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23.已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，其中$abcd≠0,a≠b,c≠d$。求证:(1)$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$;(2)$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$。
答案
(1)$\because \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1,\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+1$,且$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$. 即$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
(2)由(1)得,$\frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}$.
又由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$得$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$,即$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$,$\therefore \frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$.
$\therefore \frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}$,即$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$. 即$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
(2)由(1)得,$\frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}$.
又由$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$得$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$,即$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$,$\therefore \frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$.
$\therefore \frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}$,即$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$.
解析
【分析】
本题是比例性质的证明题，解题思路可从待证结论和已知条件的关联入手：
(1) 观察待证式$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，左右两边的分式均可拆分出已知的$\frac{a}{b}$、$\frac{c}{d}$：$\frac{a+b}{b}$可拆为$\frac{a}{b}+1$，$\frac{c+d}{d}$可拆为$\frac{c}{d}+1$，结合已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，两边加相等的常数1即可证得结论；
(2) 第二问可仿照第一问的思路，先将已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时减1，得到$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，再结合第一问的结论，将两个得到的比例式变形，消去公共的$\frac{b}{d}$，整理后即可得到待证结论，题目给出的$abcd≠0、a≠b、c≠d$保证了所有分式的分母不为0，变形均合法。
【解析】
(1) 证明：
$\because \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$，$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}=\frac{c}{d}+1$，
又已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，
即$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，第一问得证。
(2) 证明：
由(1)的结论$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，根据比例的基本性质交叉变形可得$\frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}$ ①；
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，两边同时减1得：$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，
即$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，交叉变形可得$\frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$ ②；
结合①②可得$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$，
交叉整理得$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$，第二问得证。
【答案】
(1) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$成立；
(2) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$成立。
【知识点】
比例的基本性质，分式的运算
【点评】
本题为比例相关的基础证明题，核心解题技巧是通过对分式拆分、同加减常数的方式，将待证结论与已知比例建立关联，用到的合比、合分比推导思路是解决比例变形类题目的基础，熟练掌握后可快速处理同类比例证明、化简问题。
【难度系数】
0.8
本题是比例性质的证明题，解题思路可从待证结论和已知条件的关联入手：
(1) 观察待证式$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，左右两边的分式均可拆分出已知的$\frac{a}{b}$、$\frac{c}{d}$：$\frac{a+b}{b}$可拆为$\frac{a}{b}+1$，$\frac{c+d}{d}$可拆为$\frac{c}{d}+1$，结合已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，两边加相等的常数1即可证得结论；
(2) 第二问可仿照第一问的思路，先将已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时减1，得到$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，再结合第一问的结论，将两个得到的比例式变形，消去公共的$\frac{b}{d}$，整理后即可得到待证结论，题目给出的$abcd≠0、a≠b、c≠d$保证了所有分式的分母不为0，变形均合法。
【解析】
(1) 证明：
$\because \frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$，$\frac{c+d}{d}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}=\frac{c}{d}+1$，
又已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，
即$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，第一问得证。
(2) 证明：
由(1)的结论$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$，根据比例的基本性质交叉变形可得$\frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}$ ①；
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，两边同时减1得：$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，
即$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$，交叉变形可得$\frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}$ ②；
结合①②可得$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}$，
交叉整理得$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$，第二问得证。
【答案】
(1) $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$成立；
(2) $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$成立。
【知识点】
比例的基本性质，分式的运算
【点评】
本题为比例相关的基础证明题，核心解题技巧是通过对分式拆分、同加减常数的方式，将待证结论与已知比例建立关联，用到的合比、合分比推导思路是解决比例变形类题目的基础，熟练掌握后可快速处理同类比例证明、化简问题。
【难度系数】
0.8
24.在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一.所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的.
例:若$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$,求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.
解:$\because \frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4},\therefore \frac{x^2+1}{x}=4$,即$\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=4$.
$\therefore x+\frac{1}{x}=4.\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=16-2=14$.
依照上述方法,解答下列问题.
(1)已知$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{4}$,求$x+\frac{1}{x}$的值.
(2)已知$x,y,z$为实数,$\frac{xy}{x+y}=-2,\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3},\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$,求分式$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值.
例:若$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4}$,求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值.
解:$\because \frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{4},\therefore \frac{x^2+1}{x}=4$,即$\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=4$.
$\therefore x+\frac{1}{x}=4.\therefore x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=16-2=14$.
依照上述方法,解答下列问题.
(1)已知$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{4}$,求$x+\frac{1}{x}$的值.
(2)已知$x,y,z$为实数,$\frac{xy}{x+y}=-2,\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3},\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$,求分式$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值.
答案
(1)5. (2)$-4$.
解析
【分析】
本题考查倒数法在分式化简求值中的应用。(1)参照例题思路，先对已知分式取倒数，利用分式拆分法则变形，即可直接求出$x+\frac{1}{x}$的值；(2)先对三个已知分式分别取倒数，拆分得到$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$、$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$、$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}$三个式子，将三式相加求出$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$的值，再对待求分式取倒数拆分，即可结合前面的结果计算出答案。
【解析】
(1) 由题意可知$x≠0$，对$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{4}$两边同时取倒数得：
$\frac{x^2 -x +1}{x}=4$
拆分分式得：$x - 1 + \frac{1}{x}=4$
移项得：$x+\frac{1}{x}=4+1=5$
(2) 由题意可知$x≠0$，$y≠0$，$z≠0$，且$x+y≠0$，$y+z≠0$，$z+x≠0$，对三个已知等式分别取倒数：
由$\frac{xy}{x+y}=-2$得$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{2}$，拆分得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}$ ①
由$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$得$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，拆分得$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$ ②
由$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$得$\frac{z+x}{zx}=-\frac{3}{4}$，拆分得$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=-\frac{3}{4}$ ③
将①+②+③得：$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$
解得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{4}$
对待求式$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$取倒数得：
$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{4}$
因此$\frac{xyz}{xy+yz+zx}=-4$
【答案】
(1)5；(2)-4
【知识点】
1. 倒数法求值 2. 分式的基本性质 3. 分式化简运算
【点评】
本题是分式化简的技巧性题型，核心是掌握倒数法的变形思路，通过取倒数将分式拆分为两个分式的和，将已知条件和待求式建立关联，再利用整体代入的思想求值，解题前要先确认分母不为0，保证取倒数的变形合法。
【难度系数】
0.6
本题考查倒数法在分式化简求值中的应用。(1)参照例题思路，先对已知分式取倒数，利用分式拆分法则变形，即可直接求出$x+\frac{1}{x}$的值；(2)先对三个已知分式分别取倒数，拆分得到$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$、$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$、$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}$三个式子，将三式相加求出$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$的值，再对待求分式取倒数拆分，即可结合前面的结果计算出答案。
【解析】
(1) 由题意可知$x≠0$，对$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{4}$两边同时取倒数得：
$\frac{x^2 -x +1}{x}=4$
拆分分式得：$x - 1 + \frac{1}{x}=4$
移项得：$x+\frac{1}{x}=4+1=5$
(2) 由题意可知$x≠0$，$y≠0$，$z≠0$，且$x+y≠0$，$y+z≠0$，$z+x≠0$，对三个已知等式分别取倒数：
由$\frac{xy}{x+y}=-2$得$\frac{x+y}{xy}=-\frac{1}{2}$，拆分得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}$ ①
由$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$得$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，拆分得$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$ ②
由$\frac{zx}{z+x}=-\frac{4}{3}$得$\frac{z+x}{zx}=-\frac{3}{4}$，拆分得$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=-\frac{3}{4}$ ③
将①+②+③得：$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$
解得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{4}$
对待求式$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$取倒数得：
$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{4}$
因此$\frac{xyz}{xy+yz+zx}=-4$
【答案】
(1)5；(2)-4
【知识点】
1. 倒数法求值 2. 分式的基本性质 3. 分式化简运算
【点评】
本题是分式化简的技巧性题型，核心是掌握倒数法的变形思路，通过取倒数将分式拆分为两个分式的和，将已知条件和待求式建立关联，再利用整体代入的思想求值，解题前要先确认分母不为0，保证取倒数的变形合法。
【难度系数】
0.6
