1. (2026·福州模拟)如图,两个同心圆O中,AB为大圆的弦.
(1)作AC与小圆相切于点C,M为AB的中点,延长MC交小圆于点D(尺规作图,保留作图痕迹);
(2)若小圆的半径为1,$\cos∠ OAB=\frac{3}{5}$,则CD的长为.

1. (1) 如图①即为所作。
解析:连接AO,作AO的垂直平分线交AO于点E,以点E为圆心,OE为半径画弧交小圆于点C,交AB于点M,连接AC,利用直径所对的圆周角为直角即可得出AC与小圆相切于点C.连接MC,并延长交小圆于点D.
(2) $\frac{6}{5}$ 解析:如图②,连接OM,过点O作OH⊥CD于点H,
∴ ∠OHC=90°,
∴ ∠1+∠2=90°.
∵ AC与小圆相切于点C,
∴ 半径 OC ⊥ AC 于 C,
∴ ∠ACO = 90°, ∠2+∠3 = 90°,
∴ ∠1 = ∠3.
∵ M 为 AB 中点, O 为圆心,
∴ OM ⊥ AB,
∴ ∠AMO=90°=∠ACO,
∴ 点 A,M,C,O 共圆.
∵ $\widehat{AM}=\widehat{AM}$,
∴ ∠3 = ∠4 = ∠1.
∵ $\cos∠OAB=\frac{AM}{OA}=\frac{3}{5}$.
∴ $\sin∠1=\sin∠4=\frac{AM}{OA}=\frac{3}{5}$,
∴ $\frac{CH}{OC}=\frac{3}{5}$.
∵ OC = 1,
∴ CH =
$\frac{3}{5}$.
∵ OH ⊥ CD,且 O 为圆心,
∴ $CD=2CH=\frac{6}{5}$.

2.（2024·镇江中考）主题学习:仅用一把无刻度的直尺作图.
【阅读理解】任务:如图①,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,DE//BC,仅用一把无刻度的直尺作DE,BC的中点.

操作:如图②,连接BE,CD交于点P,连接AP交DE于点M,延长AP交BC于点N,则M,N分别为DE,BC的中点.
理由:由DE//BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN,所以$\frac{DM}{BN}=\frac{AM}{AN}$,$\frac{EM}{CN}=\frac{AM}{AN}$,所以$\frac{DM}{EM}=\frac{BN}{CN}$,同理,由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP,可得$\frac{DM}{CN}=\frac{MP}{NP}$,$\frac{EM}{BN}=\frac{MP}{NP}$,所以$\frac{DM}{EM}=\frac{CN}{BN}$,所以$\frac{BN}{CN}=\frac{CN}{BN}$,则$BN=CN$,$DM=EM$,即M,N分别为DE,BC的中点.
【实践操作】请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图,要求:不写作法,保留作图痕迹.
(1)如图③,$l_1//l_2$,点E,F在直线$l_2$上.①作线段EF的中点;②在①中作图的基础上,在直线$l_2$上位于点F的右侧作一点P,使得$PF=EF$;
(2)小明发现,如果重复上面的过程,就可以作出长度是已知线段长度的3倍,4倍,…,k倍(k为正整数)的线段.如图④,$l_1//l_2$,已知点$P_1,P_2$在$l_1$上,他利用上述方法作出了$P_2P_3=P_3P_4=P_1P_2$.点E,F在直线$l_2$上,请在图④中作出线段EF的三等分点;
【探索发现】请仅用一把无刻度的直尺完成作图,要求:不写作法,保留作图痕迹.
(3)如图⑤,DE是△ABC的中位线.请在线段EC上作出一点Q,使得$QE=\frac{1}{3}CE$(要求用两种方法).

(1) ①点 M 即为所求作的点.
②点 P 即为所求作的点.
(2)点 M,N 即为所求作的三等分点.
方法一:
方法二:
(3)点 Q 即为所求作的点.
方法一:
方法二: