22.如图,在由小正方形组成的$6×6$网格中,每个小正方形的顶点叫作格点.$△ ABC$的三个顶点都是格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
(1)如图①,先在$BC$上画点$D$,使$AD$平分$△ ABC$的面积,再在射线$AD$上画点$E$,使$∠ BCE=45°$.
(2)如图②,点$P$是$BC$与网格线的交点,先画出$△ ABC$在边$BC$上的高$AF$,再在$AC$上画点$Q$,使$∠ FQA=∠ PQC$.

22.(1)(2)如图所示.

【分析】
(1) 要使AD平分△ABC的面积，根据三角形中线的性质，中线可将三角形分为面积相等的两部分，因此只需找到BC的中点D，连接AD即可；要构造∠BCE=45°，可借助网格构造以C为顶点的等腰直角三角形，等腰直角三角形的锐角为45°，该等腰直角三角形的边与射线AD的交点即为E。
(2) 画BC边上的高AF，即过点A作BC的垂线，结合网格线段垂直的特征找到垂足F即可；要使∠FQA=∠PQC，可利用轴对称的性质，作其中一个点关于AC的对称点，连接对称点与另一个点，和AC的交点即为满足条件的Q，利用轴对称对应角相等、对顶角相等即可得到目标角相等。
【解析】
(1) ① 观察BC两端的格点位置，找到BC的中点D（格点，到B、C的网格距离相等），连接AD，AD即为平分△ABC面积的线段；② 在网格中选取合适格点，连接该格点与点C，使连线与某条过C的水平/竖直线段构成等腰直角三角形，此时这条连线与BC的夹角为45°，该连线与射线AD的交点即为E，满足∠BCE=45°。
(2) ① 过点A作BC的垂线：根据网格中垂直线段的特征，找到与BC垂直、过A的线段，与BC交于点F，AF即为△ABC在BC边上的高；② 作点P关于AC的对称点P'，连接P'F，线段P'F与AC的交点即为Q，此时根据轴对称性质，∠PQC=∠P'QC，又∠P'QC与∠FQA为对顶角，因此∠FQA=∠PQC，满足要求。
【答案】

【知识点】
三角形中线性质，网格作图，轴对称的性质
【点评】
本题属于网格几何作图题，结合三角形的基本性质、等腰直角三角形特征和轴对称的应用考查作图能力，解题时需要充分利用网格的格点特征寻找辅助线，对几何直观和知识灵活运用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.6

23.在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点.
(1)如图①，连接BE，若AD=6，△BEC的周长为19，则BC的长为.
(2)若AF是△ABC的中线，如图②，AF交DE于点O，若∠BAC=30°，求证EC=2OD+OE.
(3)如图③，M是AF的中点，N是射线BF上的动点，连接MN，作等边三角形MNP，连接AP，若AF=11，直接写出AP的最小值.

23.(1)7
(2)解法1:如图,连接$OB,OC$,过点$O$作$OH⊥ AC$,垂足为$H.$

$\because AB=AC,F$是$BC$的中点,$\therefore AF$垂直平分$BC.\therefore OB=OC.$
$\because DE$是$AB$的垂直平分线,$\therefore OA=OB,∠ ADE=90°.\therefore OA=OC.$
$\because ∠ BAC=30°,\therefore AE=2DE,∠ AED=60°.$
$\therefore ∠ HOE=30°,HE=\frac{1}{2}OE.$
$\because OA=OC,\therefore AH=HC=AE-HE=2DE-\frac{1}{2}OE.$
$\therefore EC=HC-HE=AH-HE=2DE-\frac{1}{2}OE-\frac{1}{2}OE=2DE-OE=2OD+OE.$
解法2:如图,延长$OD$到点$N$,使$DO=DN$,连接$BE,AN.$

$\because DE$是$AB$的垂直平分线,$\therefore AE=BE,AN=AO.$
$\because AB=AC,F$是$BC$的中点,$∠ BAC=30°,\therefore ∠ BAF=∠ CAF=15°,$
$\therefore ∠ NAD=∠ OAD=15°,\therefore ∠ NAE=45°.$
$\because ∠ BAE=∠ ABE=30°,\therefore ∠ AED=∠ BED=60°.\therefore ∠ BEC=60°=∠ AEN.$
$\because ∠ ABC=∠ C=75°,\therefore ∠ EBC=∠ ABC-∠ ABE=45°=∠ NAE.$
$\therefore △ NAE≌△ CBE.\therefore NE=CE=ON+OE=2OD+OE.$
(3)$\frac{33}{4}.$

【分析】
(1) 利用线段垂直平分线的性质得到AE=BE，将△BEC的周长转化为AC+BC，结合已知AB=AC的长度即可求出BC。
(2) 证明思路有两种：① 连接OB、OC，作OH⊥AC，结合垂直平分线性质得OA=OB=OC，利用30°直角三角形边的关系，通过线段代换推导结论；② 延长OD构造等长线段，利用垂直平分线性质得到边角相等，证明三角形全等，将EC转化为含OD、OE的线段。
(3) 结合等边三角形性质构造全等，确定点P的运动轨迹，根据垂线段最短求出AP的最小值。
【解析】
(1)
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AB=2AD。
已知AD=6，
∴AB=12，又
∵AB=AC，
∴AC=12。
△BEC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=19，
∴BC=19-12=7。
(2) 解法1：如图，连接$OB,OC$,过点$O$作$OH⊥ AC$,垂足为$H.$

∵AB=AC，F是BC的中点，
∴AF垂直平分BC，
∴OB=OC。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，∠ADE=90°，
∴OA=OC。
∵∠BAC=30°，
∴在Rt△ADE中，AE=2DE，∠AED=60°。
在Rt△OHE中，∠HOE=30°，
∴$HE=\frac{1}{2}OE$。
∵OA=OC，OH⊥AC，
∴AH=HC=$2DE-\frac{1}{2}OE$。
∴$EC=HC-HE=2DE-\frac{1}{2}OE-\frac{1}{2}OE=2DE-OE=2(OD+OE)-OE=2OD+OE$，得证。
解法2：如图，延长$OD$到点$N$,使$DO=DN$,连接$BE,AN.$

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AN=AO。
∵AB=AC，F是BC的中点，∠BAC=30°，
∴∠BAF=∠CAF=15°，
∴∠NAD=∠OAD=15°，
∴∠NAE=45°。
∵AE=BE，∠BAC=30°，
∴∠ABE=30°，∠AED=∠BED=60°，
∴∠BEC=60°=∠AEN。
∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠EBC=75°-30°=45°=∠NAE。
∴△NAE≌△CBE(ASA)，
∴NE=CE=ON+OE=2OD+OE，得证。
(3) 通过构造全等确定点P的运动轨迹，当AP垂直于轨迹直线时取得最小值，计算得最小值为$\frac{33}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) 证明如上，对应解法图：
解法1：
解法2：
(3) $\boxed{\dfrac{33}{4}}$
【知识点】
线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题分层设置考点，第一问为基础性质应用，第二问需要辅助线构造实现线段转化，第三问结合动点考查最值分析，能有效检验几何综合运用能力。
【难度系数】
0.35