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例4 计算$(-3x^3y^2)^2$的结果是（）
A.$-6x^5y^4$
B.$-6x^9y^4$
C.$9x^6y^4$
D.$9x^5y^4$
解析 $(-3x^3y^2)^2 = (-3)^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2 = 9x^6y^4$。
答案 C
A.$-6x^5y^4$
B.$-6x^9y^4$
C.$9x^6y^4$
D.$9x^5y^4$
解析 $(-3x^3y^2)^2 = (-3)^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2 = 9x^6y^4$。
答案 C
答案
C
解析
【分析】
拿到本题首先识别运算类型，这是积的乘方运算，需根据积的乘方运算规则展开计算：第一步将积中的每一个因式分别乘方，即分别计算系数-3的平方、因式$x^3$的平方、因式$y^2$的平方；第二步利用幂的乘方规则计算含字母的幂的乘方，底数不变、指数相乘；第三步将所有计算结果相乘，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则，将积中各因式分别乘方：
$(-3x^3y^2)^2 = (-3)^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2$
分别计算各项：
① 系数部分：$(-3)^2=9$；
② 幂的乘方部分：根据幂的乘方“底数不变，指数相乘”的规则，$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，$(y^2)^2=y^{2×2}=y^4$；
将各项结果相乘得：$9x^6y^4$。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查积的乘方、幂的乘方的运算规则，解题时要注意系数的符号运算，不要混淆幂的运算中指数的计算规则，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先识别运算类型，这是积的乘方运算，需根据积的乘方运算规则展开计算：第一步将积中的每一个因式分别乘方，即分别计算系数-3的平方、因式$x^3$的平方、因式$y^2$的平方；第二步利用幂的乘方规则计算含字母的幂的乘方，底数不变、指数相乘；第三步将所有计算结果相乘，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则，将积中各因式分别乘方：
$(-3x^3y^2)^2 = (-3)^2 · (x^3)^2 · (y^2)^2$
分别计算各项：
① 系数部分：$(-3)^2=9$；
② 幂的乘方部分：根据幂的乘方“底数不变，指数相乘”的规则，$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，$(y^2)^2=y^{2×2}=y^4$；
将各项结果相乘得：$9x^6y^4$。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查积的乘方、幂的乘方的运算规则，解题时要注意系数的符号运算，不要混淆幂的运算中指数的计算规则，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
例5 计算$(\frac{5}{7})^{123} × (\frac{7}{5})^{124} × (-1)^{125}$的结果是（）
A.$\frac{5}{7}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$-\frac{5}{7}$
D.$-\frac{7}{5}$
解析 $(\frac{5}{7})^{123} × (\frac{7}{5})^{124} × (-1)^{125} = (\frac{5}{7} × \frac{7}{5})^{123} × \frac{7}{5} × (-1) = 1 × \frac{7}{5} × (-1) = -\frac{7}{5}$。
答案 D
A.$\frac{5}{7}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$-\frac{5}{7}$
D.$-\frac{7}{5}$
解析 $(\frac{5}{7})^{123} × (\frac{7}{5})^{124} × (-1)^{125} = (\frac{5}{7} × \frac{7}{5})^{123} × \frac{7}{5} × (-1) = 1 × \frac{7}{5} × (-1) = -\frac{7}{5}$。
答案 D
答案
D
解析
【分析】
观察算式可知，前两个因式的底数$\frac{5}{7}$和$\frac{7}{5}$互为倒数，乘积为1，且二者的指数仅相差1，因此可以先将$(\frac{7}{5})^{124}$拆分为$(\frac{7}{5})^{123}×\frac{7}{5}$，再逆用积的乘方的运算性质，将指数相同的两个幂先相乘再乘方简化计算；最后根据乘方的符号法则计算$(-1)^{125}$的结果，将所有部分相乘即可得到最终答案。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{5}{7})^{123} × (\frac{7}{5})^{124} × (-1)^{125}\\=&(\frac{5}{7})^{123} × (\frac{7}{5})^{123} × \frac{7}{5} × (-1)\\=&(\frac{5}{7} × \frac{7}{5})^{123} × \frac{7}{5} × (-1)\\=&1^{123} × \frac{7}{5} × (-1)\\=&1 × \frac{7}{5} × (-1)\\=&-\frac{7}{5}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运算、乘方的符号法则、倒数的性质
【点评】
本题重点考察幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是识别出互为倒数的底数特征，通过拆分高次幂构造指数相同的项，利用积的乘方逆运算简化计算过程，同时要注意-1的奇次幂为负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，前两个因式的底数$\frac{5}{7}$和$\frac{7}{5}$互为倒数，乘积为1，且二者的指数仅相差1，因此可以先将$(\frac{7}{5})^{124}$拆分为$(\frac{7}{5})^{123}×\frac{7}{5}$，再逆用积的乘方的运算性质，将指数相同的两个幂先相乘再乘方简化计算；最后根据乘方的符号法则计算$(-1)^{125}$的结果，将所有部分相乘即可得到最终答案。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{5}{7})^{123} × (\frac{7}{5})^{124} × (-1)^{125}\\=&(\frac{5}{7})^{123} × (\frac{7}{5})^{123} × \frac{7}{5} × (-1)\\=&(\frac{5}{7} × \frac{7}{5})^{123} × \frac{7}{5} × (-1)\\=&1^{123} × \frac{7}{5} × (-1)\\=&1 × \frac{7}{5} × (-1)\\=&-\frac{7}{5}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运算、乘方的符号法则、倒数的性质
【点评】
本题重点考察幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是识别出互为倒数的底数特征，通过拆分高次幂构造指数相同的项，利用积的乘方逆运算简化计算过程，同时要注意-1的奇次幂为负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
例6 已知$ m=8^9 $，$ n=9^8 $，用含$ m $，$ n $的式子表示$ 72^{72} $。
解 因为$ m=8^9 $，$ n=9^8 $，
所以$ 72^{72}=(8×9)^{72}=8^{72}×9^{72}=8^{8×9}×9^{8×9}=(8^9)^8×(9^8)^9=m^8·n^9 $。
解题要点
乘积中含有“－”的乘方运算，既可以根据负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数来判断结果的符号；也可以像本题一样直接看作因式的一部分，即计算$ (-3)^2 $的结果，再与其他的幂相乘。
解题要点
$ (ab)^n=a^nb^n $的逆运用$ a^n·b^n=(ab)^n $可以理解为：同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。
解 因为$ m=8^9 $，$ n=9^8 $，
所以$ 72^{72}=(8×9)^{72}=8^{72}×9^{72}=8^{8×9}×9^{8×9}=(8^9)^8×(9^8)^9=m^8·n^9 $。
解题要点
乘积中含有“－”的乘方运算，既可以根据负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数来判断结果的符号；也可以像本题一样直接看作因式的一部分，即计算$ (-3)^2 $的结果，再与其他的幂相乘。
解题要点
$ (ab)^n=a^nb^n $的逆运用$ a^n·b^n=(ab)^n $可以理解为：同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。
答案
解析
【分析】
解题时首先观察待求式的底数72与已知条件中底数8、9的关系，可知72=8×9，因此可先利用积的乘方法则将$72^{72}$拆分为$8^{72}×9^{72}$；再观察已知中$m=8^9$的指数为9，$n=9^8$的指数为8，因此将72拆分为9×8和8×9，利用幂的乘方的逆运算，将$8^{72}$转化为$(8^9)^8$，$9^{72}$转化为$(9^8)^9$，最后代入m、n即可得到结果。
【解析】
解：已知$m=8^9$，$n=9^8$，
$\begin{aligned}72^{72}&=(8×9)^{72}\\&=8^{72}×9^{72} \quad \mathrm{（积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$）}\\&=8^{9×8}×9^{8×9}\\&=(8^9)^8×(9^8)^9 \quad \mathrm{（幂的乘方逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$）}\\&=m^8· n^9\end{aligned}$
【答案】
$m^8n^9$
【知识点】
1. 积的乘方法则
2. 幂的乘方法则
3. 幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算法则的综合基础运用题，解题核心是抓住待求式与已知式中底数、指数的对应关系，通过拆分底数、调整指数完成转换，熟练掌握幂的各类运算法则及其逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察待求式的底数72与已知条件中底数8、9的关系，可知72=8×9，因此可先利用积的乘方法则将$72^{72}$拆分为$8^{72}×9^{72}$；再观察已知中$m=8^9$的指数为9，$n=9^8$的指数为8，因此将72拆分为9×8和8×9，利用幂的乘方的逆运算，将$8^{72}$转化为$(8^9)^8$，$9^{72}$转化为$(9^8)^9$，最后代入m、n即可得到结果。
【解析】
解：已知$m=8^9$，$n=9^8$，
$\begin{aligned}72^{72}&=(8×9)^{72}\\&=8^{72}×9^{72} \quad \mathrm{（积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$）}\\&=8^{9×8}×9^{8×9}\\&=(8^9)^8×(9^8)^9 \quad \mathrm{（幂的乘方逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$）}\\&=m^8· n^9\end{aligned}$
【答案】
$m^8n^9$
【知识点】
1. 积的乘方法则
2. 幂的乘方法则
3. 幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算法则的综合基础运用题，解题核心是抓住待求式与已知式中底数、指数的对应关系，通过拆分底数、调整指数完成转换，熟练掌握幂的各类运算法则及其逆用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 下列运算正确的是（
A.$-a^4 · a^3 = a^7$
B.$a^4 · a^3 = a^{12}$
C.$(a^4)^3 = a^{12}$
D.$a^4 + a^3 = a^7$
C
）A.$-a^4 · a^3 = a^7$
B.$a^4 · a^3 = a^{12}$
C.$(a^4)^3 = a^{12}$
D.$a^4 + a^3 = a^7$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算及同类项的合并，解题时需逐个对选项进行判断：首先回忆同底数幂乘法法则、幂的乘方法则，以及同类项的判定与合并规则，依次验证每个选项的运算是否符合对应法则即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，且原式带负号，故$-a^4·a^3=-a^{4+3}=-a^7≠a^7$，A错误；
B选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故$a^4·a^3=a^{4+3}=a^7≠a^{12}$，B错误；
C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，故$(a^4)^3=a^{4×3}=a^{12}$，C正确；
D选项：$a^4$和$a^3$中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题的核心是准确区分不同幂运算的指数计算规则，同时注意只有同类项才能合并，避免混淆运算规则导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算及同类项的合并，解题时需逐个对选项进行判断：首先回忆同底数幂乘法法则、幂的乘方法则，以及同类项的判定与合并规则，依次验证每个选项的运算是否符合对应法则即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，且原式带负号，故$-a^4·a^3=-a^{4+3}=-a^7≠a^7$，A错误；
B选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故$a^4·a^3=a^{4+3}=a^7≠a^{12}$，B错误；
C选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，故$(a^4)^3=a^{4×3}=a^{12}$，C正确；
D选项：$a^4$和$a^3$中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，解题的核心是准确区分不同幂运算的指数计算规则，同时注意只有同类项才能合并，避免混淆运算规则导致出错。
【难度系数】
0.8
2. 化简 $3^a · 9^b$ 的结果是 $\boldsymbol{(}$ $\boldsymbol{)}$
A.$(3 × 9)^{a+b}$
B.$(3+9)^{ab}$
C.$3^{a+2b}$
D.$3^{2a + b}$
A.$(3 × 9)^{a+b}$
B.$(3+9)^{ab}$
C.$3^{a+2b}$
D.$3^{2a + b}$
答案
C
解析
【分析】
要化简两个幂的乘积，首先观察到两个幂的底数3和9存在平方关系，解题核心思路是先把不同底数的幂转化为同底数幂，再利用幂的运算规则计算。具体步骤为：第一步将9^b改写为以3为底的幂，利用幂的乘方法则化简；第二步利用同底数幂的乘法法则，将两个同底数幂相乘合并指数，即可得到最终结果。
【解析】
解：先统一幂的底数为3：
∵ $9=3^2$，
∴ $9^b=(3^2)^b$，
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(3^2)^b=3^{2b}$，
因此$3^a · 9^b=3^a · 3^{2b}$，
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得$3^a · 3^{2b}=3^{a+2b}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础考查题，解题关键是先将不同底数的幂转化为同底数幂再运算，需要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法中指数的运算规则，避免公式混淆。
【难度系数】
0.8
要化简两个幂的乘积，首先观察到两个幂的底数3和9存在平方关系，解题核心思路是先把不同底数的幂转化为同底数幂，再利用幂的运算规则计算。具体步骤为：第一步将9^b改写为以3为底的幂，利用幂的乘方法则化简；第二步利用同底数幂的乘法法则，将两个同底数幂相乘合并指数，即可得到最终结果。
【解析】
解：先统一幂的底数为3：
∵ $9=3^2$，
∴ $9^b=(3^2)^b$，
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(3^2)^b=3^{2b}$，
因此$3^a · 9^b=3^a · 3^{2b}$，
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，可得$3^a · 3^{2b}=3^{a+2b}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础考查题，解题关键是先将不同底数的幂转化为同底数幂再运算，需要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法中指数的运算规则，避免公式混淆。
【难度系数】
0.8
3. 比较大小：$15^{44}$
＜
$256^{22}$（填“＜”“＞”或“=”）。答案
3. ＜
解析
【分析】
比较两个幂的大小，通常有两种思路：一是化为同底数幂比较指数，二是化为同指数幂比较底数。观察本题两个幂的指数分别为44和22，存在2倍的倍数关系，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将指数为44的幂转化为指数为22的幂，再比较两个同指数幂的底数大小即可。
【解析】
根据幂的乘方法则的逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$15^{44}=15^{2×22}=(15^2)^{22}=225^{22}$
此时两个幂的指数均为22，当指数相同时，底数越大，对应的幂越大。
因为$225＜256$，所以$225^{22}＜256^{22}$，即$15^{44}＜256^{22}$。
【答案】
＜
【知识点】
1.幂的乘方运算
2.同指数幂比较大小
【点评】
本题是幂的运算的常见题型，核心是通过幂的乘方的逆用，将两个不同指数的幂转化为同指数幂再比较大小，熟练掌握幂的各类运算法则是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
比较两个幂的大小，通常有两种思路：一是化为同底数幂比较指数，二是化为同指数幂比较底数。观察本题两个幂的指数分别为44和22，存在2倍的倍数关系，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将指数为44的幂转化为指数为22的幂，再比较两个同指数幂的底数大小即可。
【解析】
根据幂的乘方法则的逆用：$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$15^{44}=15^{2×22}=(15^2)^{22}=225^{22}$
此时两个幂的指数均为22，当指数相同时，底数越大，对应的幂越大。
因为$225＜256$，所以$225^{22}＜256^{22}$，即$15^{44}＜256^{22}$。
【答案】
＜
【知识点】
1.幂的乘方运算
2.同指数幂比较大小
【点评】
本题是幂的运算的常见题型，核心是通过幂的乘方的逆用，将两个不同指数的幂转化为同指数幂再比较大小，熟练掌握幂的各类运算法则是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
4. 已知$4^x = 2^{3x - 1}$，则x的值为
1
。答案
4. 1
解析
【分析】
要解该指数类方程，首先观察等式两边的底数特征：4是2的平方，可利用幂的乘方的运算性质将等式两边的底数统一为2；由于底数2不为0且不等于1，当两个同底数幂相等时，对应指数也相等，即可将指数方程转化为常见的一元一次方程，求解一元一次方程就能得到x的值。
【解析】
根据幂的乘方运算公式$(a^m)^n=a^{mn}$，对等式左边变形：
因为$4=2^2$，所以$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$
原方程可转化为：$2^{2x}=2^{3x-1}$
由于底数$2≠0$且$2≠1$，同底数幂相等时指数相等，因此列方程：
$2x=3x-1$
移项计算得：$3x-2x=1$，即$x=1$
【答案】
1
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂相等的条件、解一元一次方程
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题，解题核心是通过幂的运算性质将不同底数的幂转化为同底数幂，进而将指数方程转化为整式方程求解，考查学生对幂的运算性质的掌握程度和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.85
要解该指数类方程，首先观察等式两边的底数特征：4是2的平方，可利用幂的乘方的运算性质将等式两边的底数统一为2；由于底数2不为0且不等于1，当两个同底数幂相等时，对应指数也相等，即可将指数方程转化为常见的一元一次方程，求解一元一次方程就能得到x的值。
【解析】
根据幂的乘方运算公式$(a^m)^n=a^{mn}$，对等式左边变形：
因为$4=2^2$，所以$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$
原方程可转化为：$2^{2x}=2^{3x-1}$
由于底数$2≠0$且$2≠1$，同底数幂相等时指数相等，因此列方程：
$2x=3x-1$
移项计算得：$3x-2x=1$，即$x=1$
【答案】
1
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂相等的条件、解一元一次方程
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题，解题核心是通过幂的运算性质将不同底数的幂转化为同底数幂，进而将指数方程转化为整式方程求解，考查学生对幂的运算性质的掌握程度和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.85
5. 计算：
(1) $(10^2)^3$；
(2) $(y^6)^2$；
(3) $-(x^3)^5$；
(4) $(a^n)^6$。
(1) $(10^2)^3$；
(2) $(y^6)^2$；
(3) $-(x^3)^5$；
(4) $(a^n)^6$。
答案
(1) $10^6$ (2) $y^{12}$ (3) $-x^{15}$ (4) $a^{6n}$
解析
【分析】
观察四道小题的运算形式，均属于幂的乘方运算，解题核心是运用幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数）。思考步骤如下：①先确认运算类型为幂的乘方，明确底数和两个指数；②运算时底数保持不变，将两个指数相乘（注意不要和同底数幂乘法的指数相加混淆）；③若幂前带有负号，先计算幂的乘方部分，再保留负号；④指数含有字母时，和常数指数运算规则一致，直接相乘即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则，底数$10$不变，指数相乘：
$(10^2)^3=10^{2×3}=10^6$
(2) 根据幂的乘方法则，底数$y$不变，指数相乘：
$(y^6)^2=y^{6×2}=y^{12}$
(3) 先计算幂的乘方部分，再保留前面的负号：
$-(x^3)^5=-x^{3×5}=-x^{15}$
(4) 指数含字母时同样适用幂的乘方法则，底数$a$不变，指数相乘：
$(a^n)^6=a^{n×6}=a^{6n}$
【答案】
(1) $10^6$ (2) $y^{12}$ (3) $-x^{15}$ (4) $a^{6n}$
【知识点】
幂的乘方法则、指数运算、整式化简
【点评】
本题是幂的乘方的基础练习题，主要考查对幂的乘方运算法则的掌握程度，做题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的运算规则，避免出现指数相加的错误，带负号的运算不要漏写符号，熟练掌握公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
观察四道小题的运算形式，均属于幂的乘方运算，解题核心是运用幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数）。思考步骤如下：①先确认运算类型为幂的乘方，明确底数和两个指数；②运算时底数保持不变，将两个指数相乘（注意不要和同底数幂乘法的指数相加混淆）；③若幂前带有负号，先计算幂的乘方部分，再保留负号；④指数含有字母时，和常数指数运算规则一致，直接相乘即可。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则，底数$10$不变，指数相乘：
$(10^2)^3=10^{2×3}=10^6$
(2) 根据幂的乘方法则，底数$y$不变，指数相乘：
$(y^6)^2=y^{6×2}=y^{12}$
(3) 先计算幂的乘方部分，再保留前面的负号：
$-(x^3)^5=-x^{3×5}=-x^{15}$
(4) 指数含字母时同样适用幂的乘方法则，底数$a$不变，指数相乘：
$(a^n)^6=a^{n×6}=a^{6n}$
【答案】
(1) $10^6$ (2) $y^{12}$ (3) $-x^{15}$ (4) $a^{6n}$
【知识点】
幂的乘方法则、指数运算、整式化简
【点评】
本题是幂的乘方的基础练习题，主要考查对幂的乘方运算法则的掌握程度，做题时要注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的运算规则，避免出现指数相加的错误，带负号的运算不要漏写符号，熟练掌握公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
