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19.先化简,再求值:$(\dfrac{2x-1}{x+1}-x+1)÷\dfrac{x-2}{x^2+2x+1}$,其中$x=-2$.
答案
原式$=-x^2 -x =-2$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先计算括号内的分式减法，将整式部分通分转化为同分母分式运算；第二步将除法运算转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分，得到最简整式；第三步将x的值代入最简整式计算结果。运算时要注意符号处理，避免通分、约分环节出错。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(\dfrac{2x-1}{x+1}-x+1)÷\dfrac{x-2}{x^2+2x+1}\\=&[\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}]×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&\dfrac{2x-1-(x^2-1)}{x+1}×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&\dfrac{2x-1-x^2+1}{x+1}×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&\dfrac{-x^2+2x}{x+1}×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&\dfrac{-x(x-2)}{x+1}×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&-x(x+1)\\=&-x^2 -x\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-(-2)^2 - (-2)\\&=-4 + 2\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，重点考查运算顺序和符号处理能力，通分时注意整式部分的变形，约分前先对分子分母因式分解可简化运算，代值计算时要注意负数乘方、正负号的运算规则。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先计算括号内的分式减法，将整式部分通分转化为同分母分式运算；第二步将除法运算转化为乘法运算，对多项式因式分解后约分，得到最简整式；第三步将x的值代入最简整式计算结果。运算时要注意符号处理，避免通分、约分环节出错。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(\dfrac{2x-1}{x+1}-x+1)÷\dfrac{x-2}{x^2+2x+1}\\=&[\dfrac{2x-1}{x+1}-\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}]×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&\dfrac{2x-1-(x^2-1)}{x+1}×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&\dfrac{2x-1-x^2+1}{x+1}×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&\dfrac{-x^2+2x}{x+1}×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&\dfrac{-x(x-2)}{x+1}×\dfrac{(x+1)^2}{x-2}\\=&-x(x+1)\\=&-x^2 -x\end{aligned}$
将$x=-2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-(-2)^2 - (-2)\\&=-4 + 2\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，重点考查运算顺序和符号处理能力，通分时注意整式部分的变形，约分前先对分子分母因式分解可简化运算，代值计算时要注意负数乘方、正负号的运算规则。
【难度系数】
0.7
20.已知$x^2 + 3x = -1$，求$x - \dfrac{1}{x + 1}$的值。
答案
$\because x-\frac{1}{x+1}=\frac{x^2+x-1}{x+1},x^2+3x=-1$，
$\therefore x^2=-1-3x,\frac{x^2+x-1}{x+1}=\frac{-1-3x+x-1}{x+1}=\frac{-2-2x}{x+1}=\frac{-2(x+1)}{x+1}=-2$.
即$x-\frac{1}{x+1}$的值为$-2$.
$\therefore x^2=-1-3x,\frac{x^2+x-1}{x+1}=\frac{-1-3x+x-1}{x+1}=\frac{-2-2x}{x+1}=\frac{-2(x+1)}{x+1}=-2$.
即$x-\frac{1}{x+1}$的值为$-2$.
解析
【分析】
要求代数式$x-\dfrac{1}{x+1}$的值，直接解方程求x再代入计算较繁琐，可先将所求分式通分合并为一个分式，再利用已知条件$x^2+3x=-1$把二次项$x^2$转化为含x的一次式，代入通分后的分子化简，最后约去分母即可得到结果，且可验证分母$x+1≠0$，约分合法。
【解析】
先对所求代数式通分化简：
$x-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x(x+1)-1}{x+1}=\dfrac{x^2+x-1}{x+1}$
由已知$x^2+3x=-1$，变形得$x^2=-1-3x$，将其代入上式分子：
$x^2+x-1=(-1-3x)+x-1=-2x-2=-2(x+1)$
代入原式得：
$\dfrac{x^2+x-1}{x+1}=\dfrac{-2(x+1)}{x+1}$
验证：若$x+1=0$，即$x=-1$，代入$x^2+3x=1-3=-2≠-1$，故$x+1≠0$，可约分，得结果为$-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
分式化简、整体代入、代数式求值
【点评】
本题将分式运算和代数式求值结合考查，核心是运用整体代入思想降次，无需解出x的具体值，通过约分即可简化运算，避免了复杂计算。
【难度系数】
0.7
要求代数式$x-\dfrac{1}{x+1}$的值，直接解方程求x再代入计算较繁琐，可先将所求分式通分合并为一个分式，再利用已知条件$x^2+3x=-1$把二次项$x^2$转化为含x的一次式，代入通分后的分子化简，最后约去分母即可得到结果，且可验证分母$x+1≠0$，约分合法。
【解析】
先对所求代数式通分化简：
$x-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x(x+1)-1}{x+1}=\dfrac{x^2+x-1}{x+1}$
由已知$x^2+3x=-1$，变形得$x^2=-1-3x$，将其代入上式分子：
$x^2+x-1=(-1-3x)+x-1=-2x-2=-2(x+1)$
代入原式得：
$\dfrac{x^2+x-1}{x+1}=\dfrac{-2(x+1)}{x+1}$
验证：若$x+1=0$，即$x=-1$，代入$x^2+3x=1-3=-2≠-1$，故$x+1≠0$，可约分，得结果为$-2$。
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
分式化简、整体代入、代数式求值
【点评】
本题将分式运算和代数式求值结合考查，核心是运用整体代入思想降次，无需解出x的具体值，通过约分即可简化运算，避免了复杂计算。
【难度系数】
0.7
21.某商场购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元，已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价.
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元.销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
(1)求甲、乙两种商品每件的进价.
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元.销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变.要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
答案
(1)设甲种商品每件进价为x元,则乙种商品每件进价为$(x+8)$元，
则$\frac{2000}{x}=\frac{2400}{x+8}$，
解得$x=40$.
经检验,$x=40$是原方程的解.
$x+8=48$,$\therefore$乙种商品每件进价为48元.
答:甲、乙两种商品每件进价分别为40元和48元.
(2)设甲种商品按原销售单价销售y件，
则$\frac{2000}{40}=50$,$(60-40)y+(60×0.7-40)(50-y)+(88-48)×50≥2460$，
解得$y≥20$.
答:甲种商品按原销售单价至少销售20件.
则$\frac{2000}{x}=\frac{2400}{x+8}$，
解得$x=40$.
经检验,$x=40$是原方程的解.
$x+8=48$,$\therefore$乙种商品每件进价为48元.
答:甲、乙两种商品每件进价分别为40元和48元.
(2)设甲种商品按原销售单价销售y件，
则$\frac{2000}{40}=50$,$(60-40)y+(60×0.7-40)(50-y)+(88-48)×50≥2460$，
解得$y≥20$.
答:甲种商品按原销售单价至少销售20件.
解析
【分析】
(1) 求解两种商品的进价，核心等量关系为甲、乙两种商品的购进件数相等，而购进件数=总进价÷单件进价。可设甲种商品每件进价为x元，用含x的式子表示乙的进价，再根据等量关系列分式方程求解，分式方程求解后需检验根是否符合实际意义。
(2) 求解甲按原价至少销售的件数，首先先算出甲、乙商品的总购进件数，再抓住“总获利不少于2460元”的不等关系列不等式：总获利=甲原价销售的利润+甲打折销售的利润+乙全部销售的利润，总获利≥2460，解不等式后取符合条件的最小正整数即可。
【解析】
(1) 设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为$(x+8)$元。
由甲乙购进件数相等，列方程：
$\frac{2000}{x}=\frac{2400}{x+8}$
交叉相乘得$2000(x+8)=2400x$，展开计算得$400x=16000$，解得$x=40$。
经检验，$x=40$是原方程的解，且符合实际意义。
则乙种商品每件进价为$x+8=40+8=48$元。
(2) 先计算甲、乙商品的购进件数：$\frac{2000}{40}=50$件，即甲、乙各购进50件。
设甲种商品按原销售单价销售y件，则打折销售的甲商品为$(50-y)$件。
甲原价销售每件利润为$60-40=20$元，甲打折销售每件利润为$60×0.7-40=2$元，乙每件利润为$88-48=40$元。
根据总获利不少于2460元，列不等式：
$20y + 2(50-y) + 40×50 ≥ 2460$
化简得$18y + 2100 ≥ 2460$，解得$y≥20$。
【答案】
(1) 甲种商品每件进价为40元，乙种商品每件进价为48元；
(2) 甲种商品按原销售单价至少销售20件。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的实际应用题，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后必须验根，不等式的解要符合实际场景的数量要求。
【难度系数】
0.7
(1) 求解两种商品的进价，核心等量关系为甲、乙两种商品的购进件数相等，而购进件数=总进价÷单件进价。可设甲种商品每件进价为x元，用含x的式子表示乙的进价，再根据等量关系列分式方程求解，分式方程求解后需检验根是否符合实际意义。
(2) 求解甲按原价至少销售的件数，首先先算出甲、乙商品的总购进件数，再抓住“总获利不少于2460元”的不等关系列不等式：总获利=甲原价销售的利润+甲打折销售的利润+乙全部销售的利润，总获利≥2460，解不等式后取符合条件的最小正整数即可。
【解析】
(1) 设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为$(x+8)$元。
由甲乙购进件数相等，列方程：
$\frac{2000}{x}=\frac{2400}{x+8}$
交叉相乘得$2000(x+8)=2400x$，展开计算得$400x=16000$，解得$x=40$。
经检验，$x=40$是原方程的解，且符合实际意义。
则乙种商品每件进价为$x+8=40+8=48$元。
(2) 先计算甲、乙商品的购进件数：$\frac{2000}{40}=50$件，即甲、乙各购进50件。
设甲种商品按原销售单价销售y件，则打折销售的甲商品为$(50-y)$件。
甲原价销售每件利润为$60-40=20$元，甲打折销售每件利润为$60×0.7-40=2$元，乙每件利润为$88-48=40$元。
根据总获利不少于2460元，列不等式：
$20y + 2(50-y) + 40×50 ≥ 2460$
化简得$18y + 2100 ≥ 2460$，解得$y≥20$。
【答案】
(1) 甲种商品每件进价为40元，乙种商品每件进价为48元；
(2) 甲种商品按原销售单价至少销售20件。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的实际应用题，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后必须验根，不等式的解要符合实际场景的数量要求。
【难度系数】
0.7
22.某校决定在暑假期间将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队.若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做，则还需要18天才能完成.
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）甲队每天工资为3000元，乙队每天工资为1400元.学校要求在12天内将学生公寓楼装修完毕，若甲队工作m天，乙队工作n天，求m的取值范围，并求出学校需支付的最少总工资.
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）甲队每天工资为3000元，乙队每天工资为1400元.学校要求在12天内将学生公寓楼装修完毕，若甲队工作m天，乙队工作n天，求m的取值范围，并求出学校需支付的最少总工资.
答案
(1)设甲队单独完成这项工程需要x天.
列方程得$\frac{3}{x}+18(\frac{1}{8}-\frac{1}{x})=1$,解得$x=12$.
$1÷(\frac{1}{8}-\frac{1}{12})=24$.
故甲、乙两队单独完成这项工程各需要12天、24天.
(2)由题意得$\frac{m}{12}+\frac{n}{24}=1$,解得$n=24-2m$.
$\because m≤12,n≤12$，
$\therefore 24-2m≤12. \therefore m≥6.\therefore 6≤ m≤12$.
设总工资为y元,则$y=3000m+1400(24-2m)=200m+33600$.
$\because m$越大,y越大,$\therefore$当$m=6$时,y最小,此时$y=34800$.
故学校最少需支付总工资34800元.
列方程得$\frac{3}{x}+18(\frac{1}{8}-\frac{1}{x})=1$,解得$x=12$.
$1÷(\frac{1}{8}-\frac{1}{12})=24$.
故甲、乙两队单独完成这项工程各需要12天、24天.
(2)由题意得$\frac{m}{12}+\frac{n}{24}=1$,解得$n=24-2m$.
$\because m≤12,n≤12$，
$\therefore 24-2m≤12. \therefore m≥6.\therefore 6≤ m≤12$.
设总工资为y元,则$y=3000m+1400(24-2m)=200m+33600$.
$\because m$越大,y越大,$\therefore$当$m=6$时,y最小,此时$y=34800$.
故学校最少需支付总工资34800元.
解析
【分析】
（1）本题属于工程问题，我们将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总时长。已知两队合作8天完成，因此两队合作的工作效率为$\frac{1}{8}$，若设甲单独完成需x天，则甲的效率为$\frac{1}{x}$，乙的效率可表示为$(\frac{1}{8}-\frac{1}{x})$。根据“甲3天的工作量+乙18天的工作量=总工作量1”即可列方程求解甲的单独完成时长，再代入乙的效率表达式求乙的单独完成时长。
（2）首先根据总工作量为1，建立甲工作m天、乙工作n天的等量关系，得到m与n的关系式；再结合“12天内完成”的要求，即m、n均不超过12，列不等式求解m的取值范围。接着将总工资表示为关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最少总工资。
【解析】
（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，两队合作效率为$\frac{1}{8}$，因此乙队的工作效率为$\frac{1}{8}-\frac{1}{x}$。
根据题意列方程：
$\frac{3}{x}+18(\frac{1}{8}-\frac{1}{x})=1$
解方程得$x=12$，经检验$x=12$是原方程的解且符合实际意义。
则乙队的工作效率为$\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$，乙队单独完成所需时间为$1÷\frac{1}{24}=24$（天）。
（2）由题意，甲队工作m天、乙队工作n天完成总工程，因此：
$\frac{m}{12}+\frac{n}{24}=1$
化简得$n=24-2m$。
∵ 要求12天内完成，
∴ $m≤12$，$n≤12$，
代入n的表达式得：$24-2m≤12$，解得$m≥6$。
因此m的取值范围为$6≤ m≤12$。
设总工资为y元，根据题意得：
$y=3000m + 1400n$
将$n=24-2m$代入得：
$y=3000m +1400(24-2m)=200m +33600$
∵ $200＞0$，
∴ y随m的增大而增大，
∴ 当m取最小值6时，总工资y最小，此时$y=200×6 +33600=34800$（元）。
【答案】
（1）甲队单独完成这项工程需要12天，乙队单独完成这项工程需要24天；
（2）m的取值范围是$6≤ m≤12$，学校需支付的最少总工资为34800元。
【知识点】
工程问题，分式方程的应用，一次函数的应用
【点评】
本题是工程类综合应用题，将工程问题、分式方程、一元一次不等式、一次函数最值相结合，解题的核心是将总工作量看作单位“1”，准确找到等量关系列方程，再结合函数的增减性求解最值，能有效考察学生的知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）本题属于工程问题，我们将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总时长。已知两队合作8天完成，因此两队合作的工作效率为$\frac{1}{8}$，若设甲单独完成需x天，则甲的效率为$\frac{1}{x}$，乙的效率可表示为$(\frac{1}{8}-\frac{1}{x})$。根据“甲3天的工作量+乙18天的工作量=总工作量1”即可列方程求解甲的单独完成时长，再代入乙的效率表达式求乙的单独完成时长。
（2）首先根据总工作量为1，建立甲工作m天、乙工作n天的等量关系，得到m与n的关系式；再结合“12天内完成”的要求，即m、n均不超过12，列不等式求解m的取值范围。接着将总工资表示为关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最少总工资。
【解析】
（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则甲队的工作效率为$\frac{1}{x}$，两队合作效率为$\frac{1}{8}$，因此乙队的工作效率为$\frac{1}{8}-\frac{1}{x}$。
根据题意列方程：
$\frac{3}{x}+18(\frac{1}{8}-\frac{1}{x})=1$
解方程得$x=12$，经检验$x=12$是原方程的解且符合实际意义。
则乙队的工作效率为$\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{1}{24}$，乙队单独完成所需时间为$1÷\frac{1}{24}=24$（天）。
（2）由题意，甲队工作m天、乙队工作n天完成总工程，因此：
$\frac{m}{12}+\frac{n}{24}=1$
化简得$n=24-2m$。
∵ 要求12天内完成，
∴ $m≤12$，$n≤12$，
代入n的表达式得：$24-2m≤12$，解得$m≥6$。
因此m的取值范围为$6≤ m≤12$。
设总工资为y元，根据题意得：
$y=3000m + 1400n$
将$n=24-2m$代入得：
$y=3000m +1400(24-2m)=200m +33600$
∵ $200＞0$，
∴ y随m的增大而增大，
∴ 当m取最小值6时，总工资y最小，此时$y=200×6 +33600=34800$（元）。
【答案】
（1）甲队单独完成这项工程需要12天，乙队单独完成这项工程需要24天；
（2）m的取值范围是$6≤ m≤12$，学校需支付的最少总工资为34800元。
【知识点】
工程问题，分式方程的应用，一次函数的应用
【点评】
本题是工程类综合应用题，将工程问题、分式方程、一元一次不等式、一次函数最值相结合，解题的核心是将总工作量看作单位“1”，准确找到等量关系列方程，再结合函数的增减性求解最值，能有效考察学生的知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6
