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10. 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)(教材习题5.1T7变式)今年某小区居民人均水电费支出为2560元，比去年降低了8%，去年这个小区居民人均水电费支出为多少元？
(2)从正方形的铁皮上截去一个2 cm宽的长方形条，余下部分的面积是80 cm²，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
(3)(教材习题5.1T9变式)一个圆柱形包装盒(厚度忽略不计)的高是10 cm，表面积是$90π \ \mathrm{cm}^2$.这个包装盒的底面半径是多少厘米？
(1)(教材习题5.1T7变式)今年某小区居民人均水电费支出为2560元，比去年降低了8%，去年这个小区居民人均水电费支出为多少元？
(2)从正方形的铁皮上截去一个2 cm宽的长方形条，余下部分的面积是80 cm²，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？
(3)(教材习题5.1T9变式)一个圆柱形包装盒(厚度忽略不计)的高是10 cm，表面积是$90π \ \mathrm{cm}^2$.这个包装盒的底面半径是多少厘米？
答案
10. 解:(1)设去年这个小区居民人均水电费支出为$x$元.根据“今年某小区居民人均水电费支出为2560元，比去年降低了8%”，列得方程$(1-8\%)x=2560$.
(2)设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm.根据“从正方形的铁皮上截去一个2 cm宽的长方形条，余下部分的面积是80 cm²”，列得方程$x(x-2)=80$.
(3)设这个包装盒的底面半径是$x$ cm.根据“一个圆柱形包装盒的高是10 cm，表面积是$90π \ \mathrm{cm}^2$”，列得方程$2π x^2+2π x×10=90π$.
(2)设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm.根据“从正方形的铁皮上截去一个2 cm宽的长方形条，余下部分的面积是80 cm²”，列得方程$x(x-2)=80$.
(3)设这个包装盒的底面半径是$x$ cm.根据“一个圆柱形包装盒的高是10 cm，表面积是$90π \ \mathrm{cm}^2$”，列得方程$2π x^2+2π x×10=90π$.
解析
【分析】
这三道题均考查根据实际问题列方程，解题核心是先找准未知量设为未知数，再挖掘题干中的等量关系：
(1) 未知量为去年的居民人均水电费支出，设为x元。今年比去年降低8%，即今年的支出是去年的(1-8%)，对应已知的今年支出2560元，以此为等量关系列方程即可。
(2) 未知量为原正方形铁皮的边长，设为x cm。截去2cm宽的长方形条后，余下部分是长为x cm、宽为(x-2)cm的长方形，已知余下部分面积为80cm²，结合长方形面积公式即可列方程。
(3) 未知量为圆柱形包装盒的底面半径，设为x cm。圆柱表面积=2个底面积+侧面积，其中底面积为πx²，侧面积=底面周长×高=2πx×10，已知总表面积为90π cm²，代入等量关系即可列方程。
【解析】
(1) 设去年这个小区居民人均水电费支出为$x$元，根据“今年人均水电费支出=去年人均水电费支出×(1-降低的百分率)”，列方程：
$(1-8\%)x=2560$
(2) 设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm，根据“余下长方形面积=长×宽”，列方程：
$x(x-2)=80$
(3) 设这个包装盒的底面半径是$x$ cm，根据“圆柱表面积=2个底面积+侧面积”，列方程：
$2π x^2+2π x×10=90π$
【答案】
(1)设去年这个小区居民人均水电费支出为$x$元，列得方程$(1-8\%)x=2560$；
(2)设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm，列得方程$x(x-2)=80$；
(3)设这个包装盒的底面半径是$x$ cm，列得方程$2π x^2+2π x×10=90π$。
【知识点】
1. 列方程解决实际问题
2. 百分率应用
3. 几何图形面积计算
【点评】
本题是方程应用的基础题型，重点考查学生提取题干等量关系、结合已有公式列方程的能力，熟练掌握常见的数量关系（如增长率、面积、表面积计算公式）是解题的核心。
【难度系数】
0.75
这三道题均考查根据实际问题列方程，解题核心是先找准未知量设为未知数，再挖掘题干中的等量关系：
(1) 未知量为去年的居民人均水电费支出，设为x元。今年比去年降低8%，即今年的支出是去年的(1-8%)，对应已知的今年支出2560元，以此为等量关系列方程即可。
(2) 未知量为原正方形铁皮的边长，设为x cm。截去2cm宽的长方形条后，余下部分是长为x cm、宽为(x-2)cm的长方形，已知余下部分面积为80cm²，结合长方形面积公式即可列方程。
(3) 未知量为圆柱形包装盒的底面半径，设为x cm。圆柱表面积=2个底面积+侧面积，其中底面积为πx²，侧面积=底面周长×高=2πx×10，已知总表面积为90π cm²，代入等量关系即可列方程。
【解析】
(1) 设去年这个小区居民人均水电费支出为$x$元，根据“今年人均水电费支出=去年人均水电费支出×(1-降低的百分率)”，列方程：
$(1-8\%)x=2560$
(2) 设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm，根据“余下长方形面积=长×宽”，列方程：
$x(x-2)=80$
(3) 设这个包装盒的底面半径是$x$ cm，根据“圆柱表面积=2个底面积+侧面积”，列方程：
$2π x^2+2π x×10=90π$
【答案】
(1)设去年这个小区居民人均水电费支出为$x$元，列得方程$(1-8\%)x=2560$；
(2)设原来的正方形铁皮的边长是$x$ cm，列得方程$x(x-2)=80$；
(3)设这个包装盒的底面半径是$x$ cm，列得方程$2π x^2+2π x×10=90π$。
【知识点】
1. 列方程解决实际问题
2. 百分率应用
3. 几何图形面积计算
【点评】
本题是方程应用的基础题型，重点考查学生提取题干等量关系、结合已有公式列方程的能力，熟练掌握常见的数量关系（如增长率、面积、表面积计算公式）是解题的核心。
【难度系数】
0.75
11. 如图35-G-2所示，一个长方形舞台背景墙被装饰布遮挡了一部分，背景墙的长、宽之比是3：2，装饰布由两个半圆和两个四分之一圆组成，其中圆的直径都是背景墙宽的一半，这个背景墙未被遮挡部分的面积为120 m²，求背景墙的长。设背景墙的长为x m，根据题意可列出方程
图35-G-2
$\frac{2}{3}x^2-\frac{π}{24}x^2=120$
。 图35-G-2答案
11. $\frac{2}{3}x^2-\frac{π}{24}x^2=120$
解析
【分析】
解题时首先根据长与宽的比例关系用含x的代数式表示出背景墙的宽，再分析装饰布的构成：两个半圆和两个四分之一圆拼接后恰好是$\frac{3}{2}$个完整的圆，再结合“圆的直径是背景墙宽的一半”求出圆的半径，最后根据“长方形面积减去装饰布面积等于未被遮挡部分的面积120m²”这一等量关系列出方程即可。
【解析】
设背景墙的长为$x$ m：
1. 由长、宽之比为3:2，可得背景墙的宽为$\frac{2}{3}x$ m；
2. 计算装饰布的总面积极简形式：2个半圆的面积和为$2×\frac{1}{2}$个圆的面积=1个圆的面积，2个四分之一圆的面积和为$2×\frac{1}{4}$个圆的面积=$\frac{1}{2}$个圆的面积，因此装饰布总面积为$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$个圆的面积；
3. 求圆的半径：已知圆的直径是背景墙宽的一半，因此直径$d=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}x=\frac{x}{3}$ m，半径$r=\frac{d}{2}=\frac{x}{6}$ m；
4. 分别计算各部分面积：
长方形背景墙面积：$长×宽=x×\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}x^2$ m²；
装饰布总面积：$\frac{3}{2}×πr^2=\frac{3}{2}×π×(\frac{x}{6})^2=\frac{3}{2}×π×\frac{x^2}{36}=\frac{π}{24}x^2$ m²；
5. 根据未被遮挡面积为120 m²列方程：$\frac{2}{3}x^2 - \frac{π}{24}x^2=120$。
【答案】
$\frac{2}{3}x^2-\frac{π}{24}x^2=120$
【知识点】
列代数式；圆的面积计算；根据等量关系列方程
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础题型，解题的核心是先将不规则的阴影部分面积转化为规则的圆面积计算，再找准等量关系列方程，计算过程中要注意比例转换和半径推导的准确性。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据长与宽的比例关系用含x的代数式表示出背景墙的宽，再分析装饰布的构成：两个半圆和两个四分之一圆拼接后恰好是$\frac{3}{2}$个完整的圆，再结合“圆的直径是背景墙宽的一半”求出圆的半径，最后根据“长方形面积减去装饰布面积等于未被遮挡部分的面积120m²”这一等量关系列出方程即可。
【解析】
设背景墙的长为$x$ m：
1. 由长、宽之比为3:2，可得背景墙的宽为$\frac{2}{3}x$ m；
2. 计算装饰布的总面积极简形式：2个半圆的面积和为$2×\frac{1}{2}$个圆的面积=1个圆的面积，2个四分之一圆的面积和为$2×\frac{1}{4}$个圆的面积=$\frac{1}{2}$个圆的面积，因此装饰布总面积为$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$个圆的面积；
3. 求圆的半径：已知圆的直径是背景墙宽的一半，因此直径$d=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}x=\frac{x}{3}$ m，半径$r=\frac{d}{2}=\frac{x}{6}$ m；
4. 分别计算各部分面积：
长方形背景墙面积：$长×宽=x×\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}x^2$ m²；
装饰布总面积：$\frac{3}{2}×πr^2=\frac{3}{2}×π×(\frac{x}{6})^2=\frac{3}{2}×π×\frac{x^2}{36}=\frac{π}{24}x^2$ m²；
5. 根据未被遮挡面积为120 m²列方程：$\frac{2}{3}x^2 - \frac{π}{24}x^2=120$。
【答案】
$\frac{2}{3}x^2-\frac{π}{24}x^2=120$
【知识点】
列代数式；圆的面积计算；根据等量关系列方程
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础题型，解题的核心是先将不规则的阴影部分面积转化为规则的圆面积计算，再找准等量关系列方程，计算过程中要注意比例转换和半径推导的准确性。
【难度系数】
0.65
12. 定义:我们称关于$x$的方程$ax + b = 0$与方程$bx + a = 0$($a,b$均为不等于0的常数)互为“轮换方程”.如:方程$2x + 4 = 0$与方程$4x + 2 = 0$互为“轮换方程”.
(1)下列各组方程:①$3x + 7 = 0$与$7x + 3 = 0$;②$-6x + 3 = 0$与$3x - 6 = 0$;③$-11x - 1 = 0$与$x - 11 = 0$中,互为“轮换方程”的是
(2)若关于$x$的方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”,求$m$和$n$的值.
(1)下列各组方程:①$3x + 7 = 0$与$7x + 3 = 0$;②$-6x + 3 = 0$与$3x - 6 = 0$;③$-11x - 1 = 0$与$x - 11 = 0$中,互为“轮换方程”的是
①②
.(填序号)(2)若关于$x$的方程$5x + m + 3 = 0$与方程$4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”,求$m$和$n$的值.
答案
12. 解:(1)①②
(2)因为关于$x$的方程$5x+m+3=0$与方程$4x+n-2=0$互为“轮换方程”，
所以$m+3=4$,$n-2=5$,
解得$m=1$,$n=7$.
(2)因为关于$x$的方程$5x+m+3=0$与方程$4x+n-2=0$互为“轮换方程”，
所以$m+3=4$,$n-2=5$,
解得$m=1$,$n=7$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需准确理解“轮换方程”的定义：若关于$x$的方程$ax+b=0$与$bx+a=0$（$a$、$b$均不为0）互为“轮换方程”，本质是将第一个方程的一次项系数和常数项交换位置，得到第二个方程。
(1) 解题时逐组对照定义判断即可：先写出每组第一个方程的一次项系数$a$和常数项$b$，再看第二个方程是否符合$bx+a=0$的形式。
(2) 已知两个方程互为“轮换方程”，先明确第一个方程的一次项系数、常数项，对应得到轮换方程的系数，再和给出的第二个方程系数对比，列等式求解$m$、$n$即可。
【解析】
(1) 根据“轮换方程”的定义判断：
① 方程$3x+7=0$中，$a=3$，$b=7$，其轮换方程应为$7x+3=0$，和本组第二个方程一致，符合要求；
② 方程$-6x+3=0$中，$a=-6$，$b=3$，其轮换方程应为$3x+(-6)=0$，即$3x-6=0$，和本组第二个方程一致，符合要求；
③ 方程$-11x-1=0$可变形为$-11x+(-1)=0$，其中$a=-11$，$b=-1$，其轮换方程应为$-1· x + (-11)=0$，即$-x-11=0$，和本组第二个方程$x-11=0$不一致，不符合要求；
故互为“轮换方程”的是①②。
(2) 方程$5x + m +3 =0$的一次项系数为5，常数项为$m+3$，根据“轮换方程”的定义，它的轮换方程应为：$(m+3)x + 5 = 0$；
已知该轮换方程与$4x + n -2 =0$是同一个方程，因此两个方程的一次项系数对应相等，常数项对应相等，可得：
$\begin{cases} m+3=4 \\ n-2=5 \end{cases}$
分别解两个方程：
由$m+3=4$，得$m=4-3=1$；
由$n-2=5$，得$n=5+2=7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$；(2) $\boldsymbol{m=1}$，$\boldsymbol{n=7}$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的概念，解一元一次方程
【点评】
本题以新定义“轮换方程”为载体，考查学生的阅读理解能力和对一元一次方程相关知识的应用能力，解题核心是抓住“交换一次项系数和常数项得到轮换方程”这一关键性质，再对应系数列等式求解即可。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需准确理解“轮换方程”的定义：若关于$x$的方程$ax+b=0$与$bx+a=0$（$a$、$b$均不为0）互为“轮换方程”，本质是将第一个方程的一次项系数和常数项交换位置，得到第二个方程。
(1) 解题时逐组对照定义判断即可：先写出每组第一个方程的一次项系数$a$和常数项$b$，再看第二个方程是否符合$bx+a=0$的形式。
(2) 已知两个方程互为“轮换方程”，先明确第一个方程的一次项系数、常数项，对应得到轮换方程的系数，再和给出的第二个方程系数对比，列等式求解$m$、$n$即可。
【解析】
(1) 根据“轮换方程”的定义判断：
① 方程$3x+7=0$中，$a=3$，$b=7$，其轮换方程应为$7x+3=0$，和本组第二个方程一致，符合要求；
② 方程$-6x+3=0$中，$a=-6$，$b=3$，其轮换方程应为$3x+(-6)=0$，即$3x-6=0$，和本组第二个方程一致，符合要求；
③ 方程$-11x-1=0$可变形为$-11x+(-1)=0$，其中$a=-11$，$b=-1$，其轮换方程应为$-1· x + (-11)=0$，即$-x-11=0$，和本组第二个方程$x-11=0$不一致，不符合要求；
故互为“轮换方程”的是①②。
(2) 方程$5x + m +3 =0$的一次项系数为5，常数项为$m+3$，根据“轮换方程”的定义，它的轮换方程应为：$(m+3)x + 5 = 0$；
已知该轮换方程与$4x + n -2 =0$是同一个方程，因此两个方程的一次项系数对应相等，常数项对应相等，可得：
$\begin{cases} m+3=4 \\ n-2=5 \end{cases}$
分别解两个方程：
由$m+3=4$，得$m=4-3=1$；
由$n-2=5$，得$n=5+2=7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①②}$；(2) $\boldsymbol{m=1}$，$\boldsymbol{n=7}$
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的概念，解一元一次方程
【点评】
本题以新定义“轮换方程”为载体，考查学生的阅读理解能力和对一元一次方程相关知识的应用能力，解题核心是抓住“交换一次项系数和常数项得到轮换方程”这一关键性质，再对应系数列等式求解即可。
【难度系数】
0.8
