登录
知识点一 幂的乘方
一般地，对于任意底数$a$与任意正整数$m$，$n$，$(a^m)^n = \underbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}_{n个a^m} = a^{\overbrace{m + m + \dots + m}^{n个m}} = a^{mn}$。因此，我们有 $(a^m)^n = a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数）。即幂的乘方，底数________，指数________。
一般地，对于任意底数$a$与任意正整数$m$，$n$，$(a^m)^n = \underbrace{a^m · a^m · \dots · a^m}_{n个a^m} = a^{\overbrace{m + m + \dots + m}^{n个m}} = a^{mn}$。因此，我们有 $(a^m)^n = a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数）。即幂的乘方，底数________，指数________。
答案
不变 相乘
解析
【分析】
本题考查幂的乘方法则的内容，可结合题目给出的推导过程分析：观察幂的乘方运算前后底数和指数的变化规律即可得出结论。首先对比运算前后的底数，发现始终为a没有改变；再对比运算前后的指数，原来的指数是m、n，运算后得到的指数是mn，也就是两个指数相乘，对应法则的空缺内容即可填写。
【解析】
根据题目给出的推导结论：$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数），对比等号两边的形式：
运算前后底数均为$a$，没有发生变化，因此第一空填“不变”；
等号左侧的指数为$m$和$n$，等号右侧的指数为$mn$，即原两个指数相乘，因此第二空填“相乘”。
【答案】
不变 相乘
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对幂的乘方运算性质的识记，熟练掌握相关运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的乘方法则的内容，可结合题目给出的推导过程分析：观察幂的乘方运算前后底数和指数的变化规律即可得出结论。首先对比运算前后的底数，发现始终为a没有改变；再对比运算前后的指数，原来的指数是m、n，运算后得到的指数是mn，也就是两个指数相乘，对应法则的空缺内容即可填写。
【解析】
根据题目给出的推导结论：$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数），对比等号两边的形式：
运算前后底数均为$a$，没有发生变化，因此第一空填“不变”；
等号左侧的指数为$m$和$n$，等号右侧的指数为$mn$，即原两个指数相乘，因此第二空填“相乘”。
【答案】
不变 相乘
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对幂的乘方运算性质的识记，熟练掌握相关运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 计算$(a^2)^5$的结果为 （）
A.$a^{10}$
B.$a^7$
C.$2a^5$
D.$5a^2$
解析 根据幂的乘方的运算性质，得 $(a^2)^5=a^{10}$。
答案 A
A.$a^{10}$
B.$a^7$
C.$2a^5$
D.$5a^2$
解析 根据幂的乘方的运算性质，得 $(a^2)^5=a^{10}$。
答案 A
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题首先判断运算类型，式子$(a^2)^5$是幂的乘方运算，我们只需要回忆幂的乘方的运算法则即可求解：幂的乘方运算中，底数保持不变，指数做乘法运算。接下来我们把对应的指数代入法则计算，再匹配选项就能得到答案。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$均为正整数），
本题中$m=2$，$n=5$，代入得：
$(a^2)^5=a^{2×5}=a^{10}$，
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的乘方运算法则的直接应用，解题的关键是准确记忆运算法则，注意不要和同底数幂的乘法、合并同类项的运算规则混淆。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先判断运算类型，式子$(a^2)^5$是幂的乘方运算，我们只需要回忆幂的乘方的运算法则即可求解：幂的乘方运算中，底数保持不变，指数做乘法运算。接下来我们把对应的指数代入法则计算，再匹配选项就能得到答案。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$均为正整数），
本题中$m=2$，$n=5$，代入得：
$(a^2)^5=a^{2×5}=a^{10}$，
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方法则
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的乘方运算法则的直接应用，解题的关键是准确记忆运算法则，注意不要和同底数幂的乘法、合并同类项的运算规则混淆。
【难度系数】
0.9
例2 已知$a=3^{13}$，$b=9^{6}$，$c=27^{5}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为 （）
A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.$a＞c＞b$
解析 根据幂的乘方可得$b=9^{6}=(3^{2})^{6}=3^{12}$，$c=27^{5}=(3^{3})^{5}=3^{15}$。因为$a=3^{13}$，且$12＜13＜15$，所以$c＞a＞b$。
答案 A
A.$c＞a＞b$
B.$b＞a＞c$
C.$a＞b＞c$
D.$a＞c＞b$
解析 根据幂的乘方可得$b=9^{6}=(3^{2})^{6}=3^{12}$，$c=27^{5}=(3^{3})^{5}=3^{15}$。因为$a=3^{13}$，且$12＜13＜15$，所以$c＞a＞b$。
答案 A
答案
A
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，观察发现三个数的底数3、9、27都可以表示为3的幂的形式，因此可以利用幂的乘方的运算性质，将三个数转化为底数都为3的幂，再根据底数大于1时，同底数幂的指数越大，幂的值越大的规律，通过比较指数的大小即可判断三个数的大小关系。
【解析】
根据幂的乘方公式：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），对b、c进行变形：
$b=9^6=(3^2)^6=3^{2×6}=3^{12}$
$c=27^5=(3^3)^5=3^{3×5}=3^{15}$
已知$a=3^{13}$，由于底数$3＞1$，同底数幂中指数越大，幂的值越大，
因为$15＞13＞12$，所以$3^{15}＞3^{13}＞3^{12}$，即$c＞a＞b$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题的核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过比较指数大小判断幂的大小，这类题型是幂运算章节的常考题型，熟练掌握幂的乘方运算性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，观察发现三个数的底数3、9、27都可以表示为3的幂的形式，因此可以利用幂的乘方的运算性质，将三个数转化为底数都为3的幂，再根据底数大于1时，同底数幂的指数越大，幂的值越大的规律，通过比较指数的大小即可判断三个数的大小关系。
【解析】
根据幂的乘方公式：$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），对b、c进行变形：
$b=9^6=(3^2)^6=3^{2×6}=3^{12}$
$c=27^5=(3^3)^5=3^{3×5}=3^{15}$
已知$a=3^{13}$，由于底数$3＞1$，同底数幂中指数越大，幂的值越大，
因为$15＞13＞12$，所以$3^{15}＞3^{13}＞3^{12}$，即$c＞a＞b$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题的核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过比较指数大小判断幂的大小，这类题型是幂运算章节的常考题型，熟练掌握幂的乘方运算性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
例3 若$2m+3n-5=0$，则$9^m · 27^n=$。
解析 由$2m+3n-5=0$，移项得$2m+3n=5$。所以$9^m · 27^n=(3^2)^m · (3^3)^n=3^{2m} · 3^{3n}=3^{2m+3n}=3^5=243$。
答案 243
解析 由$2m+3n-5=0$，移项得$2m+3n=5$。所以$9^m · 27^n=(3^2)^m · (3^3)^n=3^{2m} · 3^{3n}=3^{2m+3n}=3^5=243$。
答案 243
答案
解析
【分析】
解题时先从已知等式入手，先求出2m+3n的值；再观察待求式中两个幂的底数9和27，均可以转化为以3为底的幂，结合幂的乘方运算性质将待求式变形为同底数幂相乘的形式，再根据同底数幂的乘法法则合并，最后将2m+3n的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由已知$2m+3n-5=0$，移项可得：
$2m+3n=5$
对待求式变形，将底数统一为3：
$9^m · 27^n=(3^2)^m · (3^3)^n$
根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），得：
$=3^{2m} · 3^{3n}$
根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），得：
$=3^{2m+3n}$
将$2m+3n=5$整体代入，得：
$=3^5=243$
【答案】
243
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入指数计算，熟练掌握幂的各类运算公式是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知等式入手，先求出2m+3n的值；再观察待求式中两个幂的底数9和27，均可以转化为以3为底的幂，结合幂的乘方运算性质将待求式变形为同底数幂相乘的形式，再根据同底数幂的乘法法则合并，最后将2m+3n的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：由已知$2m+3n-5=0$，移项可得：
$2m+3n=5$
对待求式变形，将底数统一为3：
$9^m · 27^n=(3^2)^m · (3^3)^n$
根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），得：
$=3^{2m} · 3^{3n}$
根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），得：
$=3^{2m+3n}$
将$2m+3n=5$整体代入，得：
$=3^5=243$
【答案】
243
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入指数计算，熟练掌握幂的各类运算公式是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
知识点二 积的乘方
一般地，对于任意底数$a$，$b$与任意正整数$n$，$(ab)^n = $
$ = a^n b^n$. 因此，我们有 $(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）. 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别
特别提醒
底数$a$可以为单项式，也可以为多项式.
解题要点
在比较几个幂的大小时，若底数相同，则比较指数；若指数相同，则比较底数；若指数和底数均不相同，则将其转化为底数或指数相同的形式后，再进行比较.
解题要点
同底数幂的乘法可转化为指数的加法，幂的乘方可转化为指数的乘法.
特别提醒
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.
一般地，对于任意底数$a$，$b$与任意正整数$n$，$(ab)^n = $
$ = a^n b^n$. 因此，我们有 $(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）. 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方
，再把所得的幂相乘
.特别提醒
底数$a$可以为单项式，也可以为多项式.
解题要点
在比较几个幂的大小时，若底数相同，则比较指数；若指数相同，则比较底数；若指数和底数均不相同，则将其转化为底数或指数相同的形式后，再进行比较.
解题要点
同底数幂的乘法可转化为指数的加法，幂的乘方可转化为指数的乘法.
特别提醒
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.
答案
乘方 相乘
解析
【分析】
本题考查积的乘方法则的文字表述，我们可以结合给出的推导过程理解法则：计算n个(ab)相乘时，利用乘法交换律和结合律，可将所有因式a、因式b分别集中，得到n个a的乘积、n个b的乘积，也就是a的n次幂和b的n次幂，再将两个幂相乘就能得到最终结果，结合这个推导过程即可对应填出法则描述中的空缺内容。
【解析】
根据给出的推导过程可得$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），该法则的文字表述为：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。因此两个空缺处依次填“乘方”“相乘”。
【答案】
乘方 相乘
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考查对积的乘方运算性质的记忆与理解，熟练掌握幂运算的相关法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查积的乘方法则的文字表述，我们可以结合给出的推导过程理解法则：计算n个(ab)相乘时，利用乘法交换律和结合律，可将所有因式a、因式b分别集中，得到n个a的乘积、n个b的乘积，也就是a的n次幂和b的n次幂，再将两个幂相乘就能得到最终结果，结合这个推导过程即可对应填出法则描述中的空缺内容。
【解析】
根据给出的推导过程可得$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数），该法则的文字表述为：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。因此两个空缺处依次填“乘方”“相乘”。
【答案】
乘方 相乘
【知识点】
积的乘方法则
【点评】
本题是基础概念类题目，侧重考查对积的乘方运算性质的记忆与理解，熟练掌握幂运算的相关法则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
