4. (2025·山东中考)已知二次函数$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$，其中$a,b$为两个不相等的实数.
(1)当$a=0,b=3$时,求此函数图象的对称轴.
(2)当$b=2a$时,若该函数在$0≤x≤1$时,$y$随$x$的增大而减小;在$3≤x≤4$时,$y$随$x$的增大而增大,求$a$的取值范围.
(3)若点$A(a,y_1),B(\dfrac{a+b}{2},y_2),C(b,y_3)$均在该函数的图象上,是否存在常数$m$,使得$y_1+my_2+y_3=0$?若存在,求出$m$的值;若不存在,说明理由.

4. (1)当a=0,b=3时,二次函数$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$可化为$y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x^2-6x$,
∴ 此函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-6}{2×3}=1$.
(2)当b=2a时,二次函数$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)$可化为$y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x^2-6ax+2a^2$,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{-6a}{2×3}=a$.
∵ 3＞0,
∴ 抛物线开口方向向上.
∵ 在0≤x≤1时,y随x的增大而减小,
∴ a≥1.
∵ 在3≤x≤4时,y随x的增大而增大,
∴ a≤3,
∴ 1≤a≤3.
(3)存在.
∵ 若点$A(a,y_1),B(\frac{a+b}{2},y_2),C(b,y_3)$均在该函数的图象上,
∴$y_1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a^2-ab$,$y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x^2-2(a+b)x+ab$,
∴$y_2=3(\frac{a+b}{2})^2-2(a+b)·\frac{a+b}{2}+ab=3×\frac{(a+b)^2}{4}-(a+b)^2+ab=\frac{(a+b)^2}{4}+ab=-\frac{1}{4}a^2-\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2+ab=-\frac{1}{4}a^2+\frac{ab}{2}-\frac{1}{4}b^2=-\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)=-\frac{1}{4}(a-b)^2$,$y_3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b^2-ab$.
∵$y_1+my_2+y_3=0$,
∴$a^2-ab+m[-\frac{1}{4}(a-b)^2]+b^2-ab=0$,整理得$(a-b)^2(1-\frac{1}{4}m)=0$.
∵ a,b为两个不相等的实数,
∴ a-b≠0,
∴$1-\frac{1}{4}m=0$,解得m=4.

5. (2026·河南中考)定义:若点$P,Q$在同一抛物线上,且点$Q$的横坐标比点$P$的横坐标大3,则称点$Q$是点$P$的“黄金搭档点”.例如,抛物线$y=x^2$上,点$(3,9)$是点$(0,0)$的“黄金搭档点”.
(1)点$A(0,-3)$和点$B$在抛物线$y=x^2+bx+c$上,点$B$是点$A$的“黄金搭档点”,且点$B$的纵坐标为12.求$b,c$的值.
(2)点$M,N$在(1)中的抛物线上,且点$N$是点$M$的“黄金搭档点”.
①若点$M,N$的纵坐标相等,求点$M,N$的横坐标.
②抛物线上$M,N$两点之间的部分(含$M,N$两点)记为图象$W$,设点$M$的横坐标为$m$,当$-\dfrac{5}{2}＜m＜0$时,若图象$W$上的最高点和最低点到$x$轴的距离之和为5,请直接写出$m$的值.

5. (1)
∵ 点B是点A的“黄金搭档点”,A(0,-3),点B的纵坐标为12,
∴ B(3,12).
∵ 点A(0,-3)和点B在抛物线$y=x^2+bx+c$上,
∴$\begin{cases}c=-3,\\9+3b+c=12,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=-3.\end{cases}$
(2)①设点M的横坐标为t,则点N的横坐标为t+3,由(1)得$y=x^2+2x-3$,
∵ 点M,N的纵坐标相等,
∴$t^2+2t-3=(t+3)^2+2(t+3)-3$,解得$t=-\frac{5}{2}$.
∴$t+3=-\frac{5}{2}+3=\frac{1}{2}$,
∴ 点M的横坐标为$-\frac{5}{2}$,点N的横坐标为$\frac{1}{2}$.
②$m=-4+\sqrt{3}$或$m=-4+\sqrt{5}$. 解析:由(1)得$y=x^2+2x-3$,对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×1}=-1$,当x=-1时,y=-4,
∴ 顶点坐标为(-1,-4).当y=0时,$x^2+2x-3=0$,
∴ (x+3)(x-1)=0,解得$x_1=-3,x_2=1$,
∴ 抛物线与x轴的交点为(-3,0),(1,0).
∵ 点N是点M的“黄金搭档点”,点M的横坐标为m,
∴ 点N的横坐标为m+3,当$-\frac{5}{2}＜m＜0$时,$\frac{1}{2}＜m+3＜3$,当$-\frac{5}{2}＜m＜-1$时,$\frac{1}{2}＜m+3＜2$.
∵ 抛物线与x轴的一个交点为(1,0),
∴ 当$-\frac{5}{2}＜m＜-1$,$\frac{1}{2}＜m+3＜1$时,如图①,点M,N均在x轴下方,最低点为抛物线的顶点(-1,-4).
∵$-\frac{5}{2}-(-1)＜m-(-1)＜-1-(-1)$,即$-\frac{3}{2}＜m+1＜0$,$\frac{1}{2}-(-1)＜m+3-(-1)＜1-(-1)$,即$\frac{3}{2}＜m+4＜2$,
∴ 此时最高点为点N.
∵ 图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5,
∴ 点N到x轴的距离为5-4=1,此时点N的纵坐标为-1,
∴$(m+3)^2+2(m+3)-3=-1$,解得$m_1=-4+\sqrt{3}$,$m_2=-4-\sqrt{3}$(不符合题意,舍去);
当$-\frac{5}{2}＜m＜-1$,$1＜m+3＜2$时,如图②,点M在x轴下方,点N在x轴上方,最低点为抛物线的顶点(-1,-4),
∴ 此时最高点为点N.
∵ 图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5,
∴ 点N到x轴的距离为5-4=1,此时点N的纵坐标为1,
∴$(m+3)^2+2(m+3)-3=1$,解得$m_1=-4+\sqrt{5}$,$m_2=-4-\sqrt{5}$(不符合题意,舍去);
当-1≤m＜0时,2≤m+3＜3,点M在x轴下方,点N在x轴上方,最低点为点M,最高点为点N,
∴$y_M=m^2+2m-3$,$y_N=(m+3)^2+2(m+3)-3$,
∴$|y_M|+y_N=5$,即$|m^2+2m-3|+(m+3)^2+2(m+3)-3=5$,
∴$-m^2-2m+3+(m+3)^2+2(m+3)-3=5$,整理得6m+10=0,解得$m=-\frac{5}{3}$(不符合题意,舍去).综上可得$m=-4+\sqrt{3}$或$m=-4+\sqrt{5}$.