中,已知抛物线$y=ax^2 - 2a^2x(a≠0)$.
(1)当$a=1$时,求抛物线的顶点坐标；
(2)已知$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$是抛物线上的两点.若对于$x_1=3a,3≤x_2≤4$,都有$y_1＜y_2$,求$a$的取值范围.

1. (1) 把a=1代入$y=ax^2-2a^2x$得,$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$,
∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1).
(2) 分两种情况:抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$.
① 当a＞0时,如图①,此时3a＜3,
∴ a＜1.又
∵ a＞0,
∴ 0＜a＜1.
② 当a＜0时,如图②,此时-a＞4,
∴ a＜-4.又
∵ a＜0,
∴ a＜-4.
综上,当0＜a＜1或a＜-4时,都有$y_1＜y_2$.

2. (2026·盐城模拟)已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a,b,c $ 是常数，$ a ≠ 0 $）与 $ x $ 轴交于点 $ A(x_1,0) $，$ B(x_2,0) $，且 $ x_1 ≠ x_2 $。
(1) 当 $ x_1 = -1 $，$ x_2 = 3 $，且 $ c = -3 $ 时。
① 求抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的表达式；
② 当 $ 0 ≤ x ≤ 5 $ 时，求此函数的最大值与最小值的和。
(2) 若 $ a = 1 $，$ x_1 = 3x_2 $，求证：$ \frac{3}{2}b - c ≤ 3 $。

2. (1) ①$x_1=-1,x_2=3$,则抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点A(-1,0),B(3,0),且c=-3,则$\begin{cases}a-b-3=0,\\9a+3b-3=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\end{cases}$ 则抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$.
②
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴ 抛物线的开口向上,对称轴为直线x=1,
∴ 抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大.
∵$0≤x≤5$,
∴ 当x=1时,y取最小值为-4,当x=5时,y取最大值为12,则$y_{最大}+y_{最小}=12+(-4)=8$.
(2)
∵$x_1=3x_2$,且$x_1≠x_2$,
∴$3x_2≠x_2$,
∴$x_2≠0$.由题意,$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个根,
∴$x_1+x_2=-b$,
∴$3x_2+x_2=-b$,
∴$x_2=-\frac{1}{4}b$,
∴$(-\frac{1}{4}b)^2 + b·(-\frac{1}{4}b)+c=0$,
∴$c=\frac{3}{16}b^2$,
∴$\frac{3}{2}b - c=\frac{3}{2}b-\frac{3}{16}b^2=-\frac{3}{16}(b-4)^2+3≤3$,
∴$\frac{3}{2}b - c≤3$.

3. (淮安中考)已知二次函数$y=x^2+bx-3$（$b$为常数）.
(1)该函数图象与$x$轴交于$A,B$两点,若点$A$的坐标为$(3,0)$,
①$b$的值是________,点$B$的坐标是________;
②当$0＜y＜5$时,借助图象,求自变量$x$的取值范围.
(2)对于一切实数$x$,若函数值$y＞t$总成立,求$t$的取值范围(用含$b$的式子表示).
(3)当$m＜y＜n$时(其中$m,n$为实数,$m＜n$),自变量$x$的取值范围是$1＜x＜2$,求$n$和$b$的值以及$m$的取值范围.

3. (1)① -2 (-1,0) 解析:
∵ 函数图象与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(3,0),
∴$0=3^2+3b-3$,
∴ b=-2,
∴$y=x^2-2x-3$,
∴ 当y=0时,$x^2-2x-3=0$,
∴$x_1=-1,x_2=3$,
∴ 点B的坐标是(-1,0).
②$y=x^2-2x-3$,列表如下：
| x | … | -2 | -1 | 1 | 3 | 4 | … |
|----|----|----|----|----|----|----|----|
| y | … | 5 | 0 | -4 | 0 | 5 | … |
画出函数图象如下：
由图可知:当0＜y＜5时,-2＜x＜-1或3＜x＜4.
(2)
∵$y=x^2+bx-3=(x+\frac{b}{2})^2-3-\frac{b^2}{4}$,
∴ 当$x=-\frac{b}{2}$时,y有最小值为$-3-\frac{b^2}{4}$,则对于一切实数x,若函数值y＞t总成立,则$t＜-3-\frac{b^2}{4}$.
(3)
∵$y=x^2+bx-3=(x+\frac{b}{2})^2-3-\frac{b^2}{4}$,
∴ 抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}$.又当m＜y＜n时(其中m,n为实数,m＜n),自变量x的取值范围是1＜x＜2,
∴ 直线y=n与抛物线的两个交点的坐标分别为(1,n),(2,n),直线y=m在抛物线的下方,
∴ 点(1,n),(2,n)关于对称轴对称,
∴$-\frac{b}{2}=\frac{1+2}{2}$,
∴ b=-3,
∴$y=(x-\frac{3}{2})^2-3-\frac{9}{4}=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{21}{4}$,
∴$n=(1-\frac{3}{2})^2-\frac{21}{4}=-5$,当$x=\frac{3}{2}$时,y有最小值$-\frac{21}{4}$,
∴$m＜-\frac{21}{4}$.