础常考题，核心考查幂的运算公式的灵活变形，熟练掌握公式的正用、逆用即可快速求解，是后续学习整式乘法的重要基础。
【难度系数】
0.8