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9.若$a^p=2,a^q=3$,则$a^{2p+3q}$的值为
108
.答案
9.108
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：首先观察所求式子的指数是和的形式，逆用同底数幂的乘法法则，将$a^{2p+3q}$拆分为$a^{2p}· a^{3q}$；再观察拆分后两个因式的指数是乘积形式，逆用幂的乘方法则，将$a^{2p}$转化为$(a^p)^2$，$a^{3q}$转化为$(a^q)^3$；最后代入已知的$a^p=2$、$a^q=3$计算即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的运算性质逆用计算：
1. 逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m· a^n$，可得：
$a^{2p+3q}=a^{2p}· a^{3q}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{2p}=(a^p)^2$，$a^{3q}=(a^q)^3$
因此$a^{2p+3q}=(a^p)^2· (a^q)^3$
3. 将$a^p=2$，$a^q=3$代入上式计算：
原式$=2^2×3^3=4×27=108$
【答案】
108
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方运算、幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查幂的运算法则的逆用，熟练掌握相关运算性质，能根据指数特征对式子灵活变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算性质的应用，解题思路如下：首先观察所求式子的指数是和的形式，逆用同底数幂的乘法法则，将$a^{2p+3q}$拆分为$a^{2p}· a^{3q}$；再观察拆分后两个因式的指数是乘积形式，逆用幂的乘方法则，将$a^{2p}$转化为$(a^p)^2$，$a^{3q}$转化为$(a^q)^3$；最后代入已知的$a^p=2$、$a^q=3$计算即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的运算性质逆用计算：
1. 逆用同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m· a^n$，可得：
$a^{2p+3q}=a^{2p}· a^{3q}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$a^{2p}=(a^p)^2$，$a^{3q}=(a^q)^3$
因此$a^{2p+3q}=(a^p)^2· (a^q)^3$
3. 将$a^p=2$，$a^q=3$代入上式计算：
原式$=2^2×3^3=4×27=108$
【答案】
108
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方运算、幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查幂的运算法则的逆用，熟练掌握相关运算性质，能根据指数特征对式子灵活变形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
10.若$2x + 5y - 3 = 2$，则$4^x · 32^y$的值为
32
。答案
10.32
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的特征，4和32都可以转化为以2为底的幂，因此首先想到利用幂的运算法则统一底数。先通过幂的乘方法则把$4^x$和$32^y$都改写为以2为底的幂，再用同底数幂的乘法法则合并，得到指数为$2x+5y$的幂；再对已知等式移项求出$2x+5y$的值，最后将指数的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由$2x + 5y - 3 = 2$，移项可得：
$2x + 5y = 2 + 3 = 5$
根据幂的乘方法则对所求式变形：
$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，$32^y=(2^5)^y=2^{5y}$
再根据同底数幂的乘法法则计算：
$4^x · 32^y = 2^{2x} · 2^{5y} = 2^{2x+5y}$
将$2x+5y=5$代入上式，得：
原式$=2^5=32$
【答案】
32
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题属于幂运算的常规题型，解题核心是灵活运用幂的运算法则统一所求式的底数，再结合已知条件整体代入计算，熟练掌握幂的相关运算性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的特征，4和32都可以转化为以2为底的幂，因此首先想到利用幂的运算法则统一底数。先通过幂的乘方法则把$4^x$和$32^y$都改写为以2为底的幂，再用同底数幂的乘法法则合并，得到指数为$2x+5y$的幂；再对已知等式移项求出$2x+5y$的值，最后将指数的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由$2x + 5y - 3 = 2$，移项可得：
$2x + 5y = 2 + 3 = 5$
根据幂的乘方法则对所求式变形：
$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，$32^y=(2^5)^y=2^{5y}$
再根据同底数幂的乘法法则计算：
$4^x · 32^y = 2^{2x} · 2^{5y} = 2^{2x+5y}$
将$2x+5y=5$代入上式，得：
原式$=2^5=32$
【答案】
32
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题属于幂运算的常规题型，解题核心是灵活运用幂的运算法则统一所求式的底数，再结合已知条件整体代入计算，熟练掌握幂的相关运算性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
11.若$2x + 3y - 1 = 0$，求$9^x · 27^y$的值.
答案
11.$\because 2x+3y-1=0,\therefore 2x+3y=1$.
$\therefore 9^x · 27^y=(3^2)^x · (3^3)^y=3^{2x} · 3^{3y}=3^{2x+3y}$.
当$2x+3y=1$时,原式$=3^1=3$.
$\therefore 9^x · 27^y=(3^2)^x · (3^3)^y=3^{2x} · 3^{3y}=3^{2x+3y}$.
当$2x+3y=1$时,原式$=3^1=3$.
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的底数特征，9和27都可以转化为以3为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个项的底数统一为3，再根据同底数幂相乘的法则合并指数，会发现合并后的指数正好是已知等式中出现的2x+3y，因此先从已知等式求出2x+3y的值，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$2x + 3y - 1 = 0$，移项可得$2x + 3y = 1$。
对所求式子变形：
$9^x · 27^y=(3^2)^x · (3^3)^y$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3^2)^x=3^{2x}$，$(3^3)^y=3^{3y}$
因此原式可化为$3^{2x} · 3^{3y}$，再根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$3^{2x} · 3^{3y}=3^{2x+3y}$
将$2x+3y=1$代入，得原式$=3^1=3$。
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的常规应用题型，核心是熟练掌握幂的相关运算性质，将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算，考查了对幂运算性质的灵活运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的底数特征，9和27都可以转化为以3为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个项的底数统一为3，再根据同底数幂相乘的法则合并指数，会发现合并后的指数正好是已知等式中出现的2x+3y，因此先从已知等式求出2x+3y的值，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$2x + 3y - 1 = 0$，移项可得$2x + 3y = 1$。
对所求式子变形：
$9^x · 27^y=(3^2)^x · (3^3)^y$
根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3^2)^x=3^{2x}$，$(3^3)^y=3^{3y}$
因此原式可化为$3^{2x} · 3^{3y}$，再根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得：
$3^{2x} · 3^{3y}=3^{2x+3y}$
将$2x+3y=1$代入，得原式$=3^1=3$。
【答案】
3
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；整体代入求值
【点评】
本题是幂运算的常规应用题型，核心是熟练掌握幂的相关运算性质，将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算，考查了对幂运算性质的灵活运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.8
12.观察下列各式：
$2^2 - 2^1 = 2 = 2^1$，
$2^3 - 2^2 = 4 = 2^2$，
$2^4 - 2^3 = 8 = 2^3$，
……
（1）观察上述等式并填空：$2^{2025} - 2^{2024} =$
（2）根据以上的观察、计算，你能发现什么规律？试写出第$n$个等式，并证明第$n$个等式成立.
（3）计算$2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$.
$2^2 - 2^1 = 2 = 2^1$，
$2^3 - 2^2 = 4 = 2^2$，
$2^4 - 2^3 = 8 = 2^3$，
……
（1）观察上述等式并填空：$2^{2025} - 2^{2024} =$
$2^{2024}$
.（2）根据以上的观察、计算，你能发现什么规律？试写出第$n$个等式，并证明第$n$个等式成立.
（3）计算$2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$.
答案
12.(1)$2^{2\ 024}$
(2)由题意知,第$n$个等式为$2^{n+1}-2^n=2^n$,
$\therefore 2^{n+1}-2^n=2^n · 2-2^n=2^n(2-1)=2^n$.
$\therefore$第$n$个等式$2^{n+1}-2^n=2^n$成立.
(3)由题意知,
$2^1+2^1+2^2+2^3+\dots+2^{100}=2^2+2^2+2^3+\dots+2^{100}=2^3+2^3+\dots+2^{100}=\dots=2^{100}+2^{100}=2×2^{100}=2^{101}$,
$\therefore 2^1+2^2+2^3+\dots+2^{100}=2^{101}-2$.
(2)由题意知,第$n$个等式为$2^{n+1}-2^n=2^n$,
$\therefore 2^{n+1}-2^n=2^n · 2-2^n=2^n(2-1)=2^n$.
$\therefore$第$n$个等式$2^{n+1}-2^n=2^n$成立.
(3)由题意知,
$2^1+2^1+2^2+2^3+\dots+2^{100}=2^2+2^2+2^3+\dots+2^{100}=2^3+2^3+\dots+2^{100}=\dots=2^{100}+2^{100}=2×2^{100}=2^{101}$,
$\therefore 2^1+2^2+2^3+\dots+2^{100}=2^{101}-2$.
解析
【分析】
（1）先观察给出的等式，可发现规律：相邻两个以2为底的幂相减（高指数减低指数），结果等于指数较小的那个幂，直接套用该规律即可求解第一问；
（2）根据前几个等式的结构特征，将指数对应到序号n，写出第n个等式，再运用提公因式法对等式左边变形，即可证明等式成立；
（3）利用前面得出的“$2^{n+1}-2^n=2^n$”的结论，采用凑项法：先给求和式加上$2^1$，再减去$2^1$，相邻的两个相同幂可合并为更高一次的幂，逐步消去中间项，最终得到求和结果。
【解析】
（1）根据已知等式的规律：$2^{k+1}-2^k=2^k$，当$k=2024$时，$2^{2025}-2^{2024}=2^{2024}$；
（2）观察等式指数和序号的对应关系，可得第n个等式为：$2^{n+1}-2^n=2^n$。
证明如下：
左边$=2^{n+1}-2^n=2^n×2 - 2^n=2^n(2-1)=2^n=$右边，故该等式成立；
（3）根据上述规律，对求和式进行凑项计算：
∵ $2^1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$
$=2^2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$
$=2^3 + 2^3 + \dots + 2^{100}$
……
$=2^{100} + 2^{100}$
$=2×2^{100}=2^{101}$
∴ $2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}=2^{101}-2^1=2^{101}-2$。
【答案】
（1）$2^{2024}$
（2）第$n$个等式为$2^{n+1}-2^n=2^n$，证明见解析
（3）$2^{101}-2$
【知识点】
同底数幂的运算，提公因式法因式分解，数字规律探究
【点评】
本题围绕幂的运算设置规律探究问题，既考查了学生归纳推理的能力，也考查了对幂的运算性质的灵活运用，第三问的凑项消元法是解决同类等比数列求和问题的常用技巧，需理解掌握。
【难度系数】
0.7
（1）先观察给出的等式，可发现规律：相邻两个以2为底的幂相减（高指数减低指数），结果等于指数较小的那个幂，直接套用该规律即可求解第一问；
（2）根据前几个等式的结构特征，将指数对应到序号n，写出第n个等式，再运用提公因式法对等式左边变形，即可证明等式成立；
（3）利用前面得出的“$2^{n+1}-2^n=2^n$”的结论，采用凑项法：先给求和式加上$2^1$，再减去$2^1$，相邻的两个相同幂可合并为更高一次的幂，逐步消去中间项，最终得到求和结果。
【解析】
（1）根据已知等式的规律：$2^{k+1}-2^k=2^k$，当$k=2024$时，$2^{2025}-2^{2024}=2^{2024}$；
（2）观察等式指数和序号的对应关系，可得第n个等式为：$2^{n+1}-2^n=2^n$。
证明如下：
左边$=2^{n+1}-2^n=2^n×2 - 2^n=2^n(2-1)=2^n=$右边，故该等式成立；
（3）根据上述规律，对求和式进行凑项计算：
∵ $2^1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$
$=2^2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$
$=2^3 + 2^3 + \dots + 2^{100}$
……
$=2^{100} + 2^{100}$
$=2×2^{100}=2^{101}$
∴ $2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}=2^{101}-2^1=2^{101}-2$。
【答案】
（1）$2^{2024}$
（2）第$n$个等式为$2^{n+1}-2^n=2^n$，证明见解析
（3）$2^{101}-2$
【知识点】
同底数幂的运算，提公因式法因式分解，数字规律探究
【点评】
本题围绕幂的运算设置规律探究问题，既考查了学生归纳推理的能力，也考查了对幂的运算性质的灵活运用，第三问的凑项消元法是解决同类等比数列求和问题的常用技巧，需理解掌握。
【难度系数】
0.7
13.阅读下列材料,回答问题.
下面是底数大于1的数比较大小的两种方法.
①比较 $2^a$ 和 $2^b$ 的大小.
当 $a ＞ b$ 时,$2^a ＞ 2^b$.
即当底数相同时,指数越大值越大.
②比较 $3^{50}$ 和 $2^{75}$ 的大小.
解: $\because 3^{50}=(3^2)^{25}=9^{25},2^{75}=(2^3)^{25}=8^{25},9＞8,\therefore 9^{25}＞8^{25}.\therefore 3^{50}＞2^{75}.$
即当指数相同时,底数越大值越大.
(1)比较 $3^{20}$ 和 $9^{15}$ 的大小.
(2)已知 $a=3^{44},b=4^{33}$,则 $a$
下面是底数大于1的数比较大小的两种方法.
①比较 $2^a$ 和 $2^b$ 的大小.
当 $a ＞ b$ 时,$2^a ＞ 2^b$.
即当底数相同时,指数越大值越大.
②比较 $3^{50}$ 和 $2^{75}$ 的大小.
解: $\because 3^{50}=(3^2)^{25}=9^{25},2^{75}=(2^3)^{25}=8^{25},9＞8,\therefore 9^{25}＞8^{25}.\therefore 3^{50}＞2^{75}.$
即当指数相同时,底数越大值越大.
(1)比较 $3^{20}$ 和 $9^{15}$ 的大小.
(2)已知 $a=3^{44},b=4^{33}$,则 $a$
＞
$b$(填“＞”“=”或“＜”).答案
13.(1)$\because 9^{15}=(3^2)^{15}=3^{30},30＞20$,
$\therefore 3^{20}＜3^{30}.\therefore 3^{20}＜9^{15}$.
(2)$\because a=3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11},b=4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11},\therefore 81^{11}＞64^{11}$.
即$3^{44}＞4^{33},\therefore a＞b$,故答案为$＞$.
$\therefore 3^{20}＜3^{30}.\therefore 3^{20}＜9^{15}$.
(2)$\because a=3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11},b=4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11},\therefore 81^{11}＞64^{11}$.
即$3^{44}＞4^{33},\therefore a＞b$,故答案为$＞$.
解析
【分析】
本题考查幂的大小比较，解题思路为根据待比较幂的底数和指数特征，选择统一底数或统一指数的方法转化后再比较：
(1)观察到两个幂的底数为3和9，9是3的平方，因此先将$9^{15}$转化为底数为3的幂，再根据“同底数幂比较大小，指数越大值越大”的规则比较；
(2)观察到两个幂的指数44和33均为11的倍数，因此先将两个幂都转化为指数为11的幂，再根据“同指数幂比较大小，底数越大值越大”的规则比较。
【解析】
(1) 先统一底数：
$\because 9^{15}=(3^2)^{15}=3^{30}$，且$30＞20$，
根据同底数幂大小比较规则，得$3^{20}＜3^{30}$，
$\therefore 3^{20}＜9^{15}$。
(2) 先统一指数：
$\because a=3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，$b=4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
根据同指数幂大小比较规则，得$81^{11}＞64^{11}$，
$\therefore 3^{44}＞4^{33}$，即$a＞b$。
【答案】
(1)$3^{20}＜9^{15}$；(2)$＞$
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.幂的大小比较
【点评】
本题结合给出的幂的大小比较方法，考查幂的乘方性质的灵活应用，解题的核心是根据待比较幂的底数、指数特征，选择合适的转化方向将其变为同底数或同指数的幂，再套用规则比较即可，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的大小比较，解题思路为根据待比较幂的底数和指数特征，选择统一底数或统一指数的方法转化后再比较：
(1)观察到两个幂的底数为3和9，9是3的平方，因此先将$9^{15}$转化为底数为3的幂，再根据“同底数幂比较大小，指数越大值越大”的规则比较；
(2)观察到两个幂的指数44和33均为11的倍数，因此先将两个幂都转化为指数为11的幂，再根据“同指数幂比较大小，底数越大值越大”的规则比较。
【解析】
(1) 先统一底数：
$\because 9^{15}=(3^2)^{15}=3^{30}$，且$30＞20$，
根据同底数幂大小比较规则，得$3^{20}＜3^{30}$，
$\therefore 3^{20}＜9^{15}$。
(2) 先统一指数：
$\because a=3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，$b=4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
根据同指数幂大小比较规则，得$81^{11}＞64^{11}$，
$\therefore 3^{44}＞4^{33}$，即$a＞b$。
【答案】
(1)$3^{20}＜9^{15}$；(2)$＞$
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.幂的大小比较
【点评】
本题结合给出的幂的大小比较方法，考查幂的乘方性质的灵活应用，解题的核心是根据待比较幂的底数、指数特征，选择合适的转化方向将其变为同底数或同指数的幂，再套用规则比较即可，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
