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一、选择题
1.已知一个三角形的两边长分别为3 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长可能是(
A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.13 cm
1.已知一个三角形的两边长分别为3 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长可能是(
C
).A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.13 cm
答案
1.C
解析
【分析】
要确定三角形第三边的可能取值，需运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先根据已知的两边长求出第三边的取值范围，再逐一核对选项，找出在取值范围内的选项即可。
【解析】
设此三角形第三边的长为$x\,\mathrm{cm}$，根据三角形三边关系可得：
$8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3$
计算得$5 ＜ x ＜ 11$
逐一核对选项：
A选项$4\,\mathrm{cm}＜5\,\mathrm{cm}$，不符合要求；
B选项$5\,\mathrm{cm}$等于两边之差，不符合要求；
C选项$5\,\mathrm{cm}＜6\,\mathrm{cm}＜11\,\mathrm{cm}$，符合要求；
D选项$13\,\mathrm{cm}＞11\,\mathrm{cm}$，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，注意取值范围不包含端点，避免误选边界值对应的选项。
【难度系数】
0.9
要确定三角形第三边的可能取值，需运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先根据已知的两边长求出第三边的取值范围，再逐一核对选项，找出在取值范围内的选项即可。
【解析】
设此三角形第三边的长为$x\,\mathrm{cm}$，根据三角形三边关系可得：
$8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3$
计算得$5 ＜ x ＜ 11$
逐一核对选项：
A选项$4\,\mathrm{cm}＜5\,\mathrm{cm}$，不符合要求；
B选项$5\,\mathrm{cm}$等于两边之差，不符合要求；
C选项$5\,\mathrm{cm}＜6\,\mathrm{cm}＜11\,\mathrm{cm}$，符合要求；
D选项$13\,\mathrm{cm}＞11\,\mathrm{cm}$，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，注意取值范围不包含端点，避免误选边界值对应的选项。
【难度系数】
0.9
2.如图,三角形按边分类可以用集合来表示,图中小圆圈里的 M 表示(
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
D
).A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
2.D
解析
【分析】
解题首先回忆三角形按边的分类规则：三角形按边可分为两类，一类是三边都不相等的三角形，另一类是等腰三角形；而等腰三角形中又包含了特殊的“三边都相等的三角形”即等边三角形，也就是说等边三角形是等腰三角形的子集。再看题图，大集合是所有三角形，被分为“三边都不相等的三角形”和“等腰三角形”两部分，M是等腰三角形集合内的子集，因此M对应的就是特殊的等腰三角形，同时A、B、C选项是按角分类的三角形，不符合按边分类的集合范畴，由此即可判断正确选项。
【解析】
三角形按边分类如下：
1. 三边都不相等的三角形；
2. 等腰三角形：包含①只有两条边相等的等腰三角形，②等边三角形（三边都相等，是特殊的等腰三角形）。
观察题图可知，M是等腰三角形集合的子集，属于特殊的等腰三角形；而A、B、C选项的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形是三角形按角分类的结果，不属于按边分类的范畴，因此M表示等边三角形。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形按边分类
2. 等边三角形的定义
【点评】
本题考查三角形的分类相关概念，需要明确按边分类时各类型三角形的包含关系，注意区分按边分类和按角分类的不同标准，避免概念混淆即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆三角形按边的分类规则：三角形按边可分为两类，一类是三边都不相等的三角形，另一类是等腰三角形；而等腰三角形中又包含了特殊的“三边都相等的三角形”即等边三角形，也就是说等边三角形是等腰三角形的子集。再看题图，大集合是所有三角形，被分为“三边都不相等的三角形”和“等腰三角形”两部分，M是等腰三角形集合内的子集，因此M对应的就是特殊的等腰三角形，同时A、B、C选项是按角分类的三角形，不符合按边分类的集合范畴，由此即可判断正确选项。
【解析】
三角形按边分类如下：
1. 三边都不相等的三角形；
2. 等腰三角形：包含①只有两条边相等的等腰三角形，②等边三角形（三边都相等，是特殊的等腰三角形）。
观察题图可知，M是等腰三角形集合的子集，属于特殊的等腰三角形；而A、B、C选项的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形是三角形按角分类的结果，不属于按边分类的范畴，因此M表示等边三角形。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形按边分类
2. 等边三角形的定义
【点评】
本题考查三角形的分类相关概念，需要明确按边分类时各类型三角形的包含关系，注意区分按边分类和按角分类的不同标准，避免概念混淆即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3.如图，$△ ACB≌△ A'CB'$，$∠ BCB'=30°$，则$∠ ACA'$的度数为（
A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
B
）.A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先从已知的三角形全等条件入手，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，可得∠ACB=∠A'CB'。接下来观察角度的组成：∠ACB由∠ACA'和公共角∠A'CB组成，∠A'CB'由∠BCB'和公共角∠A'CB组成，两个相等的角同时减去公共部分，剩余部分也相等，即可推出∠ACA'=∠BCB'，最后代入已知角度就能得到结果。
【解析】
解：
∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'（全等三角形的对应角相等），
∴∠ACB - ∠A'CB = ∠A'CB' - ∠A'CB，
即∠ACA'=∠BCB'，
又
∵∠BCB'=30°，
∴∠ACA'=30°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查全等三角形对应角相等的应用，解题核心是找到两个相等角的公共重叠部分，通过角的和差关系建立已知角和所求角的等量关系，熟练掌握全等三角形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的三角形全等条件入手，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，可得∠ACB=∠A'CB'。接下来观察角度的组成：∠ACB由∠ACA'和公共角∠A'CB组成，∠A'CB'由∠BCB'和公共角∠A'CB组成，两个相等的角同时减去公共部分，剩余部分也相等，即可推出∠ACA'=∠BCB'，最后代入已知角度就能得到结果。
【解析】
解：
∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'（全等三角形的对应角相等），
∴∠ACB - ∠A'CB = ∠A'CB' - ∠A'CB，
即∠ACA'=∠BCB'，
又
∵∠BCB'=30°，
∴∠ACA'=30°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查全等三角形对应角相等的应用，解题核心是找到两个相等角的公共重叠部分，通过角的和差关系建立已知角和所求角的等量关系，熟练掌握全等三角形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，点D在BC上，$AB=AD=DC$，$∠ B=80°$，则$∠ C$的度数为(
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
B
)。A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
4.B
解析
【分析】
首先观察已知条件存在多组边相等，可利用等腰三角形的性质推导角的关系：第一步先根据AB=AD求出∠ADB的度数；第二步结合AD=DC得到∠C与∠DAC相等，再利用三角形外角的性质，建立∠ADB与∠C的等量关系，进而求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，∠B=80°
∴∠ADB=∠B=80°（等腰三角形等边对等角）
∵AD=DC
∴∠C=∠DAC（等腰三角形等边对等角）
又
∵∠ADB是△ADC的外角
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C=80°÷2=40°
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用等腰三角形等边对等角的性质转化边与角的关系，再结合三角形外角性质建立角的等量关系求解，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件存在多组边相等，可利用等腰三角形的性质推导角的关系：第一步先根据AB=AD求出∠ADB的度数；第二步结合AD=DC得到∠C与∠DAC相等，再利用三角形外角的性质，建立∠ADB与∠C的等量关系，进而求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AB=AD，∠B=80°
∴∠ADB=∠B=80°（等腰三角形等边对等角）
∵AD=DC
∴∠C=∠DAC（等腰三角形等边对等角）
又
∵∠ADB是△ADC的外角
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C=80°÷2=40°
【答案】
B
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用等腰三角形等边对等角的性质转化边与角的关系，再结合三角形外角性质建立角的等量关系求解，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形一定是(
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
A
)。A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案
5.A
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确两个关键信息：一是题干给出的“一个角等于其他两个角的差”的角的数量关系，二是三角形隐含的“内角和为180°”的性质。我们可以先设出三角形的三个内角，把题干的数量关系转化为等式，再结合内角和定理代入计算，求出某个角的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
设该三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，根据题意不妨设∠A = ∠B - ∠C，移项可得：∠A + ∠C = ∠B。
根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为180°，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
将$∠ A + ∠ C = ∠ B$代入上式，可得：
$∠ B + ∠ B = 180°$
$2∠ B = 180°$
解得$∠ B = 90°$
有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此这个三角形一定是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的定义
【点评】
本题是三角形类型判断的基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，只需将题干给出的角的关系与内角和定理结合计算，即可快速得到结论，解题时要注意灵活运用隐含的内角和条件。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先明确两个关键信息：一是题干给出的“一个角等于其他两个角的差”的角的数量关系，二是三角形隐含的“内角和为180°”的性质。我们可以先设出三角形的三个内角，把题干的数量关系转化为等式，再结合内角和定理代入计算，求出某个角的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
设该三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，根据题意不妨设∠A = ∠B - ∠C，移项可得：∠A + ∠C = ∠B。
根据三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为180°，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
将$∠ A + ∠ C = ∠ B$代入上式，可得：
$∠ B + ∠ B = 180°$
$2∠ B = 180°$
解得$∠ B = 90°$
有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此这个三角形一定是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的定义
【点评】
本题是三角形类型判断的基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，只需将题干给出的角的关系与内角和定理结合计算，即可快速得到结论，解题时要注意灵活运用隐含的内角和条件。
【难度系数】
0.8
6.下面的图案中,不是轴对称图形的是( 
).
).答案
6.A
解析
【分析】
要判断哪个图案不是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。解题时我们只需要逐个验证每个选项是否能找到这样的直线，判断折叠后两边是否完全重合即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：太极图案，无论沿哪条直线折叠，直线两侧的阴影部分和空白部分都无法完全重合，不符合轴对称图形的定义，因此不是轴对称图形。
2. 选项B：沿两个三角形中间的竖直直线折叠，直线左右两部分能够完全重合，属于轴对称图形。
3. 选项C：沿过图案中心的竖直直线折叠，直线左右两部分能够完全重合，属于轴对称图形。
4. 选项D：五角星可以找到5条过中心的对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，属于轴对称图形。
【答案】
A
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 轴对称图形的判定
【点评】
本题属于基础考题，核心考查对轴对称图形概念的掌握，解题时要注意观察图形的细节（如阴影、空白的分布），结合定义逐一判断即可，避免因忽略图形细节选错答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个图案不是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。解题时我们只需要逐个验证每个选项是否能找到这样的直线，判断折叠后两边是否完全重合即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：太极图案，无论沿哪条直线折叠，直线两侧的阴影部分和空白部分都无法完全重合，不符合轴对称图形的定义，因此不是轴对称图形。
2. 选项B：沿两个三角形中间的竖直直线折叠，直线左右两部分能够完全重合，属于轴对称图形。
3. 选项C：沿过图案中心的竖直直线折叠，直线左右两部分能够完全重合，属于轴对称图形。
4. 选项D：五角星可以找到5条过中心的对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，属于轴对称图形。
【答案】
A
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 轴对称图形的判定
【点评】
本题属于基础考题，核心考查对轴对称图形概念的掌握，解题时要注意观察图形的细节（如阴影、空白的分布），结合定义逐一判断即可，避免因忽略图形细节选错答案。
【难度系数】
0.8
7.如图，已知$EB=FD$，$∠ EBA=∠ FDC$，下列条件中不一定能判定$△ ABE≌△ CDF$的是(
A.$∠ E=∠ F$
B.$AB=CD$
C.$AE// CF$
D.$AE=CF$
D
).A.$∠ E=∠ F$
B.$AB=CD$
C.$AE// CF$
D.$AE=CF$
答案
7.D
解析
【分析】
要判断哪个选项不一定能判定△ABE≌△CDF，首先明确已知条件：已有一组边EB=FD相等，一组角∠EBA=∠FDC相等，需结合全等三角形的判定定理（ASA、AAS、SAS、SSS）逐一分析每个选项补充的条件是否满足判定要求，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
已知EB=FD，∠EBA=∠FDC，逐个分析选项：
A. 添加∠E=∠F，在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F\\ EB=FD\\ ∠ EBA=∠ FDC\end{array} $
符合ASA判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意；
B. 添加AB=CD，在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ ∠ EBA=∠ FDC\\ EB=FD\end{array} $
符合SAS判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意；
C. 添加AE//CF，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠A=∠FCD，在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ FCD\\ ∠ EBA=∠ FDC\\ EB=FD\end{array} $
符合AAS判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意；
D. 添加AE=CF，此时满足的条件为AE=CF，EB=FD，∠EBA=∠FDC，属于SSA的情形，没有对应的全等判定定理，不能判定△ABE≌△CDF，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行线的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是牢记全等三角形的判定定理，尤其要注意SSA不能作为判定三角形全等的依据，需结合已知条件逐一验证选项。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项不一定能判定△ABE≌△CDF，首先明确已知条件：已有一组边EB=FD相等，一组角∠EBA=∠FDC相等，需结合全等三角形的判定定理（ASA、AAS、SAS、SSS）逐一分析每个选项补充的条件是否满足判定要求，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
已知EB=FD，∠EBA=∠FDC，逐个分析选项：
A. 添加∠E=∠F，在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F\\ EB=FD\\ ∠ EBA=∠ FDC\end{array} $
符合ASA判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意；
B. 添加AB=CD，在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ ∠ EBA=∠ FDC\\ EB=FD\end{array} $
符合SAS判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意；
C. 添加AE//CF，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠A=∠FCD，在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ FCD\\ ∠ EBA=∠ FDC\\ EB=FD\end{array} $
符合AAS判定定理，可证△ABE≌△CDF，不符合题意；
D. 添加AE=CF，此时满足的条件为AE=CF，EB=FD，∠EBA=∠FDC，属于SSA的情形，没有对应的全等判定定理，不能判定△ABE≌△CDF，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行线的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是牢记全等三角形的判定定理，尤其要注意SSA不能作为判定三角形全等的依据，需结合已知条件逐一验证选项。
【难度系数】
0.7
8.如图，点B，D，C在同一条直线上，且点A在线段BC的垂直平分线上，∠BAC=120°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC的度数为(
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
A
)。A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
答案
8.A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先利用线段垂直平分线的性质，判断出△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠BAC的度数，计算出底角∠B的度数；②再根据D在AB的垂直平分线上，得到AD=BD，推出∠BAD=∠B；③最后利用三角形外角的性质，计算∠ADC的度数即可。
【解析】
1. 因为点A在线段BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
已知∠BAC=120°，根据三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，因此$∠ B=∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°$。
2. 因为点D在线段AB的垂直平分线上，同理可得AD=BD，所以△ABD也为等腰三角形，$∠ BAD=∠ B=30°$。
3. ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=30°+30°=60°$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是灵活运用线段垂直平分线和等腰三角形的边角性质，结合三角形外角定理逐步推导角度，解题时注意不要混淆各角的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①先利用线段垂直平分线的性质，判断出△ABC是等腰三角形，结合已知顶角∠BAC的度数，计算出底角∠B的度数；②再根据D在AB的垂直平分线上，得到AD=BD，推出∠BAD=∠B；③最后利用三角形外角的性质，计算∠ADC的度数即可。
【解析】
1. 因为点A在线段BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
已知∠BAC=120°，根据三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，因此$∠ B=∠ C=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°$。
2. 因为点D在线段AB的垂直平分线上，同理可得AD=BD，所以△ABD也为等腰三角形，$∠ BAD=∠ B=30°$。
3. ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=30°+30°=60°$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是灵活运用线段垂直平分线和等腰三角形的边角性质，结合三角形外角定理逐步推导角度，解题时注意不要混淆各角的对应关系即可。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$BE$平分$∠ ABC$,且$BE⊥ AC$,垂足为$E$,$BE$与$CD$相交于点$F$,$H$是边$BC$的中点,连接$DH$与$BE$相交于点$G$,下列结论:①$AB=BC$;②$BF=AC$;③$S_{△ BCF}=2S_{△ BDG}$.其中正确的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
D
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
9.D
解析
【分析】
我们需要逐个验证3个结论是否正确：
1. 验证AB=BC：BE既是∠ABC的角平分线，又是AC边上的高，可通过ASA证明△ABE≌△CBE，直接得到对应边AB=BC；
2. 验证BF=AC：先由∠ABC=45°、CD⊥AB推出△BDC是等腰直角三角形，得BD=CD，再通过同角的余角相等得∠DBF=∠DCA，用ASA证明△BDF≌△CDA，即可得到对应边BF=AC；
3. 验证面积关系：可采用赋值法结合角平分线性质、面积和差推导，分别计算两个三角形的面积，对比即可得出结论。
【解析】
① 证明AB=BC：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CBE \\BE=BE \\∠AEB=∠CEB\end{array} $
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=BC，结论①正确。
② 证明BF=AC：
∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠CDA=90°，
∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，
∴∠DBF=∠DCA，
在△BDF和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CDA \\BD=CD \\∠DBF=∠DCA\end{array} $
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，结论②正确。
③ 证明$S_{△ BCF}=2S_{△ BDG}$：
设BD=CD=1（符合等腰Rt△BDC的边长性质），则$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{2}$，
由①得AB=BC=$\sqrt{2}$，
∴AD=AB-BD=$\sqrt{2}-1$，
由②得△BDF≌△CDA，
∴DF=AD=$\sqrt{2}-1$，
∴$S_{△BCF}=S_{△BCD}-S_{△BDF}=\frac{1}{2} × 1 × 1 - \frac{1}{2} ×1 × (\sqrt{2}-1)=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
H是BC中点，等腰Rt△BDC中DH是中线，
∴$BH=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$S_{△BDH}=\frac{1}{2}S_{△BCD}=\frac{1}{4}$。
过G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，
∵G在角平分线BE上，
∴GM=GN，设GM=GN=x，
则$S_{△BDG}=\frac{1}{2} · BD · GM=\frac{1}{2}x$，$S_{△BGH}=\frac{1}{2} · BH · GN=\frac{\sqrt{2}}{4}x$，
∵$S_{△BDH}=S_{△BDG}+S_{△BGH}$，
∴$\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{4}x=\frac{1}{4}$，解得$x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
∴$S_{△BDG}=\frac{1}{2}x=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，即$S_{△BCF}=2S_{△BDG}$，结论③正确。
综上，3个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合题，需要结合图形性质逐个推导结论，既考查基础的全等、等腰三角形知识点，又对面积推导的逻辑能力有一定要求，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65
我们需要逐个验证3个结论是否正确：
1. 验证AB=BC：BE既是∠ABC的角平分线，又是AC边上的高，可通过ASA证明△ABE≌△CBE，直接得到对应边AB=BC；
2. 验证BF=AC：先由∠ABC=45°、CD⊥AB推出△BDC是等腰直角三角形，得BD=CD，再通过同角的余角相等得∠DBF=∠DCA，用ASA证明△BDF≌△CDA，即可得到对应边BF=AC；
3. 验证面积关系：可采用赋值法结合角平分线性质、面积和差推导，分别计算两个三角形的面积，对比即可得出结论。
【解析】
① 证明AB=BC：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CBE \\BE=BE \\∠AEB=∠CEB\end{array} $
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=BC，结论①正确。
② 证明BF=AC：
∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠CDA=90°，
∵∠DBF+∠A=90°，∠DCA+∠A=90°，
∴∠DBF=∠DCA，
在△BDF和△CDA中：
$\{\begin{array}{l}∠BDF=∠CDA \\BD=CD \\∠DBF=∠DCA\end{array} $
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，结论②正确。
③ 证明$S_{△ BCF}=2S_{△ BDG}$：
设BD=CD=1（符合等腰Rt△BDC的边长性质），则$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{2}$，
由①得AB=BC=$\sqrt{2}$，
∴AD=AB-BD=$\sqrt{2}-1$，
由②得△BDF≌△CDA，
∴DF=AD=$\sqrt{2}-1$，
∴$S_{△BCF}=S_{△BCD}-S_{△BDF}=\frac{1}{2} × 1 × 1 - \frac{1}{2} ×1 × (\sqrt{2}-1)=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$。
H是BC中点，等腰Rt△BDC中DH是中线，
∴$BH=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$S_{△BDH}=\frac{1}{2}S_{△BCD}=\frac{1}{4}$。
过G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N，
∵G在角平分线BE上，
∴GM=GN，设GM=GN=x，
则$S_{△BDG}=\frac{1}{2} · BD · GM=\frac{1}{2}x$，$S_{△BGH}=\frac{1}{2} · BH · GN=\frac{\sqrt{2}}{4}x$，
∵$S_{△BDH}=S_{△BDG}+S_{△BGH}$，
∴$\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{4}x=\frac{1}{4}$，解得$x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
∴$S_{△BDG}=\frac{1}{2}x=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，即$S_{△BCF}=2S_{△BDG}$，结论③正确。
综上，3个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形综合题，需要结合图形性质逐个推导结论，既考查基础的全等、等腰三角形知识点，又对面积推导的逻辑能力有一定要求，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65
