10.如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α角度到△ADE的位置，设BC与DE交于点M，连接AM。有下列结论：①BC＝DE；②∠BAE＝α；③∠DMB＝α；④MA平分∠DMC。其中正确的结论是（）。

A.①②
B.①③
C.②③④
D.①③④

10.D

【分析】
解决这道题需结合旋转的性质逐一验证每个结论：首先明确旋转前后两个三角形全等，对应边、对应角相等，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角；再利用全等三角形性质、三角形内角和、角平分线的判定定理分别判断四个结论是否成立，最终选出正确选项。
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，旋转角∠BAD=∠CAE=α，
1. 验证结论①：
由全等三角形对应边相等，得BC=DE，故①正确；
2. 验证结论②：
旋转角为∠BAD=∠CAE=α，而∠BAE=∠BAD-∠DAE=α-∠BAC（∠DAE=∠BAC是全等对应角），显然∠BAE≠α，故②错误；
3. 验证结论③：
设AB与DE交于点N，在△ADN和△MBN中：
∠D=∠B（全等三角形对应角相等），∠AND=∠MNB（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得∠DMB=∠BAD=α，故③正确；
4. 验证结论④：
过点A作AP⊥DE于点P，AQ⊥BC于点Q，
∵△ABC≌△ADE，
∴全等三角形对应边上的高相等，即AP=AQ，
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点A在∠DMC的角平分线上，即MA平分∠DMC，故④正确。
综上，①③④正确。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于旋转类基础结论判断题，解题核心是熟练掌握旋转前后图形全等的性质，结合三角形内角和、角平分线判定即可逐一推导结论，注意要准确识别旋转角，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7

11.点A(4,-2)关于x轴对称的点的坐标是.

11.(4,2)

【分析】
解决此类点关于坐标轴对称的问题，首先要牢记对应轴对称的坐标变化规律：关于x轴对称的两个点，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，这是因为沿x轴翻折时，点的水平位置不变，竖直位置上下颠倒。接下来只需将已知点的坐标按规律调整，就能得到对称点的坐标。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数。
已知点A的坐标为(4, -2)，因此对称点的横坐标仍为4，纵坐标为-2的相反数，即-(-2)=2。
综上，点A关于x轴对称的点的坐标为(4, 2)。
【答案】
(4,2)
【知识点】
x轴对称点坐标规律；平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查平面直角坐标系中点的轴对称坐标变化规律的应用，做题时需注意区分关于x轴、y轴对称的坐标变化差异，熟记规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9

12.等腰三角形的两边长为2,5,则第三边长为.

12.5

【分析】
本题已知等腰三角形的两条边长，求第三边。首先根据等腰三角形“两腰长度相等”的性质，可知第三边的候选值为2或5；接下来结合三角形“任意两边之和大于第三边”的三边关系，对两种候选情况分别验证，排除无法构成三角形的情况，就能得到正确的第三边长。
【解析】
解：
∵等腰三角形的两条腰长相等，已知两边长为2和5，
∴分两种情况讨论：
① 若第三边长为2，此时三角形三边长为2、2、5，
∵2+2=4＜5，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若第三边长为5，此时三角形三边长为2、5、5，
∵2+5=7＞5，5+5=10＞2，满足三角形三边关系，可构成三角形，该情况成立。
综上，第三边长为5。
【答案】
5
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题的易错点是忽略三边关系的验证，直接认为2和5都可作为第三边，做题时要养成分类讨论后验证三边关系的习惯，避免错解。
【难度系数】
0.7

13.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在的直线相交所得到的锐角为$50°$，则$∠ B$等于________。

13.$70°$或$20°$

【分析】
本题是等腰三角形结合线段垂直平分线的几何计算题，解题关键是注意题目中“AC所在的直线”这一表述，需分两种情况讨论：①△ABC为锐角三角形，此时AB的垂直平分线与线段AC相交；②△ABC为钝角三角形，此时AB的垂直平分线与CA的延长线相交。先根据垂直平分线的直角和已知的50°锐角求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质计算∠B的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当△ABC为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，由题意得∠AED=50°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，∠A=90°-∠AED=90°-50°=40°。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
由三角形内角和为180°得：$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-40°)÷2=70°$。
情况2：当△ABC为钝角三角形时，设AB的垂直平分线交AB于点D，交CA的延长线于点E，由题意得∠AED=50°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°。
在Rt△ADE中，∠EAD=90°-∠AED=90°-50°=40°。
∴顶角$∠ BAC=180°-∠ EAD=180°-40°=140°$。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
由三角形内角和为180°得：$∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-140°)÷2=20°$。
【答案】
$70°$或$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“AC所在直线”的表述，仅考虑锐角三角形的情况导致漏解，解题时要注意分类讨论思想的应用，全面考虑直线相交的所有可能位置。
【难度系数】
0.6

14.在等腰三角形ABC中，AB=AC=6，∠ABC=15°，则△ABC的面积为.

14.9

【分析】
要计算等腰△ABC的面积，已知腰长AC=6，只需算出AC边上的高即可。首先利用等腰三角形两底角相等的性质求出顶角∠BAC的度数为150°，其邻补角为30°；接着过点B作AC的垂线，交CA的延长线于点D，构造出含30°角的直角三角形ABD，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出高BD的长度；最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D。
∵AB=AC=6，∠ABC=15°
∴∠ACB=∠ABC=15°（等腰三角形两底角相等）
∴∠BAC=180°-15°×2=150°
∴∠BAD=180°-∠BAC=30°
在Rt△ABD中，∠D=90°，∠BAD=30°，AB=6
∴BD=½AB=½×6=3（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）
∴S△ABC=½×AC×BD=½×6×3=9
【答案】
9
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.直角三角形30°角性质
3.三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查三角形相关性质的综合应用，解题的突破口是通过作腰上的高构造含30°角的直角三角形，快速求出对应高的长度，解题时需注意钝角三角形的高可能在三角形外部，避免找错高的位置。
【难度系数】
0.6

15.如图，AD是△ABC的高，且AB+BD=DC，∠BAD=40°，则∠C的度数为。第15题图第16题图

15.$25°$

【分析】
遇到线段和（AB+BD=DC）的条件，优先采用截长补短法构造全等三角形转化线段关系。首先根据AD是高得到直角，结合已知∠BAD的度数先算出∠B的度数；再在DC上截取DE=BD，构造全等三角形得到AB=AE、∠B=∠AED；结合线段和的条件推出AE=EC，得到等腰三角形，最后利用三角形外角性质即可求出∠C的度数。
【解析】
解：在DC上截取DE=BD，连接AE。
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=∠ADE=90°。
在Rt△ABD中，∠BAD=40°，
∴∠B=90°-∠BAD=90°-40°=50°。
在△ABD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}BD=DE\\ ∠ ADB=∠ ADE\\ AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴AB=AE，∠AED=∠B=50°。
∵DC=DE+EC，且已知AB+BD=DC，BD=DE，
∴AB=EC，
又
∵AB=AE，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC。
∵∠AED是△AEC的外角，
∴∠AED=∠C+∠EAC=2∠C，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AED=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
【答案】
$25°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形全等与等腰三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过截长补短法将线段和的条件转化为相等线段，构造全等三角形实现边和角的转移，再结合等腰三角形和外角性质求解。
【难度系数】
0.65

16.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E,AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°,BD=a,AD=b,用含a,b的代数式表示△BCD的面积是.

16.$\frac{a(a-b)}{4}$

【分析】
要求△BCD的面积，已知边BD的长度为a，因此只需要求出BD边上的高即可。结合已知条件AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°，可通过构造辅助线求解：过点C分别作AD延长线的垂线CM、BD的垂线CN，先利用等角的余角相等推导角相等，证明△AMC和△BNC全等，得到CM=CN、AM=BN；再判定四边形CMDN为正方形，得到边长相等的关系，结合线段和差求出BD边上的高CN，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
过点C作$CM⊥ AD$，交AD的延长线于点M，作$CN⊥ BD$于点N，
$\therefore ∠ M=∠ CND=∠ CNB=90°$。
$\because ∠ ADB=90°$，$\therefore ∠ MDN=90°$，$\therefore$ 四边形CMDN是矩形。
$\because ∠ ACB=∠ ADB=90°$，$∠ AED=∠ BEC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ MAC=∠ NBC$（等角的余角相等）。
在$△ AMC$和$△ BNC$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ CNB=90° \\∠ MAC=∠ NBC \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AMC≌△ BNC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AM=BN$，$CM=CN$，
$\therefore$ 矩形CMDN是正方形（邻边相等的矩形是正方形），
$\therefore DM=DN=CM=CN$。
$\because AM=AD+DM=b+DM$，$BN=BD-DN=a-DN$，且$DM=DN$，$AM=BN$，
$\therefore b+DM=a-DM$，解得$DM=\frac{a-b}{2}$，
$\therefore CN=DM=\frac{a-b}{2}$。
$\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× CN=\frac{1}{2}× a×\frac{a-b}{2}=\frac{a(a-b)}{4}$。
【答案】
$\frac{a(a-b)}{4}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合题，解题核心是通过作双垂线构造全等三角形和正方形，将未知的高转化为已知线段的差的一半，需要熟练掌握常见几何辅助线的构造思路，能灵活运用全等、特殊四边形的性质推导线段关系。
【难度系数】
0.4

三、解答题
17.如图，已知AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC，求证AB=AC.

17.$\because AD// BC,\therefore ∠ EAD=∠ B,∠ DAC=∠ C.$
又AD平分$∠ CAE,\therefore ∠ EAD=∠ DAC.\therefore ∠ B=∠ C. \therefore AB=AC.$

【分析】
要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明∠B=∠C即可。首先结合AD//BC的条件，利用平行线的性质可得到两组角相等：同位角∠EAD=∠B，内错角∠DAC=∠C；再根据AD是∠CAE的角平分线，可得∠EAD=∠DAC，通过等量代换就能推出∠B=∠C，最终推导得到AB=AC。
【解析】
证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ EAD=∠ B$，$∠ DAC=∠ C$。
又$\because$AD平分$∠ CAE$，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$，
$\therefore AB=AC$。
【答案】
证明过程见上述解析，最终可证得$AB=AC$。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明类题型，核心考查角、线关系的转化，解题关键是结合平行线和角平分线的性质完成角的等量代换，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

18.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,若，则AC//DF.
从①BE=CF；②∠B=∠DEF；③∠A=∠D三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.

18.选择①$BE=CF$,理由如下：
$\because BE=CF,\therefore BE+EC=CF+EC.\therefore BC=EF.$
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS}).\therefore ∠ ACB=∠ F.\therefore AC// DF.$
(也可选择③$∠ A=∠ D$,理由如下：
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ A=∠ D, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ ACB=∠ F.\therefore AC// DF.$
如果选择②,无法得出$AC// DF$.)

【分析】
要得出$AC// DF$的结论，根据平行线的判定规则，需要先证明同位角$∠ ACB=∠ F$，这就需要证明$△ ABC≌△ DEF$。题目已经给出$AB=DE$、$AC=DF$两个条件，再看三个可选条件：若选①$BE=CF$，可通过等式性质得到$BC=EF$，结合已知两组边相等，能用SSS判定三角形全等；若选③$∠ A=∠ D$，已知的两组边刚好是这个角的两条边，可用SAS判定三角形全等；若选②$∠ B=∠ DEF$，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定三角形全等，无法推出平行结论，因此可选①或③。
【解析】
方案1：选择①$BE=CF$，理由如下：
$\because BE=CF$，$\therefore BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE \\BC=EF \\AC=DF\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ ACB=∠ F$，
$\therefore AC// DF$（同位角相等，两直线平行）。
方案2：选择③$∠ A=∠ D$，理由如下：
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AB=DE \\∠ A=∠ D \\AC=DF\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACB=∠ F$，
$\therefore AC// DF$（同位角相等，两直线平行）。
注：选择②$∠ B=∠ DEF$时，属于SSA，不能判定三角形全等，无法推出$AC// DF$，不符合要求。
【答案】
可选择①$BE=CF$（或③$∠ A=∠ D$），理由见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是条件开放类题目，需要从结论反向推导所需条件，同时考查了全等三角形判定定理的使用注意事项，要牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.7