24.在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(4,0)$,点 B 为 y 轴正半轴上的一个动点,以 B 为直角顶点,AB 为直角边在第一象限作等腰直角三角形 ABC.
(1)如图①,若$OB=3$,则点 C 的坐标为.
(2)如图②,若$OB=4$,点 D 为 OA 延长线上一点,以 D 为直角顶点,BD 为直角边在第一象限作等腰直角三角形 BDE,连接 AE,求证$AE⊥AB$.
(3)如图③,以 B 为直角顶点,OB 为直角边在第二象限作等腰直角三角形 OBF.连接 CF,交 y 轴于点 P,求线段 BP 的长度.

24.(1)$(3,7)$
(2)作$EM⊥ x$轴,垂足为$M.$
$\because △ BDE$为等腰直角三角形,$\therefore △ DBO≌△ EDM(\mathrm{AAS}).$
$\therefore OD=EM,OB=DM=4=OA.\therefore OA+AD=DM+AD.\therefore OD=AM.$
又$\because OD=EM,\therefore AM=EM.\therefore ∠ EAM=45°.$
而$OB=OA,\therefore ∠ BAO=45°.\therefore ∠ BAE=180°-∠ BAO-∠ EAM=90°.\therefore AE⊥ AB.$
(3)作$CQ⊥ y$轴,垂足为$Q.$
$\because △ ABC$为等腰直角三角形,$\therefore △ AOB≌△ BQC(\mathrm{AAS}).\therefore CQ=BO.$
又$\because △ OBF$为等腰直角三角形,$\therefore FB=BO=CQ.\therefore △ FBP≌△ CQP(\mathrm{AAS}).$
$\therefore PB=PQ=\frac{1}{2}BQ.$而$BQ=AO=4,\therefore PB=2.$

【分析】
(1) 求点C的坐标时，可过C作y轴的垂线，结合等腰直角△ABC的性质证明△AOB和△BQC全等，利用全等三角形对应边相等计算C点的横、纵坐标；
(2) 要证AE⊥AB，只需证明∠BAE=90°。已知OB=OA=4可得∠BAO=45°，因此只需证∠EAM=45°即可。过E作x轴的垂线，证明△DBO和△EDM全等，推导边的关系得AM=EM，即可得到∠EAM=45°，进而推出∠BAE=90°；
(3) 求BP长度时，先过C作y轴的垂线，由等腰直角△ABC的性质证△AOB≌△BQC，得到BQ=OA=4、CQ=OB，再结合等腰直角△OBF的性质得FB=CQ，证△FBP≌△CQP，即可推出BP是BQ的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 过点C作$CQ⊥y$轴于点Q，
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABO+∠ CBQ=90°$，又$∠ ABO+∠ OAB=90°$，
∴$∠ OAB=∠ CBQ$，
在$△ AOB$和$△ BQC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BQC=90° \\∠ OAB=∠ QBC \\AB=BC\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ BQC(\mathrm{AAS})$，
∴$BQ=OA=4$，$CQ=OB=3$，
∴$OQ=OB+BQ=3+4=7$，
∴点C的坐标为$(3,7)$。
(2) 证明：作$EM⊥x$轴，垂足为$M$，
∵$△ BDE$为等腰直角三角形，$∠ BDE=90°$，
∴$BD=DE$，$∠ BDO+∠ EDM=90°$，又$∠ BDO+∠ OBD=90°$，
∴$∠ OBD=∠ EDM$，
在$△ DBO$和$△ EDM$中：
$\begin{cases}∠ BOD=∠ DME=90° \\∠ OBD=∠ MDE \\BD=DE\end{cases}$
∴$△ DBO≌△ EDM(\mathrm{AAS})$，
∴$OD=EM$，$OB=DM=4$，
∵点A坐标为$(4,0)$，
∴$OA=4=DM$，
∴$OA+AD=DM+AD$，即$OD=AM$，
又
∵$OD=EM$，
∴$AM=EM$，
∴$△ AEM$是等腰直角三角形，
∴$∠ EAM=45°$，
∵$OB=OA=4$，$∠ AOB=90°$，
∴$∠ BAO=45°$，
∴$∠ BAE=180°-∠ BAO-∠ EAM=180°-45°-45°=90°$，
∴$AE⊥AB$。
(3) 作$CQ⊥y$轴，垂足为$Q$，
∵$△ ABC$为等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴$AB=BC$，$∠ ABO+∠ CBQ=90°$，又$∠ ABO+∠ OAB=90°$，
∴$∠ OAB=∠ CBQ$，
在$△ AOB$和$△ BQC$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BQC=90° \\∠ OAB=∠ QBC \\AB=BC\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ BQC(\mathrm{AAS})$，
∴$BQ=AO=4$，$CQ=BO$，
∵$△ OBF$为等腰直角三角形，$∠ OBF=90°$，
∴$FB=BO$，$∠ FBP=90°=∠ CQP$，
∴$FB=CQ$，
在$△ FBP$和$△ CQP$中：
$\begin{cases}∠ FBP=∠ CQP=90° \\∠ FPB=∠ CPQ \\FB=CQ\end{cases}$
∴$△ FBP≌△ CQP(\mathrm{AAS})$，
∴$PB=PQ=\frac{1}{2}BQ$，
∵$BQ=4$，
∴$PB=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,7)}$
(2) 证明如上，$AE⊥AB$成立
(3) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 等腰直角三角形性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标系与几何结合的综合题，核心考查借助等腰直角三角形的性质构造全等三角形解决角度证明、线段计算的问题，合理构造辅助线、熟练运用全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.5