登录
9. (2025 巴音郭楞州期末)已知多项式$A=3x^2 +6ax -1$，$B=x^2 +2x +1$。
(1)当$x=-1,a=2$时，求$A$的值；
(2)当$a=\frac{1}{2}$时，化简$A-3B$。
(1)当$x=-1,a=2$时，求$A$的值；
(2)当$a=\frac{1}{2}$时，化简$A-3B$。
答案
9. 解:(1)当 $x=-1,a=2$ 时，
$A=3x^2+6ax-1$
$=3×(-1)^2+6×2×(-1)-1$
$=3-12-1$
$=-10$.
(2)$A-3B=(3x^2+6ax-1)-3(x^2+2x+1)$
$=3x^2+6ax-1-3x^2-6x-3$
$=6ax-6x-4$.
当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时,原式$=3x-6x-4=-3x-4$.
$A=3x^2+6ax-1$
$=3×(-1)^2+6×2×(-1)-1$
$=3-12-1$
$=-10$.
(2)$A-3B=(3x^2+6ax-1)-3(x^2+2x+1)$
$=3x^2+6ax-1-3x^2-6x-3$
$=6ax-6x-4$.
当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时,原式$=3x-6x-4=-3x-4$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：
(1) 属于代数式代入求值问题，直接把给定的x=-1、a=2代入多项式A的表达式，按照有理数运算顺序，先算乘方、再算乘法、最后算加减，就能算出结果。
(2) 属于整式的化简运算，首先将A、B的表达式代入A-3B，先根据去括号法则去掉括号（注意括号前是-3，括号内每一项都要乘-3且变号），再合并同类项得到含a的最简式，最后把a=1/2代入最简式进一步化简即可。
【解析】
(1) 当 $x=-1,a=2$ 时，
$A=3x^2+6ax-1$
$=3×(-1)^2+6×2×(-1)-1$
$=3-12-1$
$=-10$
(2) 先计算$A-3B$：
$A-3B=(3x^2+6ax-1)-3(x^2+2x+1)$
$=3x^2+6ax-1-3x^2-6x-3$
$=6ax-6x-4$
当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时，
原式$=6×\dfrac{1}{2}x -6x -4=3x-6x-4=-3x-4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{-3x-4}$
【知识点】
代数式求值，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察代入求值方法和整式加减中去括号、合并同类项的运算规则，解题时需注意去括号时不要出现漏乘、符号错误的问题。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问，解题思路清晰：
(1) 属于代数式代入求值问题，直接把给定的x=-1、a=2代入多项式A的表达式，按照有理数运算顺序，先算乘方、再算乘法、最后算加减，就能算出结果。
(2) 属于整式的化简运算，首先将A、B的表达式代入A-3B，先根据去括号法则去掉括号（注意括号前是-3，括号内每一项都要乘-3且变号），再合并同类项得到含a的最简式，最后把a=1/2代入最简式进一步化简即可。
【解析】
(1) 当 $x=-1,a=2$ 时，
$A=3x^2+6ax-1$
$=3×(-1)^2+6×2×(-1)-1$
$=3-12-1$
$=-10$
(2) 先计算$A-3B$：
$A-3B=(3x^2+6ax-1)-3(x^2+2x+1)$
$=3x^2+6ax-1-3x^2-6x-3$
$=6ax-6x-4$
当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时，
原式$=6×\dfrac{1}{2}x -6x -4=3x-6x-4=-3x-4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{-3x-4}$
【知识点】
代数式求值，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察代入求值方法和整式加减中去括号、合并同类项的运算规则，解题时需注意去括号时不要出现漏乘、符号错误的问题。
【难度系数】
0.85
10. (2025伊犁州期末) 如图34-G-1，已知长方形ABCD的宽AB=a，两个空白处扇形所在圆的半径分别为a，b.
(1)用含字母的式子表示阴影部分的面积；(用含有a，b，π的式子表示)
(2)当a=5，b=3，π取3.14时，阴影部分的面积是多少？
图34-G-1
(1)用含字母的式子表示阴影部分的面积；(用含有a，b，π的式子表示)
(2)当a=5，b=3，π取3.14时，阴影部分的面积是多少？
图34-G-1
答案
10. 解:(1)阴影部分的面积为
$a(a+b)-\dfrac{90π a^2}{360}-\dfrac{90π b^2}{360}$
$=a^2+ab-\dfrac{π}{4}a^2-\dfrac{π}{4}b^2$
$=(1-\dfrac{π}{4})a^2-\dfrac{π}{4}b^2+ab$.
(2)由(1)得阴影部分的面积为$(1-\dfrac{π}{4})a^2-\dfrac{π}{4}b^2+ab$.
当 $a=5,b=3,π$ 取 3.14 时，
原式$\approx(1-\dfrac{1}{4}×3.14)×5^2-\dfrac{1}{4}×3.14×3^2+5×3$
$=5.375-7.065+15$
$=13.31$.
答:阴影部分的面积约是 13.31.
$a(a+b)-\dfrac{90π a^2}{360}-\dfrac{90π b^2}{360}$
$=a^2+ab-\dfrac{π}{4}a^2-\dfrac{π}{4}b^2$
$=(1-\dfrac{π}{4})a^2-\dfrac{π}{4}b^2+ab$.
(2)由(1)得阴影部分的面积为$(1-\dfrac{π}{4})a^2-\dfrac{π}{4}b^2+ab$.
当 $a=5,b=3,π$ 取 3.14 时，
原式$\approx(1-\dfrac{1}{4}×3.14)×5^2-\dfrac{1}{4}×3.14×3^2+5×3$
$=5.375-7.065+15$
$=13.31$.
答:阴影部分的面积约是 13.31.
解析
【分析】
求解不规则阴影部分面积优先采用“整体减空白”的割补思路：首先确定整体图形是长方形，先计算长方形的面积；再识别两个空白部分均为圆心角90°的扇形，面积分别为对应半径的四分之一圆面积；最后用长方形面积减去两个扇形面积即可得到阴影面积的代数式，第二问只需将数值代入第一问得到的代数式按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 长方形ABCD的长为$a+b$，宽为$a$，因此长方形面积为$a(a+b)$。
两个空白扇形均为圆心角$90°$的扇形，面积分别为半径$a$的$\frac{1}{4}$圆面积、半径$b$的$\frac{1}{4}$圆面积，即：
$S_{\mathrm{大空白扇形}}=\frac{90π a^2}{360}=\frac{1}{4}π a^2$，$S_{\mathrm{小空白扇形}}=\frac{90π b^2}{360}=\frac{1}{4}π b^2$
因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a(a+b)-\frac{1}{4}π a^2-\frac{1}{4}π b^2\\&=a^2+ab-\frac{π}{4}a^2-\frac{π}{4}b^2\\&=(1-\frac{π}{4})a^2-\frac{π}{4}b^2+ab\end{aligned}$
(2) 将$a=5$，$b=3$，$π=3.14$代入上述代数式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&\approx(1-\frac{1}{4}×3.14)×5^2-\frac{1}{4}×3.14×3^2+5×3\\&=0.215×25 - 7.065 +15\\&=5.375-7.065+15\\&=13.31\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{(1-\dfrac{π}{4})a^2-\dfrac{π}{4}b^2+ab}$
(2) $\boxed{13.31}$
【知识点】
长方形面积计算，扇形面积计算，代数式求值
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时需准确识别各规则图形的参数，代入求值时注意运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
求解不规则阴影部分面积优先采用“整体减空白”的割补思路：首先确定整体图形是长方形，先计算长方形的面积；再识别两个空白部分均为圆心角90°的扇形，面积分别为对应半径的四分之一圆面积；最后用长方形面积减去两个扇形面积即可得到阴影面积的代数式，第二问只需将数值代入第一问得到的代数式按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 长方形ABCD的长为$a+b$，宽为$a$，因此长方形面积为$a(a+b)$。
两个空白扇形均为圆心角$90°$的扇形，面积分别为半径$a$的$\frac{1}{4}$圆面积、半径$b$的$\frac{1}{4}$圆面积，即：
$S_{\mathrm{大空白扇形}}=\frac{90π a^2}{360}=\frac{1}{4}π a^2$，$S_{\mathrm{小空白扇形}}=\frac{90π b^2}{360}=\frac{1}{4}π b^2$
因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a(a+b)-\frac{1}{4}π a^2-\frac{1}{4}π b^2\\&=a^2+ab-\frac{π}{4}a^2-\frac{π}{4}b^2\\&=(1-\frac{π}{4})a^2-\frac{π}{4}b^2+ab\end{aligned}$
(2) 将$a=5$，$b=3$，$π=3.14$代入上述代数式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&\approx(1-\frac{1}{4}×3.14)×5^2-\frac{1}{4}×3.14×3^2+5×3\\&=0.215×25 - 7.065 +15\\&=5.375-7.065+15\\&=13.31\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{(1-\dfrac{π}{4})a^2-\dfrac{π}{4}b^2+ab}$
(2) $\boxed{13.31}$
【知识点】
长方形面积计算，扇形面积计算，代数式求值
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时需准确识别各规则图形的参数，代入求值时注意运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
11. 在月历中有许多奥秘，如图34-G-2①是2026年7月的月历，请仔细观察并思考下列问题：
(1)我们用如图②所示的“X”形框架任意框住月历中的5个数，探究“X”形框架中的5个数的和与C位置上的数的关系。
例如图①中“X”形框架框住的5个数的和为$2+4+10+16+18=$
(2)设“X”形框架中C位置上的数为$m$，请利用所学知识对(1)中的规律进行说明；
(3)在如图①的月历中，用“X”形框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为
(1)我们用如图②所示的“X”形框架任意框住月历中的5个数，探究“X”形框架中的5个数的和与C位置上的数的关系。
例如图①中“X”形框架框住的5个数的和为$2+4+10+16+18=$
50
，$5+7+13+19+21=$65
。不难发现，“X”形框架中的5个数的和与C位置上的数的关系为“X”形框架中的5个数的和等于C位置上的数的5倍
；(2)设“X”形框架中C位置上的数为$m$，请利用所学知识对(1)中的规律进行说明；
(3)在如图①的月历中，用“X”形框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为
70
。答案
11. 解:(1) 因为 $2+4+10+16+18=50,5+7+13+19+21=65$，
所以“X”形框架中的 5 个数的和与 C 位置上的数的关系为：
“X”形框架中的 5 个数的和等于 C 位置上的数的 5 倍。
故答案为 50,65,“X”形框架中的 5 个数的和等于 C 位置上的数的 5 倍。
(2)因为“X”形框架中 C 位置上的数为 $m$，
所以 A 位置上的数为 $m-8$,B 位置上的数为 $m-6$,D 位置上的数为 $m+6$,E 位置上的数为 $m+8$.
因为 $m+(m-8)+(m-6)+(m+6)+(m+8)=5m$，
所以“X”形框架中的 5 个数的和等于 C 位置上的数的 5 倍。
(3)由题意,得 $23×5-9×5=70$.
故答案为 70.
所以“X”形框架中的 5 个数的和与 C 位置上的数的关系为：
“X”形框架中的 5 个数的和等于 C 位置上的数的 5 倍。
故答案为 50,65,“X”形框架中的 5 个数的和等于 C 位置上的数的 5 倍。
(2)因为“X”形框架中 C 位置上的数为 $m$，
所以 A 位置上的数为 $m-8$,B 位置上的数为 $m-6$,D 位置上的数为 $m+6$,E 位置上的数为 $m+8$.
因为 $m+(m-8)+(m-6)+(m+6)+(m+8)=5m$，
所以“X”形框架中的 5 个数的和等于 C 位置上的数的 5 倍。
(3)由题意,得 $23×5-9×5=70$.
故答案为 70.
解析
【分析】
解题时按以下思路逐步推导：
1. 解决第(1)问：先分别计算两组5个数的和，再观察每组和与对应C位置数的倍数关系，即可总结出规律。
2. 解决第(2)问：结合月历数字特点：同一行相邻数差1，上下相邻行同列数差7，用含m的代数式分别表示A、B、D、E四个位置的数，将5个数相加化简，即可验证规律。
3. 解决第(3)问：要使5个数都在月历内，需保证A、B、D、E均为月历中存在的数，据此求出C位置数的最小值和最大值，再结合规律得到最大和与最小和，计算差值即可。
【解析】
(1) 计算第一组和：$2+4+10+16+18=50$，对应C位置的数是10，$50=10×5$；
计算第二组和：$5+7+13+19+21=65$，对应C位置的数是13，$65=13×5$；
因此可得关系：“X”形框架中的5个数的和等于C位置上的数的5倍。
(2) 设C位置上的数为$m$，根据月历数字规律：
A在C的左上方，比C小$7+1=8$，即$A=m-8$；
B在C的右上方，比C小$7-1=6$，即$B=m-6$；
D在C的左下方，比C大$7-1=6$，即$D=m+6$；
E在C的右下方，比C大$7+1=8$，即$E=m+8$。
五个数的和为：$(m-8)+(m-6)+m+(m+6)+(m+8)=5m$，因此5个数的和是C位置数的5倍，规律成立。
(3) 要使框架内5个数都在月历中：
最小的C需满足$m-8≥1$，即$m≥9$，最小和为$9×5=45$；
最大的C需满足$m+8≤31$，即$m≤23$，最大和为$23×5=115$；
因此最大值与最小值的差为$115-45=70$。
【答案】
(1) $\boxed{50}$，$\boxed{65}$，“X”形框架中的5个数的和等于C位置上的数的5倍
(2) 5个数的和为$5m$，规律得证
(3) $\boxed{70}$
【知识点】
月历数字规律，整式加减运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律的探究与应用，从具体数值计算发现规律，再通过代数式运算验证规律，最后应用规律解决最值问题，体现了从特殊到一般的数学探究方法，有助于提升观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
解题时按以下思路逐步推导：
1. 解决第(1)问：先分别计算两组5个数的和，再观察每组和与对应C位置数的倍数关系，即可总结出规律。
2. 解决第(2)问：结合月历数字特点：同一行相邻数差1，上下相邻行同列数差7，用含m的代数式分别表示A、B、D、E四个位置的数，将5个数相加化简，即可验证规律。
3. 解决第(3)问：要使5个数都在月历内，需保证A、B、D、E均为月历中存在的数，据此求出C位置数的最小值和最大值，再结合规律得到最大和与最小和，计算差值即可。
【解析】
(1) 计算第一组和：$2+4+10+16+18=50$，对应C位置的数是10，$50=10×5$；
计算第二组和：$5+7+13+19+21=65$，对应C位置的数是13，$65=13×5$；
因此可得关系：“X”形框架中的5个数的和等于C位置上的数的5倍。
(2) 设C位置上的数为$m$，根据月历数字规律：
A在C的左上方，比C小$7+1=8$，即$A=m-8$；
B在C的右上方，比C小$7-1=6$，即$B=m-6$；
D在C的左下方，比C大$7-1=6$，即$D=m+6$；
E在C的右下方，比C大$7+1=8$，即$E=m+8$。
五个数的和为：$(m-8)+(m-6)+m+(m+6)+(m+8)=5m$，因此5个数的和是C位置数的5倍，规律成立。
(3) 要使框架内5个数都在月历中：
最小的C需满足$m-8≥1$，即$m≥9$，最小和为$9×5=45$；
最大的C需满足$m+8≤31$，即$m≤23$，最大和为$23×5=115$；
因此最大值与最小值的差为$115-45=70$。
【答案】
(1) $\boxed{50}$，$\boxed{65}$，“X”形框架中的5个数的和等于C位置上的数的5倍
(2) 5个数的和为$5m$，规律得证
(3) $\boxed{70}$
【知识点】
月历数字规律，整式加减运算，规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律的探究与应用，从具体数值计算发现规律，再通过代数式运算验证规律，最后应用规律解决最值问题，体现了从特殊到一般的数学探究方法，有助于提升观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
