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10.如果$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=4$，那么$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$的值为(
A.1
B.1.5
C.2
D.3
D
).A.1
B.1.5
C.2
D.3
答案
D
解析
【分析】
我们可以结合已知条件和待求式的结构特征来思考：首先回忆完全平方公式的展开形式，先对已知的分式等式通分，推导得到$a^2+b^2$与$ab$的数量关系；再将待求分式的分子、分母分别用完全平方公式展开，把$a^2+b^2$替换为含$ab$的式子，最后约分即可得到结果。
【解析】
解：先处理已知条件$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=4$，对等式左侧通分得：
$\frac{b^2+a^2}{ab}=4$，
由原式可知$a≠0$、$b≠0$，因此$ab≠0$，等式两边同乘$ab$得：
$a^2 + b^2 = 4ab$。
再展开待求式的分子和分母：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
将$a^2 + b^2 = 4ab$代入得：
分子$=4ab + 2ab = 6ab$，
分母$=4ab - 2ab = 2ab$，
因此$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{6ab}{2ab}=3$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、分式通分、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算与完全平方公式结合的常考题型，解题核心是通过已知条件推导出$a^2+b^2$与$ab$的数量关系，再整体代入待求式消元即可，需要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
我们可以结合已知条件和待求式的结构特征来思考：首先回忆完全平方公式的展开形式，先对已知的分式等式通分，推导得到$a^2+b^2$与$ab$的数量关系；再将待求分式的分子、分母分别用完全平方公式展开，把$a^2+b^2$替换为含$ab$的式子，最后约分即可得到结果。
【解析】
解：先处理已知条件$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=4$，对等式左侧通分得：
$\frac{b^2+a^2}{ab}=4$，
由原式可知$a≠0$、$b≠0$，因此$ab≠0$，等式两边同乘$ab$得：
$a^2 + b^2 = 4ab$。
再展开待求式的分子和分母：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
将$a^2 + b^2 = 4ab$代入得：
分子$=4ab + 2ab = 6ab$，
分母$=4ab - 2ab = 2ab$，
因此$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{6ab}{2ab}=3$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、分式通分、分式化简求值
【点评】
本题是分式运算与完全平方公式结合的常考题型，解题核心是通过已知条件推导出$a^2+b^2$与$ab$的数量关系，再整体代入待求式消元即可，需要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.将0.000 12用科学记数法表示为
11.将0.000 12用科学记数法表示为
$1.2×10^{-4}$
.答案
$1.2×10^{-4}$
解析
【分析】
要把小于1的正数用科学记数法表示，首先回忆科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中需要满足$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。当原数小于1时，$n$是负整数，$n$的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的那个0）。我们先找到0.00012里第一个非零数字是1，数它前面的0的个数，再确定$a$的值即可。
【解析】
科学记数法的形式为$a × 10^n$（$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数）。
第一步，确定$a$：将0.00012的小数点向右移动4位，得到1.2，满足$1 ≤ 1.2 ＜ 10$，所以$a=1.2$。
第二步，确定指数$n$：原数小于1，且小数点向右移动了4位，因此$n=-4$。
综上，0.00012用科学记数法表示为$1.2 × 10^{-4}$。
【答案】
$1.2×10^{-4}$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，核心是掌握$a$的取值范围和指数$n$的确定规则，是基础类题型，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要把小于1的正数用科学记数法表示，首先回忆科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中需要满足$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。当原数小于1时，$n$是负整数，$n$的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的那个0）。我们先找到0.00012里第一个非零数字是1，数它前面的0的个数，再确定$a$的值即可。
【解析】
科学记数法的形式为$a × 10^n$（$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数）。
第一步，确定$a$：将0.00012的小数点向右移动4位，得到1.2，满足$1 ≤ 1.2 ＜ 10$，所以$a=1.2$。
第二步，确定指数$n$：原数小于1，且小数点向右移动了4位，因此$n=-4$。
综上，0.00012用科学记数法表示为$1.2 × 10^{-4}$。
【答案】
$1.2×10^{-4}$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，核心是掌握$a$的取值范围和指数$n$的确定规则，是基础类题型，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
12.计算 $2024^0 × (\frac{1}{2})^{-1}$ 的结果是
2
.答案
2
解析
【分析】
要计算该式的结果，可按以下思路逐步推导：首先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算规则，先分别求出两个幂的结果，再将二者相乘即可。首先，非零数的零次幂恒为1，本题底数2024不为0，可直接得出2024⁰的值；其次，根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），求出$(\frac{1}{2})^{-1}$的值，最后做乘法运算得到最终结果。
【解析】
解：根据指数幂的运算规则分步计算：
1. 计算零指数幂：任意非零数的0次幂等于1，因为$2024≠0$，所以$2024^0=1$；
2. 计算负整数指数幂：根据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^1}=2$；
3. 计算乘法：$2024^0 × (\frac{1}{2})^{-1}=1×2=2$。
【答案】
2
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对零指数幂、负整数指数幂运算法则的掌握，只要牢记相关运算规则即可快速得出答案，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
要计算该式的结果，可按以下思路逐步推导：首先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算规则，先分别求出两个幂的结果，再将二者相乘即可。首先，非零数的零次幂恒为1，本题底数2024不为0，可直接得出2024⁰的值；其次，根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），求出$(\frac{1}{2})^{-1}$的值，最后做乘法运算得到最终结果。
【解析】
解：根据指数幂的运算规则分步计算：
1. 计算零指数幂：任意非零数的0次幂等于1，因为$2024≠0$，所以$2024^0=1$；
2. 计算负整数指数幂：根据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^1}=2$；
3. 计算乘法：$2024^0 × (\frac{1}{2})^{-1}=1×2=2$。
【答案】
2
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对零指数幂、负整数指数幂运算法则的掌握，只要牢记相关运算规则即可快速得出答案，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
13.计算:(1)$a^{-2} ÷ a^{3} =$
$\frac{1}{a^5}$
;(2)$( \dfrac{b^{2}}{a} )^{-2} =$$\frac{a^2}{b^4}$
.答案
(1)$\frac{1}{a^5}$ (2)$\frac{a^2}{b^4}$
解析
【分析】
解题时先回忆整数指数幂的相关运算规则：1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为整数）；2. 负整数指数幂的意义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）；3. 幂的乘方底数不变指数相乘，分式乘方要把分子、分母分别乘方。
第(1)题先利用同底数幂的除法法则计算，再将负指数转化为正指数形式即可；第(2)题可以先颠倒分式的分子分母位置，把负指数转为正指数，再分别对分子分母做乘方运算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：
$a^{-2}÷ a^3 = a^{-2 - 3} = a^{-5}$
再根据负整数指数幂的意义，可得：
$a^{-5}=\frac{1}{a^5}$（$a≠0$）
(2) 先处理负指数，将分式的负指数转为正指数：
$( \dfrac{b^{2}}{a} )^{-2} = ( \dfrac{a}{b^2} )^{2}$
再根据分式乘方、幂的乘方法则计算：
$( \dfrac{a}{b^2} )^{2} = \dfrac{a^2}{(b^2)^2} = \dfrac{a^2}{b^4}$（$a≠0,b≠0$）
【答案】
(1)$\frac{1}{a^5}$ (2)$\frac{a^2}{b^4}$
【知识点】
同底数幂的除法、负整数指数幂、幂的乘方运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心考查相关运算法则的应用，解题时要注意指数运算的符号不要出错，负指数转换时要准确颠倒分子分母的位置，熟练掌握法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆整数指数幂的相关运算规则：1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为整数）；2. 负整数指数幂的意义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）；3. 幂的乘方底数不变指数相乘，分式乘方要把分子、分母分别乘方。
第(1)题先利用同底数幂的除法法则计算，再将负指数转化为正指数形式即可；第(2)题可以先颠倒分式的分子分母位置，把负指数转为正指数，再分别对分子分母做乘方运算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：
$a^{-2}÷ a^3 = a^{-2 - 3} = a^{-5}$
再根据负整数指数幂的意义，可得：
$a^{-5}=\frac{1}{a^5}$（$a≠0$）
(2) 先处理负指数，将分式的负指数转为正指数：
$( \dfrac{b^{2}}{a} )^{-2} = ( \dfrac{a}{b^2} )^{2}$
再根据分式乘方、幂的乘方法则计算：
$( \dfrac{a}{b^2} )^{2} = \dfrac{a^2}{(b^2)^2} = \dfrac{a^2}{b^4}$（$a≠0,b≠0$）
【答案】
(1)$\frac{1}{a^5}$ (2)$\frac{a^2}{b^4}$
【知识点】
同底数幂的除法、负整数指数幂、幂的乘方运算
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础题型，核心考查相关运算法则的应用，解题时要注意指数运算的符号不要出错，负指数转换时要准确颠倒分子分母的位置，熟练掌握法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14.A，B两地相距120 km，甲骑摩托车，乙驾驶小汽车，两人同时从A地出发去B地.已知小汽车的速度是摩托车速度的1.6倍，乙中途休息了0.5 h还比甲早到0.4 h，则小汽车的速度为
80
km/h.答案
80
解析
【分析】
这是一道行程类应用题，核心公式为路程=速度×时间。首先梳理已知条件：A、B两地总路程固定为120km，小汽车速度是摩托车的1.6倍，乙（小汽车）中途休息0.5h仍比甲（摩托车）早到0.4h。解题思路如下：第一步找等量关系，甲走完全程的总时间 = 乙行驶全程的时间 + 乙休息的0.5h + 乙比甲早到的0.4h；第二步设未知数，可设摩托车速度为x km/h，即可用含x的式子表示小汽车的速度；第三步根据时间=路程÷速度，分别表示出甲、乙的行驶时间，代入等量关系列分式方程求解，最后检验根的合理性，算出小汽车速度即可。
【解析】
解：设摩托车的速度为$x$ km/h，则小汽车的速度为$1.6x$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{120}{x} = \frac{120}{1.6x} + 0.5 + 0.4$
整理得：$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.6x} = 0.9$
方程两边同时乘$1.6x$消去分母，得：
$120×1.6 - 120 = 0.9×1.6x$
计算化简：
$192 - 120 = 1.44x$
$72 = 1.44x$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$1.6x=80≠0$，所以$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则小汽车的速度为：$1.6×50=80$（km/h）
【答案】
80
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题，解题关键是准确梳理时间差的等量关系，注意不要遗漏乙中途休息的时间，求解分式方程后需检验根是否满足分母不为0且符合实际场景。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类应用题，核心公式为路程=速度×时间。首先梳理已知条件：A、B两地总路程固定为120km，小汽车速度是摩托车的1.6倍，乙（小汽车）中途休息0.5h仍比甲（摩托车）早到0.4h。解题思路如下：第一步找等量关系，甲走完全程的总时间 = 乙行驶全程的时间 + 乙休息的0.5h + 乙比甲早到的0.4h；第二步设未知数，可设摩托车速度为x km/h，即可用含x的式子表示小汽车的速度；第三步根据时间=路程÷速度，分别表示出甲、乙的行驶时间，代入等量关系列分式方程求解，最后检验根的合理性，算出小汽车速度即可。
【解析】
解：设摩托车的速度为$x$ km/h，则小汽车的速度为$1.6x$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{120}{x} = \frac{120}{1.6x} + 0.5 + 0.4$
整理得：$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.6x} = 0.9$
方程两边同时乘$1.6x$消去分母，得：
$120×1.6 - 120 = 0.9×1.6x$
计算化简：
$192 - 120 = 1.44x$
$72 = 1.44x$
解得：$x=50$
检验：当$x=50$时，$1.6x=80≠0$，所以$x=50$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则小汽车的速度为：$1.6×50=80$（km/h）
【答案】
80
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题，解题关键是准确梳理时间差的等量关系，注意不要遗漏乙中途休息的时间，求解分式方程后需检验根是否满足分母不为0且符合实际场景。
【难度系数】
0.6
15.已知$ a_1 $为实数，规定运算：$ a_2 = 1 - \frac{1}{a_1} $，$ a_3 = 1 - \frac{1}{a_2} $，$ a_4 = 1 - \frac{1}{a_3} $，$ a_5 = 1 - \frac{1}{a_4} $，……，$ a_n = 1 - \frac{1}{a_{n-1}} $，按上述方法计算：当$ a_1 = 4 $时，$ a_{2026} $的值等于
4
。答案
4
解析
【分析】
本题是递推数列求指定项的问题，这类带有重复递推规则的题目通常存在周期规律。解题思路如下：首先将已知的$a_1$值代入递推公式，依次计算出前几项的值，观察找到数值重复出现的周期；再用总项数2026除以周期，根据余数判断$a_{2026}$对应周期内的第几项，即可求出结果。
【解析】
已知$a_1=4$，根据递推公式依次计算：
1. 计算$a_2$：
$a_2 = 1 - \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
2. 计算$a_3$：
$a_3 = 1 - \frac{1}{a_2} = 1 - \frac{1}{\frac{3}{4}} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$
3. 计算$a_4$：
$a_4 = 1 - \frac{1}{a_3} = 1 - \frac{1}{-\frac{1}{3}} = 1 + 3 = 4$
观察可得$a_4=a_1$，说明数列的循环周期为3，即每3项为一个循环：$4，\frac{3}{4}，-\frac{1}{3}$。
4. 计算2026除以周期3的余数：
$2026 ÷ 3 = 675······1$，余数为1，说明$a_{2026}$对应周期内的第1项，即等于$a_1$。
【答案】
4
【知识点】
数字变化规律；周期循环问题；代数式求值
【点评】
本题考查数字的变化规律类问题，解题的核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期对应到所求项，这类题型是规律探究题中的常见类型，熟练掌握先枚举找周期的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是递推数列求指定项的问题，这类带有重复递推规则的题目通常存在周期规律。解题思路如下：首先将已知的$a_1$值代入递推公式，依次计算出前几项的值，观察找到数值重复出现的周期；再用总项数2026除以周期，根据余数判断$a_{2026}$对应周期内的第几项，即可求出结果。
【解析】
已知$a_1=4$，根据递推公式依次计算：
1. 计算$a_2$：
$a_2 = 1 - \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
2. 计算$a_3$：
$a_3 = 1 - \frac{1}{a_2} = 1 - \frac{1}{\frac{3}{4}} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$
3. 计算$a_4$：
$a_4 = 1 - \frac{1}{a_3} = 1 - \frac{1}{-\frac{1}{3}} = 1 + 3 = 4$
观察可得$a_4=a_1$，说明数列的循环周期为3，即每3项为一个循环：$4，\frac{3}{4}，-\frac{1}{3}$。
4. 计算2026除以周期3的余数：
$2026 ÷ 3 = 675······1$，余数为1，说明$a_{2026}$对应周期内的第1项，即等于$a_1$。
【答案】
4
【知识点】
数字变化规律；周期循环问题；代数式求值
【点评】
本题考查数字的变化规律类问题，解题的核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期对应到所求项，这类题型是规律探究题中的常见类型，熟练掌握先枚举找周期的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
16.$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$的最小值是
2
.答案
2
解析
【分析】
首先观察所求式子的结构，x²与1/x²的乘积为常数1，可结合完全平方公式变形求解。首先注意x在分母位置，故x≠0，x²恒为正，再利用完全平方的非负性推导式子的取值范围，进而得到最小值。
【解析】
∵ 分式有意义的条件是分母不为0，
∴ x≠0，即x²＞0。
根据完全平方公式可得：
$(x-\dfrac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2$
∵ 任意实数的平方是非负数，即$(x-\dfrac{1}{x})^2≥ 0$
∴ $x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2 ≥ 0$
移项得：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} ≥ 2$
当$x-\dfrac{1}{x}=0$，也就是$x^2=1$时，等号成立，此时式子取得最小值2。
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，解题的核心是将目标式子转化为含有平方式的结构，借助平方的非负性确定取值范围，要注意验证等号能够成立才能确定为最小值。
【难度系数】
0.7
首先观察所求式子的结构，x²与1/x²的乘积为常数1，可结合完全平方公式变形求解。首先注意x在分母位置，故x≠0，x²恒为正，再利用完全平方的非负性推导式子的取值范围，进而得到最小值。
【解析】
∵ 分式有意义的条件是分母不为0，
∴ x≠0，即x²＞0。
根据完全平方公式可得：
$(x-\dfrac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2$
∵ 任意实数的平方是非负数，即$(x-\dfrac{1}{x})^2≥ 0$
∴ $x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2 ≥ 0$
移项得：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} ≥ 2$
当$x-\dfrac{1}{x}=0$，也就是$x^2=1$时，等号成立，此时式子取得最小值2。
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形应用，解题的核心是将目标式子转化为含有平方式的结构，借助平方的非负性确定取值范围，要注意验证等号能够成立才能确定为最小值。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17.计算.
(1) $\dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} ÷ \dfrac{a + 2}{a}$.
(2) $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{1 - x^2}$.
17.计算.
(1) $\dfrac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} ÷ \dfrac{a + 2}{a}$.
(2) $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{1 - x^2}$.
答案
(1)$\frac{a}{a-2}$.(2)$\frac{1}{x^2-1}$.
解析
【分析】
解第(1)题时，遵循分式除法的运算思路：首先对分子、分母中的多项式进行因式分解，再将除法转化为乘以除数的倒数，最后约去公因式得到最简结果即可。
解第(2)题时，属于分式加减混合运算，首先观察各分母的特征，先将第三个分式的分母变形为和前两个分母相关的形式，确定最简公分母后通分，转化为同分母分式的加减运算，再合并分子、约分化简，运算时注意符号的变化。
【解析】
(1) 先对分式的分子、分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} ÷ \frac{a+2}{a}\\&=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} × \frac{a}{a+2}\\&=\frac{a}{a-2}\end{aligned}$
(2) 先变形第三个分式的分母，确定最简公分母为$x^2-1=(x+1)(x-1)$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x^2-1}\\&=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{(x+1)-(x-1)-1}{x^2-1}\\&=\frac{x+1-x+1-1}{x^2-1}\\&=\frac{1}{x^2-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{a}{a-2}$；(2) $\dfrac{1}{x^2-1}$
【知识点】
1. 分式乘除运算
2. 分式加减运算
3. 因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查分式运算的基本法则，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法、通分约分的技巧，运算时要注意符号的处理，同时要牢记分式中分母不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
解第(1)题时，遵循分式除法的运算思路：首先对分子、分母中的多项式进行因式分解，再将除法转化为乘以除数的倒数，最后约去公因式得到最简结果即可。
解第(2)题时，属于分式加减混合运算，首先观察各分母的特征，先将第三个分式的分母变形为和前两个分母相关的形式，确定最简公分母后通分，转化为同分母分式的加减运算，再合并分子、约分化简，运算时注意符号的变化。
【解析】
(1) 先对分式的分子、分母因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} ÷ \frac{a+2}{a}\\&=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} × \frac{a}{a+2}\\&=\frac{a}{a-2}\end{aligned}$
(2) 先变形第三个分式的分母，确定最简公分母为$x^2-1=(x+1)(x-1)$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x^2-1}\\&=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{(x+1)-(x-1)-1}{x^2-1}\\&=\frac{x+1-x+1-1}{x^2-1}\\&=\frac{1}{x^2-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{a}{a-2}$；(2) $\dfrac{1}{x^2-1}$
【知识点】
1. 分式乘除运算
2. 分式加减运算
3. 因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，核心考查分式运算的基本法则，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法、通分约分的技巧，运算时要注意符号的处理，同时要牢记分式中分母不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
18.解方程.
(1)$\dfrac{1}{x-2}+1=\dfrac{x+1}{2x-4}$.
(2)$\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{4}{x^2-1}=1$.
(1)$\dfrac{1}{x-2}+1=\dfrac{x+1}{2x-4}$.
(2)$\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{4}{x^2-1}=1$.
答案
(1)$x=3$. (2)原方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考步骤为：1. 先对分母因式分解，找到各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；2. 按照整式方程的解法求解；3. 必须检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解。
第一题中$2x-4=2(x-2)$，可得最简公分母为$2(x-2)$；第二题中$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 原方程变形为：$\dfrac{1}{x-2}+1=\dfrac{x+1}{2(x-2)}$
方程两边同时乘最简公分母$2(x-2)$（$x≠2$），得：
$2 + 2(x-2) = x+1$
去括号：$2 + 2x - 4 = x + 1$
移项合并同类项：$2x - x = 1 + 4 - 2$
解得：$x=3$
检验：将$x=3$代入$2(x-2)$，得$2×(3-2)=2≠0$，故$x=3$是原方程的解。
(2) 原方程变形为：$\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{4}{(x+1)(x-1)}=1$
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（$x≠\pm1$），得：
$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
去括号：$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项合并同类项：$2x = 2$
解得：$x=1$
检验：将$x=1$代入$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)×(1-1)=0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=3$；(2)原方程无解
【知识点】
分式方程的解法；整式方程求解；增根检验
【点评】
本题属于分式方程的常规基础题，解题关键是准确确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程，切记解分式方程最后必须检验，避免把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考步骤为：1. 先对分母因式分解，找到各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；2. 按照整式方程的解法求解；3. 必须检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解。
第一题中$2x-4=2(x-2)$，可得最简公分母为$2(x-2)$；第二题中$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 原方程变形为：$\dfrac{1}{x-2}+1=\dfrac{x+1}{2(x-2)}$
方程两边同时乘最简公分母$2(x-2)$（$x≠2$），得：
$2 + 2(x-2) = x+1$
去括号：$2 + 2x - 4 = x + 1$
移项合并同类项：$2x - x = 1 + 4 - 2$
解得：$x=3$
检验：将$x=3$代入$2(x-2)$，得$2×(3-2)=2≠0$，故$x=3$是原方程的解。
(2) 原方程变形为：$\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{4}{(x+1)(x-1)}=1$
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（$x≠\pm1$），得：
$(x+1)^2 - 4 = x^2 - 1$
去括号：$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项合并同类项：$2x = 2$
解得：$x=1$
检验：将$x=1$代入$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)×(1-1)=0$，故$x=1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=3$；(2)原方程无解
【知识点】
分式方程的解法；整式方程求解；增根检验
【点评】
本题属于分式方程的常规基础题，解题关键是准确确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程，切记解分式方程最后必须检验，避免把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
