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1. 宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数.首先要“立天元一”，相当于现在的“设未知数$x$”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式.“天元术”指的是我们所学的 （
A.函数
B.有理数
C.代数式
D.方程
D
）A.函数
B.有理数
C.代数式
D.方程
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先提取题目中“天元术”的核心特征：①设立未知数；②根据条件列出两个相等的代数式，得到含有未知数的等式。再逐一回忆各选项对应的概念定义，将概念特征和“天元术”的特征做匹配，不符合的直接排除，最终选出正确答案。
【解析】
我们先明确各选项的定义：
A. 函数反映的是变化过程中两个变量的一一对应关系，与题干中“得到两个相等代数式的等式”特征不符，排除；
B. 有理数是整数和分数的统称，属于数的分类，和设未知数列等式的内容无关，排除；
C. 代数式是用运算符号连接数和字母得到的式子，本身不含有等号，不符合“得到等式”的特征，排除；
D. 方程的定义是含有未知数的等式，完全匹配“立天元（设未知数）、列相等代数式得到等式”的天元术特征，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
方程的定义；数学文化常识
【点评】
本题结合我国古代宋元时期的“天元术”这一数学成果出题，既考查了基础数学概念的辨析能力，又能帮助学生了解我国古代数学的辉煌成就，掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先提取题目中“天元术”的核心特征：①设立未知数；②根据条件列出两个相等的代数式，得到含有未知数的等式。再逐一回忆各选项对应的概念定义，将概念特征和“天元术”的特征做匹配，不符合的直接排除，最终选出正确答案。
【解析】
我们先明确各选项的定义：
A. 函数反映的是变化过程中两个变量的一一对应关系，与题干中“得到两个相等代数式的等式”特征不符，排除；
B. 有理数是整数和分数的统称，属于数的分类，和设未知数列等式的内容无关，排除；
C. 代数式是用运算符号连接数和字母得到的式子，本身不含有等号，不符合“得到等式”的特征，排除；
D. 方程的定义是含有未知数的等式，完全匹配“立天元（设未知数）、列相等代数式得到等式”的天元术特征，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
方程的定义；数学文化常识
【点评】
本题结合我国古代宋元时期的“天元术”这一数学成果出题，既考查了基础数学概念的辨析能力，又能帮助学生了解我国古代数学的辉煌成就，掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.85
2. 已知式子:①$3-4=-1$;②$2x-5y$;③$1+2x=0$;④$6x+4y=2$;⑤$3x^2 -2x +1=0$.其中的等式是
①③④⑤
,其中含有未知数的等式是③④⑤
,所以其中的方程是③④⑤
.(填序号)答案
2. ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤
解析
【分析】
解题时首先要明确三个核心概念：①等式是用等号连接的表示相等关系的式子；②含有未知数的等式需要同时满足“是等式”和“式子中含有未知字母”两个条件；③方程的定义就是含有未知数的等式。接下来我们逐一对给出的5个式子按上述定义判断即可。
【解析】
首先逐个分析每个式子：
1. 式子①$3-4=-1$：有等号连接，属于等式，式子中没有未知数，因此不属于含未知数的等式，也不是方程；
2. 式子②$2x-5y$：没有等号，是代数式，不属于等式，直接排除；
3. 式子③$1+2x=0$：有等号属于等式，含有未知数$x$，是含未知数的等式，因此是方程；
4. 式子④$6x+4y=2$：有等号属于等式，含有未知数$x、y$，是含未知数的等式，因此是方程；
5. 式子⑤$3x^2 -2x +1=0$：有等号属于等式，含有未知数$x$，是含未知数的等式，因此是方程。
综上，等式有①③④⑤，含有未知数的等式有③④⑤，方程有③④⑤。
【答案】
①③④⑤；③④⑤；③④⑤
【知识点】
等式的识别；方程的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题关键是牢记等式和方程的定义，注意方程需要同时满足“是等式”和“含有未知数”两个条件，缺一不可，避免误把不含未知数的等式认作方程。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确三个核心概念：①等式是用等号连接的表示相等关系的式子；②含有未知数的等式需要同时满足“是等式”和“式子中含有未知字母”两个条件；③方程的定义就是含有未知数的等式。接下来我们逐一对给出的5个式子按上述定义判断即可。
【解析】
首先逐个分析每个式子：
1. 式子①$3-4=-1$：有等号连接，属于等式，式子中没有未知数，因此不属于含未知数的等式，也不是方程；
2. 式子②$2x-5y$：没有等号，是代数式，不属于等式，直接排除；
3. 式子③$1+2x=0$：有等号属于等式，含有未知数$x$，是含未知数的等式，因此是方程；
4. 式子④$6x+4y=2$：有等号属于等式，含有未知数$x、y$，是含未知数的等式，因此是方程；
5. 式子⑤$3x^2 -2x +1=0$：有等号属于等式，含有未知数$x$，是含未知数的等式，因此是方程。
综上，等式有①③④⑤，含有未知数的等式有③④⑤，方程有③④⑤。
【答案】
①③④⑤；③④⑤；③④⑤
【知识点】
等式的识别；方程的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题关键是牢记等式和方程的定义，注意方程需要同时满足“是等式”和“含有未知数”两个条件，缺一不可，避免误把不含未知数的等式认作方程。
【难度系数】
0.9
3. 列等式表示：“$x$ 的一半与10 的和等于8”，下列正确的是 （
A.$\frac{1}{2}x +8=10$
B.$\frac{1}{2}x +10=8$
C.$\frac{1}{2}(x+10)=8$
D.$x+10=8$
B
）A.$\frac{1}{2}x +8=10$
B.$\frac{1}{2}x +10=8$
C.$\frac{1}{2}(x+10)=8$
D.$x+10=8$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时需逐句拆解题干的文字表述，明确每部分对应的数学运算：首先确定“x的一半”对应的代数式，再计算它与10的和，最后根据“等于8”的描述列出完整等式，再匹配选项即可。
【解析】
1. 先转化“x的一半”：表示为$\frac{1}{2}x$；
2. 再转化“x的一半与10的和”：即$\frac{1}{2}x$加10，得到$\frac{1}{2}x +10$；
3. 根据“和等于8”，可列等式：$\frac{1}{2}x +10=8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程；文字语言转数学语言
【点评】
本题属于基础列式题，解题核心是准确理解文字描述的运算顺序，避免混淆运算优先级，常见错误是误将“x的一半与10的和”理解为“x与10的和的一半”，从而错选C。
【难度系数】
0.9
解题时需逐句拆解题干的文字表述，明确每部分对应的数学运算：首先确定“x的一半”对应的代数式，再计算它与10的和，最后根据“等于8”的描述列出完整等式，再匹配选项即可。
【解析】
1. 先转化“x的一半”：表示为$\frac{1}{2}x$；
2. 再转化“x的一半与10的和”：即$\frac{1}{2}x$加10，得到$\frac{1}{2}x +10$；
3. 根据“和等于8”，可列等式：$\frac{1}{2}x +10=8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程；文字语言转数学语言
【点评】
本题属于基础列式题，解题核心是准确理解文字描述的运算顺序，避免混淆运算优先级，常见错误是误将“x的一半与10的和”理解为“x与10的和的一半”，从而错选C。
【难度系数】
0.9
4. 天平的A,B两个盘内分别盛有51 g和45 g的盐,应从A盘内拿出多少盐放到B盘内,才能使两个盘内所盛盐的质量相等?若设应从A盘内拿出x g盐放到B盘内,才能使两个盘内所盛盐的质量相等,依题意可得方程为 (
A.$51 + x = 45 - x$
B.$51 - x = 45 + x$
C.$51 - 2x = 45 + x$
D.$51 - x = 45 + 2x$
B
)A.$51 + x = 45 - x$
B.$51 - x = 45 + x$
C.$51 - 2x = 45 + x$
D.$51 - x = 45 + 2x$
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确拿盐之后A、B两盘的质量变化：从A盘拿出x g盐放到B盘，那么A盘的盐会减少x g，B盘的盐会增加x g；最终两盘盐的质量相等，也就是变化后A盘的质量=变化后B盘的质量，根据这个等量关系就能列出对应方程。
【解析】
第一步：计算A盘拿出x g盐后的质量：原来A盘有51g，拿出x g后，剩余质量为$51 - x$ g；
第二步：计算B盘放入x g盐后的质量：原来B盘有45g，放入x g后，总质量为$45 + x$ g；
第三步：根据“两盘盐质量相等”的等量关系，可列方程：$51 - x = 45 + x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程；调配问题等量关系
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是准确梳理调配前后两个量的变化情况，找准等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确拿盐之后A、B两盘的质量变化：从A盘拿出x g盐放到B盘，那么A盘的盐会减少x g，B盘的盐会增加x g；最终两盘盐的质量相等，也就是变化后A盘的质量=变化后B盘的质量，根据这个等量关系就能列出对应方程。
【解析】
第一步：计算A盘拿出x g盐后的质量：原来A盘有51g，拿出x g后，剩余质量为$51 - x$ g；
第二步：计算B盘放入x g盐后的质量：原来B盘有45g，放入x g后，总质量为$45 + x$ g；
第三步：根据“两盘盐质量相等”的等量关系，可列方程：$51 - x = 45 + x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程；调配问题等量关系
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题核心是准确梳理调配前后两个量的变化情况，找准等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5.（教材例1变式）若七年级共有学生$ x $人，其中男生占$ 52\% $，女生有180人，则下列方程正确的是（
A.$ 1 - 52\% x = 180 $
B.$ x = 180 - 52\% x $
C.$ (1 + 52\%)x = 180 $
D.$ (1 - 52\%)x = 180 $
D
）A.$ 1 - 52\% x = 180 $
B.$ x = 180 - 52\% x $
C.$ (1 + 52\%)x = 180 $
D.$ (1 - 52\%)x = 180 $
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先要找准题目中的等量关系：总人数×女生占总人数的比例=女生人数。已知总人数为x，男生占52%，那么女生占总人数的比例就是总占比1减去男生的占比52%，再结合女生人数为180人，就能列出对应的方程，再对比选项选出正确答案即可。
【解析】
已知七年级共有学生x人，男生占总人数的52%，则女生占总人数的比例为$1-52\%$。
根据“女生人数=总人数×女生占总人数的比例”，且女生人数为180人，可列方程：
$(1-52\%)x=180$
对比选项可知D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 百分数的实际应用
【点评】
本题考查根据实际问题列一元一次方程，解题的核心是准确找到等量关系，明确部分量、总量和对应占比之间的关系，是方程实际应用中的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先要找准题目中的等量关系：总人数×女生占总人数的比例=女生人数。已知总人数为x，男生占52%，那么女生占总人数的比例就是总占比1减去男生的占比52%，再结合女生人数为180人，就能列出对应的方程，再对比选项选出正确答案即可。
【解析】
已知七年级共有学生x人，男生占总人数的52%，则女生占总人数的比例为$1-52\%$。
根据“女生人数=总人数×女生占总人数的比例”，且女生人数为180人，可列方程：
$(1-52\%)x=180$
对比选项可知D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 百分数的实际应用
【点评】
本题考查根据实际问题列一元一次方程，解题的核心是准确找到等量关系，明确部分量、总量和对应占比之间的关系，是方程实际应用中的基础题型。
【难度系数】
0.9
6.（教材习题5.1T6变式）把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人2000元，二等奖每人50元，则获得一等奖的学生有多少人？设获得一等奖的学生有x人，依题意列方程得
$200x+50(22-x)=1400$
。答案
6. $200x+50(22-x)=1400$
解析
【分析】
解题时首先明确题目已设获得一等奖的学生有x人，第一步先推导获得二等奖的学生人数：总共有22名学生，因此二等奖人数为(22-x)人。接下来找题目中的等量关系：两种奖项的总奖金之和等于全部奖学金1400元。再分别表示出一等奖总奖金、二等奖总奖金，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
已知设获得一等奖的学生有x人，
则获得二等奖的学生人数为：$22 - x$（人）
一等奖的总奖金为：$200x$（元）
二等奖的总奖金为：$50(22 - x)$（元）
根据“一等奖总奖金+二等奖总奖金=总奖学金1400元”的等量关系，可列方程：
$200x + 50(22 - x) = 1400$
【答案】
$200x+50(22-x)=1400$
【知识点】
一元一次方程的应用；根据等量关系列方程
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，找到对应的等量关系代入表达式即可，注意人数和奖金的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目已设获得一等奖的学生有x人，第一步先推导获得二等奖的学生人数：总共有22名学生，因此二等奖人数为(22-x)人。接下来找题目中的等量关系：两种奖项的总奖金之和等于全部奖学金1400元。再分别表示出一等奖总奖金、二等奖总奖金，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
已知设获得一等奖的学生有x人，
则获得二等奖的学生人数为：$22 - x$（人）
一等奖的总奖金为：$200x$（元）
二等奖的总奖金为：$50(22 - x)$（元）
根据“一等奖总奖金+二等奖总奖金=总奖学金1400元”的等量关系，可列方程：
$200x + 50(22 - x) = 1400$
【答案】
$200x+50(22-x)=1400$
【知识点】
一元一次方程的应用；根据等量关系列方程
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题核心是准确梳理题目中的数量关系，找到对应的等量关系代入表达式即可，注意人数和奖金的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.9
7. 学校中心大草坪上准备修建两个同样大小的圆形花坛，要求花坛的面积是余下草坪面积的一半。已知草坪是长和宽分别为80米和60米的长方形，求花坛的半径。设花坛的半径为x米，可列方程为
$2π x^2=\frac{1}{2}(80×60-2π x^2)$
。答案
7. $2π x^2=\frac{1}{2}(80×60-2π x^2)$
解析
【分析】
解题时首先要提取题干中的核心等量关系：两个花坛的总面积 = 余下草坪面积的$\frac{1}{2}$。接下来分步表示各部分面积：第一步先算长方形草坪的总面积，用长乘宽即可求得；第二步用含x的式子表示两个圆形花坛的总面积；第三步用长方形总面积减去两个花坛的总面积得到余下草坪的面积；最后将各部分代入等量关系就能列出方程。
【解析】
1. 计算长方形草坪的总面积：长方形面积=长×宽，即$80×60$平方米；
2. 计算两个花坛的总面积：单个圆形花坛面积为$π x^2$，两个同样的花坛总面积为$2π x^2$平方米；
3. 计算余下草坪的面积：余下面积 = 长方形总面积 - 两个花坛总面积，即$80×60 - 2π x^2$平方米；
4. 根据“花坛的面积是余下草坪面积的一半”列等式，可得方程：$2π x^2=\frac{1}{2}(80×60-2π x^2)$。
【答案】
$2π x^2=\frac{1}{2}(80×60-2π x^2)$
【知识点】
列方程解应用题、长方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是准确找准题干中的等量关系，正确表示各部分的面积即可列出对应的方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先要提取题干中的核心等量关系：两个花坛的总面积 = 余下草坪面积的$\frac{1}{2}$。接下来分步表示各部分面积：第一步先算长方形草坪的总面积，用长乘宽即可求得；第二步用含x的式子表示两个圆形花坛的总面积；第三步用长方形总面积减去两个花坛的总面积得到余下草坪的面积；最后将各部分代入等量关系就能列出方程。
【解析】
1. 计算长方形草坪的总面积：长方形面积=长×宽，即$80×60$平方米；
2. 计算两个花坛的总面积：单个圆形花坛面积为$π x^2$，两个同样的花坛总面积为$2π x^2$平方米；
3. 计算余下草坪的面积：余下面积 = 长方形总面积 - 两个花坛总面积，即$80×60 - 2π x^2$平方米；
4. 根据“花坛的面积是余下草坪面积的一半”列等式，可得方程：$2π x^2=\frac{1}{2}(80×60-2π x^2)$。
【答案】
$2π x^2=\frac{1}{2}(80×60-2π x^2)$
【知识点】
列方程解应用题、长方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是准确找准题干中的等量关系，正确表示各部分的面积即可列出对应的方程。
【难度系数】
0.7
8. (教材习题5.1T1变式)列等式表示：
(1)$x$与3的差的4倍比$x$的2倍多5；
(2)$x$的5倍与2的和等于$x$的3倍与4的差。
(1)$x$与3的差的4倍比$x$的2倍多5；
(2)$x$的5倍与2的和等于$x$的3倍与4的差。
答案
8. 解:(1)$4(x-3)=2x+5$.
(2)$5x+2=3x-4$.
(2)$5x+2=3x-4$.
解析
【分析】
解决这类列等式的问题可分两步思考：第一步，根据文字描述的运算顺序，分别将等式左右两边的数量关系转化为代数式，注意需要先算的部分（比如差、和等要整体参与运算时）要添加括号保证运算顺序正确；第二步，找到题中的等量关键词，如“比...多...”“等于”，将左右两边的代数式用等号连接即可。
【解析】
(1) 先表示“x与3的差的4倍”：先算x与3的差为$x-3$，再乘4得$4(x-3)$；再表示“x的2倍多5”：x的2倍为$2x$，多5即加5，得$2x+5$。两者相等，因此列等式为$4(x-3)=2x+5$。
(2) 先表示“x的5倍与2的和”：x的5倍为$5x$，加2得$5x+2$；再表示“x的3倍与4的差”：x的3倍为$3x$，减4得$3x-4$。两者相等，因此列等式为$5x+2=3x-4$。
【答案】
(1)$4(x-3)=2x+5$；(2)$5x+2=3x-4$
【知识点】
列代数式；找等量关系；列一元一次方程
【点评】
本题是文字语言转化为数学等式的基础题型，解题核心是准确理解文字描述的运算顺序，抓住“等于”“比...多/少”等等量标志词，注意需要先运算的部分要加括号，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.9
解决这类列等式的问题可分两步思考：第一步，根据文字描述的运算顺序，分别将等式左右两边的数量关系转化为代数式，注意需要先算的部分（比如差、和等要整体参与运算时）要添加括号保证运算顺序正确；第二步，找到题中的等量关键词，如“比...多...”“等于”，将左右两边的代数式用等号连接即可。
【解析】
(1) 先表示“x与3的差的4倍”：先算x与3的差为$x-3$，再乘4得$4(x-3)$；再表示“x的2倍多5”：x的2倍为$2x$，多5即加5，得$2x+5$。两者相等，因此列等式为$4(x-3)=2x+5$。
(2) 先表示“x的5倍与2的和”：x的5倍为$5x$，加2得$5x+2$；再表示“x的3倍与4的差”：x的3倍为$3x$，减4得$3x-4$。两者相等，因此列等式为$5x+2=3x-4$。
【答案】
(1)$4(x-3)=2x+5$；(2)$5x+2=3x-4$
【知识点】
列代数式；找等量关系；列一元一次方程
【点评】
本题是文字语言转化为数学等式的基础题型，解题核心是准确理解文字描述的运算顺序，抓住“等于”“比...多/少”等等量标志词，注意需要先运算的部分要加括号，避免出现运算顺序错误。
【难度系数】
0.9
9.（教材习题5.1T2变式）根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程：
(1) 三角形三边为$x+4$，$x+2$，$x-1$，周长是20；
(2)
，三角形内角为$x°$，$(2x)°$，$(2x)°$；
(3) 直角三角形，底为$x$，高为$2x$，面积是8；
图35-G-1
(1) 三角形三边为$x+4$，$x+2$，$x-1$，周长是20；
(2)
，三角形内角为$x°$，$(2x)°$，$(2x)°$；(3) 直角三角形，底为$x$，高为$2x$，面积是8；
图35-G-1
答案
9. 解:(1)$(x-1)+(x+2)+(x+4)=20$.
(2)$x+2x+2x=180$.
(3)$\frac{1}{2}×2x^2=8$.
(2)$x+2x+2x=180$.
(3)$\frac{1}{2}×2x^2=8$.
解析
【分析】
(1) 列本小问方程的核心是找周长的等量关系：三角形的周长等于三边长度之和，我们只需将给出的三边长度相加，令其等于已知周长20即可列出方程。
(2) 列本小问方程的核心是利用三角形内角和的性质：任意三角形三个内角的和为180°，将三个内角的度数相加等于180°即可列出方程。
(3) 列本小问方程的核心是利用三角形面积公式：直角三角形面积等于二分之一乘底乘高，将已知的底、高和面积数值代入公式即可列出方程。
【解析】
(1) 根据三角形周长=三边长度之和，代入已知条件：
$(x-1)+(x+2)+(x+4)=20$
(2) 根据三角形内角和为180°，代入已知的三个内角度数：
$x+2x+2x=180$
(3) 根据直角三角形面积公式$\mathrm{面积}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，代入底为$x$、高为$2x$、面积为8的条件：
$\frac{1}{2}×x×2x=8$，化简可得$\frac{1}{2}×2x^2=8$
【答案】
(1)$(x-1)+(x+2)+(x+4)=20$
(2)$x+2x+2x=180$
(3)$\frac{1}{2}×2x^2=8$
【知识点】
三角形周长计算、三角形内角和定理、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础的列方程题型，解题关键是结合几何图形的基本性质找到等量关系，熟练掌握三角形的相关公式即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
(1) 列本小问方程的核心是找周长的等量关系：三角形的周长等于三边长度之和，我们只需将给出的三边长度相加，令其等于已知周长20即可列出方程。
(2) 列本小问方程的核心是利用三角形内角和的性质：任意三角形三个内角的和为180°，将三个内角的度数相加等于180°即可列出方程。
(3) 列本小问方程的核心是利用三角形面积公式：直角三角形面积等于二分之一乘底乘高，将已知的底、高和面积数值代入公式即可列出方程。
【解析】
(1) 根据三角形周长=三边长度之和，代入已知条件：
$(x-1)+(x+2)+(x+4)=20$
(2) 根据三角形内角和为180°，代入已知的三个内角度数：
$x+2x+2x=180$
(3) 根据直角三角形面积公式$\mathrm{面积}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，代入底为$x$、高为$2x$、面积为8的条件：
$\frac{1}{2}×x×2x=8$，化简可得$\frac{1}{2}×2x^2=8$
【答案】
(1)$(x-1)+(x+2)+(x+4)=20$
(2)$x+2x+2x=180$
(3)$\frac{1}{2}×2x^2=8$
【知识点】
三角形周长计算、三角形内角和定理、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础的列方程题型，解题关键是结合几何图形的基本性质找到等量关系，熟练掌握三角形的相关公式即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9
