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1. (2026·绵阳期中)满足两条直角边的和等于12的直角三角形,它们的面积都不会超过 (
A.12
B.18
C.24
D.36
B
)A.12
B.18
C.24
D.36
答案
1. B 解析:设一条直角边为 x,三角形的面积为 S,则 S=1/2 x(12-x)=-1/2 x²+6x=-1/2(x-6)²+18,所以当 x=6 时,S最大为 18,此时 12-x=6,所以当两条直角边都是 6 时,此直角三角形的面积最大,最大为 18.故面积都不会超过 18.故选 B.
2. (2026·宿迁模拟)某商店销售A,B两款商品,利润y(单位:元)与销量x(单位:袋)的关系分别为$y_1=-x^2+23x$和$y_2=4x$.若本周销售两款商品一共30袋,则能获得的最大利润为
210
元.答案
2. 210 解析:设销售 A 款商品 x 袋,则销售 B 款商品(30-x)袋,x 为非负整数,且 0≤x≤30,由题意,总利润 y=y₁+y₂=-x²+23x+4(30-x)=-x²+19x+120=-(x-19/2)²+841/4,
∵二次项系数-1＜0,
∴抛物线开口向下,函数在 x=19/2=9.5 处取得最大值.
∵x 为非负整数,
∴当 x=9 或 x=10 时,y 取得最大值,将 x=10 代入得 y=-10²+19×10+120=210.故能获得的最大利润为 210 元.
∵二次项系数-1＜0,
∴抛物线开口向下,函数在 x=19/2=9.5 处取得最大值.
∵x 为非负整数,
∴当 x=9 或 x=10 时,y 取得最大值,将 x=10 代入得 y=-10²+19×10+120=210.故能获得的最大利润为 210 元.
3. (2025·巴中中考)如图,计划用长为40 m的绳子围一个矩形围栏,其中一边靠墙(墙长25 m).
(1)矩形围栏的面积为150 m²时,三边分别长多少米?
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米?
(1)矩形围栏的面积为150 m²时,三边分别长多少米?
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米?
答案
3. (1)设垂直于墙的一边长 x m,则 x(40-2x)=150,解得 x₁=5,x₂=15,当 x=5 时,40-2x=30＞25(不符合题意,舍去);当 x=15 时,40-2x=10＜25(符合题意),
∴三边长分别为 10 m,15 m,15 m.
(2)设矩形围栏的面积为 S,垂直于墙的一边长 x m.则有 S=x(40-2x)=-2(x-10)²+200.当 x=10 时,S 有最大值 S=200;当 x=10 时,40-2x=20＜25(符合题意),
∴三边长分别为 20 m,10 m,10 m.
∴三边长分别为 10 m,15 m,15 m.
(2)设矩形围栏的面积为 S,垂直于墙的一边长 x m.则有 S=x(40-2x)=-2(x-10)²+200.当 x=10 时,S 有最大值 S=200;当 x=10 时,40-2x=20＜25(符合题意),
∴三边长分别为 20 m,10 m,10 m.
4. (2026·眉山中考)2025年,在四川省城市足球联赛(简称“川超”)比赛期间,为促进体育经济发展,眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动.
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件,为响应文旅局号召,连续两月提高产量后,月产量达到2880件,若每月产量的增长率相同,求每月产量的增长率.
(2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕,每件盈利30元.参与优惠活动后,该食品厂每降价1元,就可多售出5件.问该食品厂应降价多少元,才能使利润最大?最大利润为多少?
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件,为响应文旅局号召,连续两月提高产量后,月产量达到2880件,若每月产量的增长率相同,求每月产量的增长率.
(2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕,每件盈利30元.参与优惠活动后,该食品厂每降价1元,就可多售出5件.问该食品厂应降价多少元,才能使利润最大?最大利润为多少?
答案
4. (1)设每月产量的增长率为 x,根据题意列方程得 2000(1+x)²=2880,解得 x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(增长率不能为负,不符合实际,舍去).答:每月产量的增长率为 20%.
(2)设降价 x 元,每天总利润为 y 元,根据题意,每件盈利为(30-x)元,每天销售量为(60+5x)件,
∴y=(30-x)(60+5x)=-5x²+90x+1800=-5(x-9)²+2205.
∵-5＜0,
∴当 x=9 时,y 取得最大值,最大值为 2205.答:该食品厂应降价 9 元,才能使利润最大,最大利润为 2205 元.
(2)设降价 x 元,每天总利润为 y 元,根据题意,每件盈利为(30-x)元,每天销售量为(60+5x)件,
∴y=(30-x)(60+5x)=-5x²+90x+1800=-5(x-9)²+2205.
∵-5＜0,
∴当 x=9 时,y 取得最大值,最大值为 2205.答:该食品厂应降价 9 元,才能使利润最大,最大利润为 2205 元.
5. (镇江中考)设圆锥的底面圆半径为$r$,圆锥的母线长为$l$,满足$2r+l=6$,这样的圆锥的侧面积（
A.有最大值$\frac{9}{4}π$
B.有最小值$\frac{9}{4}π$
C.有最大值$\frac{9}{2}π$
D.有最小值$\frac{9}{2}π$
C
）A.有最大值$\frac{9}{4}π$
B.有最小值$\frac{9}{4}π$
C.有最大值$\frac{9}{2}π$
D.有最小值$\frac{9}{2}π$
答案
5. C 解析:设这样的圆锥侧面积为 S.
∵2r+l=6,
∴l=6-2r.
∵圆锥侧面积 S=πrl,
∴S=πr(6-2r)=-2πr²+6πr=-2π(r²-3r)=-2π(r²-3r+9/4-9/4)=-2π(r-3/2)²+9/2 π.
∵-2π＜0,
∴当 r=3/2 时,S 取最大值9/2 π,即这样的圆锥的侧面积有最大值9/2 π,故选 C.
∵2r+l=6,
∴l=6-2r.
∵圆锥侧面积 S=πrl,
∴S=πr(6-2r)=-2πr²+6πr=-2π(r²-3r)=-2π(r²-3r+9/4-9/4)=-2π(r-3/2)²+9/2 π.
∵-2π＜0,
∴当 r=3/2 时,S 取最大值9/2 π,即这样的圆锥的侧面积有最大值9/2 π,故选 C.
6. 在1-7月份,某种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示,则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 (
A.1月份
B.2月份
C.5月份
D.7月份
C
)A.1月份
B.2月份
C.5月份
D.7月份
答案
6. C 解析:设 x 月份出售时,每千克售价为 y₁ 元,每千克成本为 y₂ 元.根据题图,设 y₁=kx+b,
∴$\begin{cases}3k+b=5,\\6k+b=3,\end{cases}$
∴$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3},\\b=7,\end{cases}$
∴y₁=-2/3 x+7.根据题图,设 y₂=a(x-6)²+1,
∴4=a(3-6)²+1,
∴a=1/3,
∴y₂=1/3(x-6)²+1.
∵y=y₁-y₂,
∴y=-2/3 x+7-[1/3(x-6)²+1],
∴y=-1/3 x²+10/3 x-6,
∴y=-1/3(x-5)²+7/3,
∴当 x=5 时,y 有最大值,即当 5 月份出售时,每千克利润最大.故选 C.
∴$\begin{cases}3k+b=5,\\6k+b=3,\end{cases}$
∴$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3},\\b=7,\end{cases}$
∴y₁=-2/3 x+7.根据题图,设 y₂=a(x-6)²+1,
∴4=a(3-6)²+1,
∴a=1/3,
∴y₂=1/3(x-6)²+1.
∵y=y₁-y₂,
∴y=-2/3 x+7-[1/3(x-6)²+1],
∴y=-1/3 x²+10/3 x-6,
∴y=-1/3(x-5)²+7/3,
∴当 x=5 时,y 有最大值,即当 5 月份出售时,每千克利润最大.故选 C.
