19.如图①是一个平分角的仪器，其中$OD=OE$，$FD=FE$。
(1)如图②，将仪器放置在$△ ABC$上，使点$O$与点$A$重合，$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，沿$AF$画一条射线$AP$，交$BC$于点$P$。求证$PA$平分$∠ BAC$。
(2)如图③，在(1)的条件下，过点$P$作$PQ ⊥ AB$，垂足为$Q$，点$H$在$AC$上，若$BP=PH$，求证$AQ=AH+BQ$。

19.(1)在$△ ADF$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AD=AE, \\ FD=FE, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AEF(\mathrm{SSS}).\therefore ∠ DAF=∠ EAF.\therefore AP$是$∠ BAC$的平分线.
(2)如图,在$AB$上截取$AG=AH.$

由(1)得,$AP$平分$∠ BAC,\therefore ∠ PAG=∠ PAH.$
在$△ PAG$和$△ PAH$中,
$\begin{cases} AG=AH, \\ ∠ PAG=∠ PAH, \\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore △ PAG≌△ PAH(\mathrm{SAS}).\therefore PG=PH.$
$\because PH=BP,\therefore PG=BP.$
$\because PQ⊥ AB,\therefore QB=QG.\therefore AQ=AG+GQ=AH+BQ.$

【分析】
(1) 要证明$PA$平分$∠ BAC$，只需证明$∠ DAF=∠ EAF$。已知$AD=AE$、$FD=FE$，$AF$为两个三角形的公共边，可通过SSS判定$△ ADF$和$△ AEF$全等，利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证明$AQ=AH+BQ$属于线段和差类证明，适合用截长补短法：在$AB$上截取$AG=AH$，先利用SAS证明$△ PAG$和$△ PAH$全等，得到$PG=PH$，结合已知$BP=PH$推出$PG=BP$，再根据$PQ⊥ AB$，利用等腰三角形三线合一得到$QG=BQ$，最后通过线段等量代换即可得证。
【解析】
(1) 在$△ ADF$和$△ AEF$中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ FD=FE, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AEF(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ DAF=∠ EAF$，即$AP$平分$∠ BAC$。
(2) 如图，在$AB$上截取$AG=AH$。

由(1)可知$AP$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ PAG=∠ PAH$。
在$△ PAG$和$△ PAH$中，
$\begin{cases} AG=AH, \\ ∠ PAG=∠ PAH, \\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore △ PAG≌△ PAH(\mathrm{SAS})$，
$\therefore PG=PH$。
$\because BP=PH$，$\therefore PG=BP$。
$\because PQ⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一可得$QB=QG$。
$\therefore AQ=AG+GQ=AH+BQ$。
【答案】
19.(1)在$△ ADF$和$△ AEF$中,$\begin{cases} AD=AE, \\ FD=FE, \\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AEF(\mathrm{SSS}).\therefore ∠ DAF=∠ EAF.\therefore AP$是$∠ BAC$的平分线.
(2)如图,在$AB$上截取$AG=AH.$

由(1)得,$AP$平分$∠ BAC,\therefore ∠ PAG=∠ PAH.$
在$△ PAG$和$△ PAH$中,
$\begin{cases} AG=AH, \\ ∠ PAG=∠ PAH, \\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore △ PAG≌△ PAH(\mathrm{SAS}).\therefore PG=PH.$
$\because PH=BP,\therefore PG=BP.$
$\because PQ⊥ AB,\therefore QB=QG.\therefore AQ=AG+GQ=AH+BQ.$
【知识点】
全等三角形判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，第一问直接利用SSS判定全等即可推导出角平分线，第二问的核心是掌握线段和差问题的常用辅助线构造方法，结合全等与等腰三角形的性质完成等量代换即可解题。
【难度系数】
0.7

20.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为边BC上一点,过点D作$∠ EDF=∠ B$,分别与AB,AC相交于点E和点F.
(1)求证$∠ BED=∠ CDF$.
(2)若$DE=DF$,求证$BE=CD$.

20.(1)$\because ∠ BED=180°-∠ B-∠ BDE,∠ CDF=180°-∠ EDF-∠ BDE,∠ EDF=∠ B,$
$\therefore ∠ BED=∠ CDF.$
(2)$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C.$
在$△ BDE$与$△ CFD$中,$\begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ ∠ BED=∠ CDF, \\ DE=FD, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CFD(\mathrm{AAS}).\therefore BE=CD.$

【分析】
(1) 要证明∠BED=∠CDF，可分别用角度和的关系表示两个角：根据三角形内角和为180°，可得∠BED=180°-∠B-∠BDE；根据平角为180°，可得∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE，结合已知∠EDF=∠B，等量代换即可得证。
(2) 要证明BE=CD，可通过证明两条边所在的三角形全等实现。首先由AB=AC可得等腰三角形底角相等，即∠B=∠C，结合(1)中已证的∠BED=∠CDF，再加上已知DE=DF，即可用AAS判定△BDE和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等即可得到BE=CD。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BED=180°-∠B-∠BDE，∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE，
又已知∠EDF=∠B，
∴ ∠BED=∠CDF。
(2) 证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C。
在△BDE与△CFD中，
$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ ∠BED=∠CDF, \\ DE=FD, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CFD（AAS），
∴ BE=CD。
【答案】
(1) ∠BED=∠CDF成立；
(2) BE=CD成立。
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，第一问的角相等结论是第二问证明三角形全等的关键条件，解题时要注意前后问题的关联性，熟练掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7

21.在等腰直角三角形$ABC$中，$CA=CB$，$∠ ACB=90°$，$O$为$AB$的中点。
(1)如图①，过点$O$作$OD⊥ CA$，垂足为$D$，$OE⊥ CB$，垂足为$E$，猜想$OD$与$OE$的数量关系。
(2)如图②，若$M$，$N$分别为$CA$，$CB$上的点，且$∠ MON=90°$，求证$OM=ON$。

21.(1)连接$OC$.
$\because CA=CB,O$为$AB$的中点,$\therefore CO$平分$∠ ACB.$
$\because OD⊥ CA,OE⊥ CB,\therefore OD=OE.$
(2)连接$OC$.
$\because CA=CB,O$为$AB$的中点,$\therefore CO⊥ AB,CO$平分$∠ ACB.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACO=∠ BCO=45°.$
$\because ∠ COA=90°,\therefore ∠ A=∠ ACO=∠ BCO=45°,\therefore AO=CO.$
$\because ∠ MON=∠ AOC=90°,\therefore ∠ MON-∠ MOC=∠ AOC-∠ MOC.$
即$∠ AOM=∠ CON.$
在$△ AOM$和$△ CON$中,$\begin{cases} ∠ A=∠ OCN, \\ AO=CO, \\ ∠ AOM=∠ CON, \end{cases}$
$\therefore △ AOM≌△ CON(\mathrm{ASA}).\therefore OM=ON.$

【分析】
(1) 要判断OD与OE的数量关系，可结合角平分线的性质分析：首先根据等腰三角形三线合一的性质，连接OC后可知CO是∠ACB的角平分线，而OD、OE分别是点O到∠ACB两边的垂线段，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出二者的数量关系。
(2) 要证明OM=ON，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：首先连接OC，先根据等腰直角三角形的性质得到AO=CO、∠A=∠OCN=45°，再结合∠MON和∠AOC均为90°，通过同角的余角相等推出∠AOM=∠CON，即可证明△AOM和△CON全等，进而得到OM=ON。
【解析】
(1) 连接$OC$，
$\because CA=CB,O$为$AB$的中点，
$\therefore CO$平分$∠ ACB$（等腰三角形三线合一），
$\because OD⊥ CA,OE⊥ CB$，
$\therefore OD=OE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
(2) 证明：连接$OC$，
$\because CA=CB,∠ACB=90°,O$为$AB$的中点，
$\therefore CO⊥ AB,CO$平分$∠ ACB,AO=CO$，
$\therefore ∠ ACO=∠ BCO=45°,∠A=∠ACO=45°$，
$\therefore ∠A=∠OCN=45°$，
$\because ∠ MON=∠ AOC=90°$，
$\therefore ∠ MON-∠ MOC=∠ AOC-∠ MOC$，即$∠ AOM=∠ CON$，
在$△ AOM$和$△ CON$中,
$\begin{cases} ∠ A=∠ OCN, \\ AO=CO, \\ ∠ AOM=∠ CON, \end{cases}$
$\therefore △ AOM≌△ CON(\mathrm{ASA})$，
$\therefore OM=ON$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{OD=OE}$；
(2) 证明成立，$\boldsymbol{OM=ON}$。
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形几何基础题，解题的关键是合理构造辅助线连接OC，利用等腰三角形三线合一的性质得到边角的等量关系，进而结合角平分线性质、全等三角形判定解决线段相等的问题，逻辑推导路径清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75