登录
7. 新考法（2024·甘孜州中考）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长.同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，$n$次测量会得到$n$个数据$a_1,a_2,···,a_n$，如果$a$与各个测量数据的差的平方和最小，就将$a$作为测量结果的最佳近似值.若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是5.9,6.0,6.0,6.3,6.3（单位：cm），则这株青稞穗长的最佳近似值为
6.1
cm.答案
7. 6.1 解析:由题意,a 与各个测量数据的差的平方和 y=(a-5.9)²+2×(a-6.0)²+2×(a-6.3)²=a²-11.8a+34.81+2a²-24a+72+2a²-25.2a+79.38=5a²-61a+186.19,
∴a=-61/(2×5)=6.1 时,y 有最小值,
∴这株青稞穗长的最佳近似值为 6.1 cm.
∴a=-61/(2×5)=6.1 时,y 有最小值,
∴这株青稞穗长的最佳近似值为 6.1 cm.
8. 如图,利用$135°$的墙角修建一个梯形的储料场,并使$∠ C = 90°$.如果新建的墙$BCD$总长24 m,那么$BC=$
16
m时,储料场的面积最大.答案
8. 16 解析:过点 A 作 AE⊥BC 于 E,则四边形 ADCE 为矩形,∠DAE=∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°.设 DC=AE=x m,在 Rt△AEB 中,
∵∠AEB=90°,
∴∠ABE=45°,
∴AE=BE=x m,
∴AD=CE=(24-2x) m,BC=BE+CE=(24-x) m,
∴梯形 ABCD 面积 S=1/2(AD+BC)·CD=1/2(24-2x+24-x)·x=-3/2 x²+24x=-3/2(x-8)²+96,
∴当 x=8 时,S最大=96,
∴此时 BC=BE+CE=24-x=24-8=16(m),也就是当 BC 长为 16 m 时,储料场的面积最大.
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°.设 DC=AE=x m,在 Rt△AEB 中,
∵∠AEB=90°,
∴∠ABE=45°,
∴AE=BE=x m,
∴AD=CE=(24-2x) m,BC=BE+CE=(24-x) m,
∴梯形 ABCD 面积 S=1/2(AD+BC)·CD=1/2(24-2x+24-x)·x=-3/2 x²+24x=-3/2(x-8)²+96,
∴当 x=8 时,S最大=96,
∴此时 BC=BE+CE=24-x=24-8=16(m),也就是当 BC 长为 16 m 时,储料场的面积最大.
9. 新题型 双空题 我们将一个圆环被扇形截得的一部分称为扇环.小明将长为4 m的铁丝均分后围成如图所示的模型,该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成,O为圆心.
(1)若$∠ O=60°$,A为OB的中点,则AB长为
(2)若使得模型的面积最大,则AB的值为
(1)若$∠ O=60°$,A为OB的中点,则AB长为
$\dfrac{1}{π+2}$
m;(2)若使得模型的面积最大,则AB的值为
$\dfrac{1}{4}$
m.答案
9. (1) 1/(π+2) 解析:设每个扇环的周长为 L,则 L=1 m,设 OA=AB=r m,则 1=2r+60/360×2πr+60/360×2π×2r,解得 r=1/(π+2),则 AB=1/(π+2) m.
(2) 1/4 解析:设每个扇环的圆心角为 θ,面积为 S,每个扇环的周长为 L,则 L=1 m,设 OB=CO=R m,OD=r m,根据题意,得 L=θπR/180 + θπr/180 +2(R-r),则 θ=180[L-2(R-r)]/[π(R+r)],
∴S=π/360 ·θ·(R²-r²)=π/360 · 180[L-2(R-r)]/[π(R+r)] ·(R²-r²)=1/2[L-2(R-r)]×(R-r)=-[(R-r)-L/4]² + L²/16.
∵-1＜0,
∴抛物线开口向下.
∵0＜R-r＜1/2 L,
∴R-r=1/4 L 时,S 取值最大,即 AB=1/4 L=1/4 m.
(2) 1/4 解析:设每个扇环的圆心角为 θ,面积为 S,每个扇环的周长为 L,则 L=1 m,设 OB=CO=R m,OD=r m,根据题意,得 L=θπR/180 + θπr/180 +2(R-r),则 θ=180[L-2(R-r)]/[π(R+r)],
∴S=π/360 ·θ·(R²-r²)=π/360 · 180[L-2(R-r)]/[π(R+r)] ·(R²-r²)=1/2[L-2(R-r)]×(R-r)=-[(R-r)-L/4]² + L²/16.
∵-1＜0,
∴抛物线开口向下.
∵0＜R-r＜1/2 L,
∴R-r=1/4 L 时,S 取值最大,即 AB=1/4 L=1/4 m.
10. 某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第$x$天($x$为正整数)的销售价格$p$(元/千克)关于$x$的函数表达式为$p=\begin{cases} \dfrac{2}{5}x + 4 & (0 ＜ x ≤ 20), \\ -\dfrac{1}{5}x + 12 & (20 ＜ x ≤ 30), \end{cases}$销售量$y$(千克)与$x$之间的关系如图所示.
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围.
(2)当月第几天,该农产品的销售额最大?最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围.
(2)当月第几天,该农产品的销售额最大?最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)
答案
10. (1)当 0＜x≤20 时,设 y 与 x 的函数表达式为 y=ax+b,则$\begin{cases}b=80,\\20a+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=80,\end{cases}$即当 0＜x≤20 时,y 与 x 的函数表达式为 y=-2x+80.当 20＜x≤30 时,设 y 与 x 的函数表达式为 y=mx+n,则$\begin{cases}20m+n=40,\\30m+n=80,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=4,\\n=-40,\end{cases}$即当 20＜x≤30 时,y 与 x 的函数表达式为 y=4x-40.综上可得,y 与 x 的函数表达式为$y=\begin{cases}-2x+80(0＜x≤20),\\4x-40(20＜x≤30).\end{cases}$
(2)设当月第 x 天的销售额为 w 元,当 0＜x≤20 时,w=(2/5 x+4)(-2x+80)=-4/5(x-15)²+500,
∴当 x=15 时,w 取得最大值,此时 w=500;当 20＜x≤30 时,w=(-1/5 x+12)(4x-40)=-4/5(x-35)²+500,
∴当 x=30 时,w 取得最大值,此时 w=480.综上可得,当 x=15 时,w 取得最大值,此时 w=500,
∴当月第 15 天,该农产品的销售额最大,最大销售额是 500 元.
(2)设当月第 x 天的销售额为 w 元,当 0＜x≤20 时,w=(2/5 x+4)(-2x+80)=-4/5(x-15)²+500,
∴当 x=15 时,w 取得最大值,此时 w=500;当 20＜x≤30 时,w=(-1/5 x+12)(4x-40)=-4/5(x-35)²+500,
∴当 x=30 时,w 取得最大值,此时 w=480.综上可得,当 x=15 时,w 取得最大值,此时 w=500,
∴当月第 15 天,该农产品的销售额最大,最大销售额是 500 元.
11. (2025·内江期中)某商店决定购进甲、乙两种商品进行销售.已知每件甲商品比每件乙商品的进价高30元.用2000元购进甲商品的数量和用800元购进乙商品的数量相同.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元.
(2)该商场通过市场调查,整理出甲商品的售价与销售量的关系如下表.
①当x为何值时,售出甲商品所获利润最大,最大利润为多少?
②该商场购进甲、乙两种商品共200件,其中甲商品的件数小于乙商品的件数,但不小于50件.若乙商品的售价为每件$m(m＞30)$元时,商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为2800元,直接写出$m$的值.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元.
(2)该商场通过市场调查,整理出甲商品的售价与销售量的关系如下表.
①当x为何值时,售出甲商品所获利润最大,最大利润为多少?
②该商场购进甲、乙两种商品共200件,其中甲商品的件数小于乙商品的件数,但不小于50件.若乙商品的售价为每件$m(m＞30)$元时,商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为2800元,直接写出$m$的值.
答案
11. (1)设乙种商品每件的进价是 a 元,则甲种商品每件的进价是(a+30)元,根据题意得 2000/(a+30)=800/a,解得 a=20,经检验 a=20 是原方程的解,当 a=20 时,a+30=20+30=50.答:甲种商品每件的进价是 50 元,乙种商品每件的进价是 20 元.
(2)①设利润为 w 元,由表格得,当 50≤x≤60 时,w=100(x-50)=100x-5000,
∵100＞0,
∴w 随着 x 的增大而增大,当 x=60 时,w=100×60-5000=1000,
∴当 50≤x≤60 时,最大利润为 1000 元;当 60＜x≤80 时,w=(400-5x)·(x-50)=-5x²+650x-20000,
∵-650/(-5×2)=65,当 x=65 时,w=-5×65²+650×65-20000=1125,
∴当 60＜x≤80 时,最大利润为 1125 元.
∵1125＞1000,
∴甲商品每件的售价为 65 元时,所获利润最大,最大利润为 1125 元.答:当 x=65 时,售出甲商品所获利润最大,最大利润为 1125 元.
②m 的值为 32. 解析:设该商场购进甲商品 n 件,购进乙种商品(200-n)件,
∵甲商品的件数小于乙商品的件数,但不小于 50 件,
∴50≤n＜200-n,
∴50≤n＜100.由甲商品的售价与销售量的关系表可得 n=400-5x,
∴x=(400-n)/5,即甲商品的售价为每件(400-n)/5 元.设商场将甲、乙商品均全部售出后获得的利润为 y 元,根据题意可得 y=((400-n)/5 -50)n+(m-20)(200-n)=-1/5 n²+(50-m)n+200m-4000,
∵m＞30,
∴-(50-m)/(-1/5 ×2)=125 - 5m/2 ＜50.又
∵-1/5＜0,
∴当 50≤n＜100 时,y 随着 n 的增大而减小.
∵乙商品的售价为每件 m(m＞30)元时,商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为 2800 元,
∴当 n=50 时,y=2800,
∴$\begin{cases}m＞30,\\-\dfrac{1}{5}×50^2+(50-m)×50+200m-4000=2800,\end{cases}$
∴m=32.
(2)①设利润为 w 元,由表格得,当 50≤x≤60 时,w=100(x-50)=100x-5000,
∵100＞0,
∴w 随着 x 的增大而增大,当 x=60 时,w=100×60-5000=1000,
∴当 50≤x≤60 时,最大利润为 1000 元;当 60＜x≤80 时,w=(400-5x)·(x-50)=-5x²+650x-20000,
∵-650/(-5×2)=65,当 x=65 时,w=-5×65²+650×65-20000=1125,
∴当 60＜x≤80 时,最大利润为 1125 元.
∵1125＞1000,
∴甲商品每件的售价为 65 元时,所获利润最大,最大利润为 1125 元.答:当 x=65 时,售出甲商品所获利润最大,最大利润为 1125 元.
②m 的值为 32. 解析:设该商场购进甲商品 n 件,购进乙种商品(200-n)件,
∵甲商品的件数小于乙商品的件数,但不小于 50 件,
∴50≤n＜200-n,
∴50≤n＜100.由甲商品的售价与销售量的关系表可得 n=400-5x,
∴x=(400-n)/5,即甲商品的售价为每件(400-n)/5 元.设商场将甲、乙商品均全部售出后获得的利润为 y 元,根据题意可得 y=((400-n)/5 -50)n+(m-20)(200-n)=-1/5 n²+(50-m)n+200m-4000,
∵m＞30,
∴-(50-m)/(-1/5 ×2)=125 - 5m/2 ＜50.又
∵-1/5＜0,
∴当 50≤n＜100 时,y 随着 n 的增大而减小.
∵乙商品的售价为每件 m(m＞30)元时,商场将甲、乙商品均全部售出后获得的最大利润为 2800 元,
∴当 n=50 时,y=2800,
∴$\begin{cases}m＞30,\\-\dfrac{1}{5}×50^2+(50-m)×50+200m-4000=2800,\end{cases}$
∴m=32.
