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例3 计算：$(a-b)(b-a)^2 = \_\_\_\_\_\_$（结果用幂的形式表示）.
解析 将原式转化为底数相同的形式，即$(a-b)(b-a)^2=(a-b)(a-b)^2$，再将$(a-b)$看作一个整体，根据同底数幂的运算性质计算，即$(a-b)(a-b)^2=(a-b)^3$.
答案 $(a-b)^3$
解题要点
同底数幂的运算性质 $a^m · a^n = a^{m+n}$ 中的底数$a$可以是单项式或多项式. 在计算时，可将相同的底数看作一个整体.
解析 将原式转化为底数相同的形式，即$(a-b)(b-a)^2=(a-b)(a-b)^2$，再将$(a-b)$看作一个整体，根据同底数幂的运算性质计算，即$(a-b)(a-b)^2=(a-b)^3$.
答案 $(a-b)^3$
解题要点
同底数幂的运算性质 $a^m · a^n = a^{m+n}$ 中的底数$a$可以是单项式或多项式. 在计算时，可将相同的底数看作一个整体.
答案
解：
$(a-b)(b-a)^2$
$=(a-b)(a-b)^2$
$=(a-b)^{1+2}$
$=(a-b)^3$
$(a-b)(b-a)^2$
$=(a-b)(a-b)^2$
$=(a-b)^{1+2}$
$=(a-b)^3$
解析
【分析】
解题时先观察两个因式的底数特征，发现$a-b$与$b-a$互为相反数，而$(b-a)$的指数为2（偶数），根据“互为相反数的两个数的偶次幂相等”，可将$(b-a)^2$转化为$(a-b)^2$，统一两个因式的底数；再将$(a-b)$看作一个整体，利用同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的运算性质计算即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(a-b)(b-a)^2\\=&(a-b)(a-b)^2\\=&(a-b)^{1+2}\\=&(a-b)^3\end{aligned}$
【答案】
$(a-b)^3$
【知识点】
同底数幂的乘法，偶次幂的性质，整体思想
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题核心是先统一底数，需注意区分互为相反数的奇偶次幂的符号差异，将多项式底数看作整体运算可以有效降低出错率，是同底数幂乘法章节的典型练习题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察两个因式的底数特征，发现$a-b$与$b-a$互为相反数，而$(b-a)$的指数为2（偶数），根据“互为相反数的两个数的偶次幂相等”，可将$(b-a)^2$转化为$(a-b)^2$，统一两个因式的底数；再将$(a-b)$看作一个整体，利用同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的运算性质计算即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(a-b)(b-a)^2\\=&(a-b)(a-b)^2\\=&(a-b)^{1+2}\\=&(a-b)^3\end{aligned}$
【答案】
$(a-b)^3$
【知识点】
同底数幂的乘法，偶次幂的性质，整体思想
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题核心是先统一底数，需注意区分互为相反数的奇偶次幂的符号差异，将多项式底数看作整体运算可以有效降低出错率，是同底数幂乘法章节的典型练习题。
【难度系数】
0.8
1. 计算 $ x^2 · x^5 $ 的结果是（
A.$ x^7 $
B.$ x^9 $
C.$ x^{10} $
D.$ x^{12} $
A
）A.$ x^7 $
B.$ x^9 $
C.$ x^{10} $
D.$ x^{12} $
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题时首先观察两个因式的底数，发现二者底数均为x，属于同底数幂相乘的运算类型，直接套用同底数幂的乘法法则即可：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，无需对底数做变形，直接将两个指数相加即可得到运算结果，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
可得 $ x^2 · x^5 = x^{2+5} = x^7 $，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，直接考查同底数幂乘法法则的应用，解题时需注意区分同底数幂乘法和幂的乘方的运算规则，避免出现指数相乘的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂的乘法运算，解题时首先观察两个因式的底数，发现二者底数均为x，属于同底数幂相乘的运算类型，直接套用同底数幂的乘法法则即可：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，无需对底数做变形，直接将两个指数相加即可得到运算结果，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
可得 $ x^2 · x^5 = x^{2+5} = x^7 $，因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，直接考查同底数幂乘法法则的应用，解题时需注意区分同底数幂乘法和幂的乘方的运算规则，避免出现指数相乘的错误。
【难度系数】
0.9
2. 在下列选项中，运算结果与$c^2 · c^3$相同的是（
A.3个$c^2$相乘
B.5个$c$相乘
C.6个$c$相乘
D.2个$c^2$相乘
B
）A.3个$c^2$相乘
B.5个$c$相乘
C.6个$c$相乘
D.2个$c^2$相乘
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题需分两步进行：第一步，先运用同底数幂的乘法法则计算出原式$c^2 · c^3$的运算结果；第二步，结合乘方的意义分别计算每个选项的结果，和原式结果对比，找到匹配的选项即可。首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可先求出原式结果为$c^5$，再逐个分析选项就能得出答案。
【解析】
首先计算原式的结果：
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），可得：
$c^2 · c^3 = c^{2+3}=c^5$
接下来逐一分析选项：
A选项：3个$c^2$相乘，即$(c^2)^3=c^{2×3}=c^6$，与原式结果不一致，排除；
B选项：5个$c$相乘，即$c×c×c×c×c=c^5$，与原式结果一致，符合要求；
C选项：6个$c$相乘，即$c^6$，与原式结果不一致，排除；
D选项：2个$c^2$相乘，即$(c^2)^2=c^{2×2}=c^4$，与原式结果不一致，排除。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法，乘方的意义，幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查同底数幂的运算法则和乘方的基本意义，熟练掌握相关运算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题需分两步进行：第一步，先运用同底数幂的乘法法则计算出原式$c^2 · c^3$的运算结果；第二步，结合乘方的意义分别计算每个选项的结果，和原式结果对比，找到匹配的选项即可。首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可先求出原式结果为$c^5$，再逐个分析选项就能得出答案。
【解析】
首先计算原式的结果：
根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），可得：
$c^2 · c^3 = c^{2+3}=c^5$
接下来逐一分析选项：
A选项：3个$c^2$相乘，即$(c^2)^3=c^{2×3}=c^6$，与原式结果不一致，排除；
B选项：5个$c$相乘，即$c×c×c×c×c=c^5$，与原式结果一致，符合要求；
C选项：6个$c$相乘，即$c^6$，与原式结果不一致，排除；
D选项：2个$c^2$相乘，即$(c^2)^2=c^{2×2}=c^4$，与原式结果不一致，排除。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法，乘方的意义，幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查同底数幂的运算法则和乘方的基本意义，熟练掌握相关运算规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 在下列各式中，正确的是（
A.$a^4 · a^3 = a^{12}$
B.$a^4 · a^3 = a^7$
C.$a^4 + a^3 = a^7$
D.$a^4 · a^4 = 2a^4$
B
）A.$a^4 · a^3 = a^{12}$
B.$a^4 · a^3 = a^7$
C.$a^4 + a^3 = a^7$
D.$a^4 · a^4 = 2a^4$
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合同底数幂的乘法法则、同类项合并规则逐一判断选项：首先回忆两个核心规则：1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2. 只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）才能合并，合并时仅系数相加，字母和指数不变。接下来逐个判断每个选项的运算类型，对应规则验证正误即可。
【解析】
对每个选项逐一验证：
选项A：$a^4 · a^3$属于同底数幂相乘，根据法则结果应为$a^{4+3}=a^7$，不是$a^{12}$，故A错误；
选项B：由同底数幂乘法法则计算可得$a^4 · a^3=a^{4+3}=a^7$，故B正确；
选项C：$a^4$和$a^3$中字母a的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，故C错误；
选项D：$a^4 · a^4$是同底数幂相乘，结果应为$a^{4+4}=a^8$，$2a^4$是$a^4+a^4$的计算结果，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；同类项与合并同类项
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是区分同底数幂乘法和整式加法的运算法则，做题时要先判断运算类型，再对应法则计算，避免混淆指数相加和系数相加的适用场景。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需结合同底数幂的乘法法则、同类项合并规则逐一判断选项：首先回忆两个核心规则：1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；2. 只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）才能合并，合并时仅系数相加，字母和指数不变。接下来逐个判断每个选项的运算类型，对应规则验证正误即可。
【解析】
对每个选项逐一验证：
选项A：$a^4 · a^3$属于同底数幂相乘，根据法则结果应为$a^{4+3}=a^7$，不是$a^{12}$，故A错误；
选项B：由同底数幂乘法法则计算可得$a^4 · a^3=a^{4+3}=a^7$，故B正确；
选项C：$a^4$和$a^3$中字母a的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，故C错误；
选项D：$a^4 · a^4$是同底数幂相乘，结果应为$a^{4+4}=a^8$，$2a^4$是$a^4+a^4$的计算结果，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；同类项与合并同类项
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是区分同底数幂乘法和整式加法的运算法则，做题时要先判断运算类型，再对应法则计算，避免混淆指数相加和系数相加的适用场景。
【难度系数】
0.8
4. 计算：$(n+m)^2(m+n)^3 =$
$(m+n)^5$
（结果用幂的形式表示）。答案
4. $(m+n)^5$
解析
【分析】
解题时首先观察两个幂的底数，发现(n+m)和(m+n)符合加法交换律，二者是相等的，因此本题本质是计算两个同底数幂的乘积，接下来直接套用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求出结果。
【解析】
解：根据加法交换律可知$ n+m = m+n $，因此原式可变形为：
$ (m+n)^2 · (m+n)^3 $
根据同底数幂的乘法法则$ a^m · a^n = a^{m+n} $（m、n为正整数），可得：
$ (m+n)^2 · (m+n)^3 = (m+n)^{2+3} = (m+n)^5 $
【答案】
$(m+n)^5$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 加法交换律
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，解题关键是先识别出两个幂的底数相同，再正确代入法则计算，注意不要混淆同底数幂乘法与幂的乘方的运算法则，避免出现指数相乘的错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个幂的底数，发现(n+m)和(m+n)符合加法交换律，二者是相等的，因此本题本质是计算两个同底数幂的乘积，接下来直接套用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可求出结果。
【解析】
解：根据加法交换律可知$ n+m = m+n $，因此原式可变形为：
$ (m+n)^2 · (m+n)^3 $
根据同底数幂的乘法法则$ a^m · a^n = a^{m+n} $（m、n为正整数），可得：
$ (m+n)^2 · (m+n)^3 = (m+n)^{2+3} = (m+n)^5 $
【答案】
$(m+n)^5$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 加法交换律
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，解题关键是先识别出两个幂的底数相同，再正确代入法则计算，注意不要混淆同底数幂乘法与幂的乘方的运算法则，避免出现指数相乘的错误。
【难度系数】
0.9
5. 若$2^m = a$，$2^n = b$，求$2^{m+n}$的值.
答案
解 因为 $2^m = a$，$2^n = b$，所以原式$= 2^m · 2^n = ab.$
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的指数为两个字母的和，联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此可以逆用该法则，将$2^{m+n}$拆分为两个同底数幂相乘的形式，再代入题目给出的已知条件即可求出结果。
【解析】
根据同底数幂乘法法则的逆运算可得：
$2^{m+n}=2^m · 2^n$
已知$2^m = a$，$2^n = b$，将其代入上式得：
$2^{m+n}=a · b = ab$
【答案】
$ab$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查对同底数幂乘法法则的灵活运用，解题关键是熟练掌握幂的运算性质，能够根据式子特征选择正向或反向套用公式。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求式子的指数为两个字母的和，联想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此可以逆用该法则，将$2^{m+n}$拆分为两个同底数幂相乘的形式，再代入题目给出的已知条件即可求出结果。
【解析】
根据同底数幂乘法法则的逆运算可得：
$2^{m+n}=2^m · 2^n$
已知$2^m = a$，$2^n = b$，将其代入上式得：
$2^{m+n}=a · b = ab$
【答案】
$ab$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考查对同底数幂乘法法则的灵活运用，解题关键是熟练掌握幂的运算性质，能够根据式子特征选择正向或反向套用公式。
【难度系数】
0.9
6. 计算：$x^2 · x^5 + x · x^4 · x^2$
答案
6. 解 原式$=x^7 + x^7 = 2x^7.$
解析
【分析】
观察算式可知，原式是两组同底数幂乘积的和，解题思路如下：第一步，运用同底数幂的乘法法则分别计算两个乘积项，计算时注意单独的$x$的指数为1，不要遗漏；第二步，判断计算后得到的两个项是同类项，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
原式$=x^{2+5} + x^{1+4+2}$
$=x^7 + x^7$
再合并同类项，将系数相加，字母和指数不变：
$=2x^7$
【答案】
$2x^7$
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题是基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，解题时要注意单个字母的隐含指数为1，不要在指数求和时漏算，同时区分开同底数幂的指数运算和合并同类项的系数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.9
观察算式可知，原式是两组同底数幂乘积的和，解题思路如下：第一步，运用同底数幂的乘法法则分别计算两个乘积项，计算时注意单独的$x$的指数为1，不要遗漏；第二步，判断计算后得到的两个项是同类项，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
原式$=x^{2+5} + x^{1+4+2}$
$=x^7 + x^7$
再合并同类项，将系数相加，字母和指数不变：
$=2x^7$
【答案】
$2x^7$
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题是基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，解题时要注意单个字母的隐含指数为1，不要在指数求和时漏算，同时区分开同底数幂的指数运算和合并同类项的系数运算规则，避免混淆。
【难度系数】
0.9
7. 若$2^n + 2^n + 2^n + 2^n = 2^{12}$，求$n$的值.
答案
7. 解 因为 $2^n + 2^n + 2^n + 2^n = 2^{12}$，所以 $4×2^n = 2^{12}$，$2^2×2^n = 2^{12}$，$2^{n+2}=2^{12}$. 所以 $n+2=12.$ 解得 $n=10.$
解析
【分析】
首先观察等式左侧，是4个相同的$2^n$相加，可先将加法运算转化为乘法运算，得到$4×2^n$；再把4改写为底数为2的幂$2^2$，接下来根据同底数幂的乘法法则，可将左侧整理为$2^{n+2}$；此时等式两边都是底数为2的幂，同底数幂相等时指数也相等，据此列出关于n的一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
解：因为 $2^n + 2^n + 2^n + 2^n = 2^{12}$，
所以 $4×2^n = 2^{12}$，
将4改写为$2^2$，可得 $2^2×2^n = 2^{12}$，
根据同底数幂的乘法法则，得 $2^{n+2}=2^{12}$，
所以 $n+2=12$，
解得 $n=10$。
【答案】
$n=10$
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的意义；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是先将相同加数的和转化为乘法形式，再结合同底数幂的运算性质将等式两边转化为同底数幂，利用指数相等的关系列方程求解，熟练掌握相关运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察等式左侧，是4个相同的$2^n$相加，可先将加法运算转化为乘法运算，得到$4×2^n$；再把4改写为底数为2的幂$2^2$，接下来根据同底数幂的乘法法则，可将左侧整理为$2^{n+2}$；此时等式两边都是底数为2的幂，同底数幂相等时指数也相等，据此列出关于n的一元一次方程，求解即可得到n的值。
【解析】
解：因为 $2^n + 2^n + 2^n + 2^n = 2^{12}$，
所以 $4×2^n = 2^{12}$，
将4改写为$2^2$，可得 $2^2×2^n = 2^{12}$，
根据同底数幂的乘法法则，得 $2^{n+2}=2^{12}$，
所以 $n+2=12$，
解得 $n=10$。
【答案】
$n=10$
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的意义；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是先将相同加数的和转化为乘法形式，再结合同底数幂的运算性质将等式两边转化为同底数幂，利用指数相等的关系列方程求解，熟练掌握相关运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 若 $ x^{n} · x^{3n+3} = x^{35} $，求 $ n $ 的值.
答案
8. 解 因为 $x^n · x^{3n+3} = x^{35}$，所以 $x^{4n+3}=x^{35}.$ 所以 $4n+3=35.$ 解得 $n=8.$
解析
【分析】
解题时首先观察等式左侧是同底数幂相乘的形式，优先运用同底数幂的乘法法则化简：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。化简后等式两侧为底数相同的幂，根据“两个同底数幂相等（底数不为0、1）时，指数相等”的性质，即可列出关于n的一元一次方程，求解方程就能得到n的值。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则计算等式左侧：
$\because x^{n} · x^{3n+3} = x^{n+3n+3}=x^{4n+3}$
结合已知条件$x^{n} · x^{3n+3} = x^{35}$，可得：
$x^{4n+3}=x^{35}$
根据同底数幂相等的性质，对应指数相等，列方程：
$4n+3=35$
移项计算得$4n=32$，系数化为1得：
$n=8$
【答案】
$n=8$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法法则
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础应用题型，主要考查对同底数幂乘法法则的掌握程度，同时结合了简单的一元一次方程运算，熟练掌握相关运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察等式左侧是同底数幂相乘的形式，优先运用同底数幂的乘法法则化简：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。化简后等式两侧为底数相同的幂，根据“两个同底数幂相等（底数不为0、1）时，指数相等”的性质，即可列出关于n的一元一次方程，求解方程就能得到n的值。
【解析】
解：根据同底数幂的乘法法则计算等式左侧：
$\because x^{n} · x^{3n+3} = x^{n+3n+3}=x^{4n+3}$
结合已知条件$x^{n} · x^{3n+3} = x^{35}$，可得：
$x^{4n+3}=x^{35}$
根据同底数幂相等的性质，对应指数相等，列方程：
$4n+3=35$
移项计算得$4n=32$，系数化为1得：
$n=8$
【答案】
$n=8$
【知识点】
1. 同底数幂的乘法法则
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于同底数幂乘法的基础应用题型，主要考查对同底数幂乘法法则的掌握程度，同时结合了简单的一元一次方程运算，熟练掌握相关运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
