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6. 计算$(-\dfrac{2}{3})^{624} · (-1.5)^{625}$的结果为（
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$-\dfrac{2}{3}$
C.$1.5$
D.$-1.5$
D
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$-\dfrac{2}{3}$
C.$1.5$
D.$-1.5$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时首先观察两个幂的底数特征：$-1.5$可转化为$-\dfrac{3}{2}$，与$-\dfrac{2}{3}$互为倒数，乘积为1；再看指数，两个幂的指数相差1，可将指数更大的$(-1.5)^{625}$拆分为$(-1.5)^{624}×(-1.5)$，使两个幂拥有相同的指数624，最后利用积的乘方的逆运算$a^n· b^n=(a· b)^n$简化计算即可。
【解析】
先将小数转化为分数，再拆分高次幂，逆用积的乘方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{2}{3})^{624}×(-\dfrac{3}{2})^{625}\\&=(-\dfrac{2}{3})^{624}×(-\dfrac{3}{2})^{624}×(-\dfrac{3}{2})\\&=[(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{3}{2})]^{624}×(-\dfrac{3}{2})\\&=1^{624}×(-\dfrac{3}{2})\\&=1×(-1.5)\\&=-1.5\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运用；有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的典型题型，解题核心是发现底数的倒数关系，通过拆分高次幂构造同指数幂，再逆用积的乘方公式简化计算，熟练掌握幂的运算公式的正用、逆用，能大幅提升这类运算题的解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察两个幂的底数特征：$-1.5$可转化为$-\dfrac{3}{2}$，与$-\dfrac{2}{3}$互为倒数，乘积为1；再看指数，两个幂的指数相差1，可将指数更大的$(-1.5)^{625}$拆分为$(-1.5)^{624}×(-1.5)$，使两个幂拥有相同的指数624，最后利用积的乘方的逆运算$a^n· b^n=(a· b)^n$简化计算即可。
【解析】
先将小数转化为分数，再拆分高次幂，逆用积的乘方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{2}{3})^{624}×(-\dfrac{3}{2})^{625}\\&=(-\dfrac{2}{3})^{624}×(-\dfrac{3}{2})^{624}×(-\dfrac{3}{2})\\&=[(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{3}{2})]^{624}×(-\dfrac{3}{2})\\&=1^{624}×(-\dfrac{3}{2})\\&=1×(-1.5)\\&=-1.5\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运用；有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的典型题型，解题核心是发现底数的倒数关系，通过拆分高次幂构造同指数幂，再逆用积的乘方公式简化计算，熟练掌握幂的运算公式的正用、逆用，能大幅提升这类运算题的解题效率和准确率。
【难度系数】
0.7
7. 若$m$，$n$，$p$是正整数，则$(x^m · x^n)^p =$（
A.$x^m · x^{np}$
B.$x^{mnp}$
C.$x^{mp + np}$
D.$x^{mp · np}$
C
）A.$x^m · x^{np}$
B.$x^{mnp}$
C.$x^{mp + np}$
D.$x^{mp · np}$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先观察式子的结构，本题是两个同底数幂的乘积的乘方运算，有两种解题思路：①先计算括号内的同底数幂乘法，再计算幂的乘方；②先利用积的乘方法则展开，再分别计算幂的乘方，最后计算同底数幂的乘法。解题时要注意区分不同幂运算的指数计算规则，避免混淆加法和乘法运算。
【解析】
方法一：先算括号内的同底数幂乘法
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$x^m · x^n = x^{m+n}$
再根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(x^{m+n})^p = x^{p(m+n)} = x^{mp+np}$
方法二：先利用积的乘方法则展开
根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得：
$(x^m · x^n)^p = (x^m)^p · (x^n)^p$
再分别计算幂的乘方：
$(x^m)^p = x^{mp}$，$(x^n)^p = x^{np}$
最后计算同底数幂的乘法：
$x^{mp} · x^{np} = x^{mp+np}$
综上，结果为$x^{mp+np}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂的运算法则的基础综合应用题，解题的核心是熟练掌握各类幂运算的法则，准确区分指数的运算规则，避免出现指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.9
解题时先观察式子的结构，本题是两个同底数幂的乘积的乘方运算，有两种解题思路：①先计算括号内的同底数幂乘法，再计算幂的乘方；②先利用积的乘方法则展开，再分别计算幂的乘方，最后计算同底数幂的乘法。解题时要注意区分不同幂运算的指数计算规则，避免混淆加法和乘法运算。
【解析】
方法一：先算括号内的同底数幂乘法
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$x^m · x^n = x^{m+n}$
再根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(x^{m+n})^p = x^{p(m+n)} = x^{mp+np}$
方法二：先利用积的乘方法则展开
根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得：
$(x^m · x^n)^p = (x^m)^p · (x^n)^p$
再分别计算幂的乘方：
$(x^m)^p = x^{mp}$，$(x^n)^p = x^{np}$
最后计算同底数幂的乘法：
$x^{mp} · x^{np} = x^{mp+np}$
综上，结果为$x^{mp+np}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂的运算法则的基础综合应用题，解题的核心是熟练掌握各类幂运算的法则，准确区分指数的运算规则，避免出现指数运算混淆的错误。
【难度系数】
0.9
8. 若$(2x^a y^{a+b})^3 = 8x^9 y^{15}$成立，则（
A.$a=3, b=6$
B.$a=3, b=2$
C.$a=6, b=2$
D.$a=3, b=5$
B
）A.$a=3, b=6$
B.$a=3, b=2$
C.$a=6, b=2$
D.$a=3, b=5$
答案
8. B
解析
【分析】
解题时先运用积的乘方、幂的乘方运算法则化简等式左边的代数式，再根据等式两边同类单项式的相同字母指数对应相等，列出关于a、b的方程，解方程即可求出a、b的值，进而选出正确选项。
【解析】
先化简等式左边的式子：
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(2x^a y^{a+b})^3=2^3 · (x^a)^3 · (y^{a+b})^3$
再根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步计算得：
$2^3 · (x^a)^3 · (y^{a+b})^3=8x^{3a}y^{3(a+b)}$
已知等式右边为$8x^9 y^{15}$，等式两边单项式相等，则相同字母的指数对应相等，可列方程：
1. 对x的指数：$3a=9$，解得$a=3$
2. 对y的指数：$3(a+b)=15$，将$a=3$代入得：$3×(3+b)=15$，化简得$3+b=5$，解得$b=2$
因此$a=3,b=2$。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、单项式相等的条件
【点评】
本题是幂的运算模块的常规基础题，核心考查对幂的运算法则的掌握程度，解题的关键是熟练运用运算法则化简式子，结合指数相等列方程求解，此类题型是后续整式运算的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
解题时先运用积的乘方、幂的乘方运算法则化简等式左边的代数式，再根据等式两边同类单项式的相同字母指数对应相等，列出关于a、b的方程，解方程即可求出a、b的值，进而选出正确选项。
【解析】
先化简等式左边的式子：
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(2x^a y^{a+b})^3=2^3 · (x^a)^3 · (y^{a+b})^3$
再根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步计算得：
$2^3 · (x^a)^3 · (y^{a+b})^3=8x^{3a}y^{3(a+b)}$
已知等式右边为$8x^9 y^{15}$，等式两边单项式相等，则相同字母的指数对应相等，可列方程：
1. 对x的指数：$3a=9$，解得$a=3$
2. 对y的指数：$3(a+b)=15$，将$a=3$代入得：$3×(3+b)=15$，化简得$3+b=5$，解得$b=2$
因此$a=3,b=2$。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、单项式相等的条件
【点评】
本题是幂的运算模块的常规基础题，核心考查对幂的运算法则的掌握程度，解题的关键是熟练运用运算法则化简式子，结合指数相等列方程求解，此类题型是后续整式运算的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
9. 计算：
(1) $(2b)^3$；
(2) $(-5a)^3$；
(3) $(xy^3)^3$；
(4) $(-3x)^4$。
(1) $(2b)^3$；
(2) $(-5a)^3$；
(3) $(xy^3)^3$；
(4) $(-3x)^4$。
答案
(1) $8b^3$ (2) $-125a^3$ (3) $x^3 y^9$ (4) $81x^4$
解析
【分析】
这几道题均属于积的乘方类运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），即需把积中的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；若因式中包含幂的形式，还需结合幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数）运算，即底数不变，指数相乘；遇到负系数时，要注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正，避免符号出错。
(1) 对$(2b)^3$，将因式2和$b$分别乘3次方，再相乘即可；
(2) 对$(-5a)^3$，将因式$-5$和$a$分别乘3次方，注意$-5$的3次方是奇次幂，结果为负；
(3) 对$(xy^3)^3$，将因式$x$和$y^3$分别乘3次方，其中$y^3$的3次方用幂的乘方法则计算；
(4) 对$(-3x)^4$，将因式$-3$和$x$分别乘4次方，注意$-3$的4次方是偶次幂，结果为正。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则：
$(2b)^3=2^3 · b^3=8b^3$
(2) 根据积的乘方法则：
$(-5a)^3=(-5)^3 · a^3=-125a^3$
(3) 结合积的乘方和幂的乘方法则：
$(xy^3)^3=x^3 · (y^3)^3=x^3 · y^{3×3}=x^3 y^9$
(4) 根据积的乘方法则：
$(-3x)^4=(-3)^4 · x^4=81x^4$
【答案】
(1) $8b^3$ (2) $-125a^3$ (3) $x^3 y^9$ (4) $81x^4$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；乘方符号法则
【点评】
本题是幂运算的基础练习题，核心考查积的乘方、幂的乘方运算法则的应用，解题时需注意不要遗漏系数的乘方运算，同时要准确判断负数乘方的符号，熟练掌握这类运算是后续整式乘法学习的基础。
【难度系数】
0.9
这几道题均属于积的乘方类运算，解题思路如下：首先回忆积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），即需把积中的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；若因式中包含幂的形式，还需结合幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$为正整数）运算，即底数不变，指数相乘；遇到负系数时，要注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正，避免符号出错。
(1) 对$(2b)^3$，将因式2和$b$分别乘3次方，再相乘即可；
(2) 对$(-5a)^3$，将因式$-5$和$a$分别乘3次方，注意$-5$的3次方是奇次幂，结果为负；
(3) 对$(xy^3)^3$，将因式$x$和$y^3$分别乘3次方，其中$y^3$的3次方用幂的乘方法则计算；
(4) 对$(-3x)^4$，将因式$-3$和$x$分别乘4次方，注意$-3$的4次方是偶次幂，结果为正。
【解析】
(1) 根据积的乘方法则：
$(2b)^3=2^3 · b^3=8b^3$
(2) 根据积的乘方法则：
$(-5a)^3=(-5)^3 · a^3=-125a^3$
(3) 结合积的乘方和幂的乘方法则：
$(xy^3)^3=x^3 · (y^3)^3=x^3 · y^{3×3}=x^3 y^9$
(4) 根据积的乘方法则：
$(-3x)^4=(-3)^4 · x^4=81x^4$
【答案】
(1) $8b^3$ (2) $-125a^3$ (3) $x^3 y^9$ (4) $81x^4$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；乘方符号法则
【点评】
本题是幂运算的基础练习题，核心考查积的乘方、幂的乘方运算法则的应用，解题时需注意不要遗漏系数的乘方运算，同时要准确判断负数乘方的符号，熟练掌握这类运算是后续整式乘法学习的基础。
【难度系数】
0.9
10. 将幂的运算逆向思维可以得到$a^{m+n}=a^m · a^n$，$a^{mn}=(a^m)^n$，$a^n b^n=(ab)^n$，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算性质，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解.
（1）若$a^m=2$，$a^n=3$，求$a^{3m+2n}$的值；
（2）若$2×4^x×8^x=2^{16}$，求$x$的值.
（1）若$a^m=2$，$a^n=3$，求$a^{3m+2n}$的值；
（2）若$2×4^x×8^x=2^{16}$，求$x$的值.
答案
解 （1）因为$a^m=2$，$a^n=3$，
所以 $a^{3m+2n} = a^{3m} · a^{2n} = (a^m)^3 · (a^n)^2 = 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72$。
（2）因为 $2 × 4^x × 8^x = 2 × (2^2)^x × (2^3)^x = 2^{1+2x+3x} = 2^{16}$，所以 $1 + 2x + 3x = 16$，即 $5x=15$，解得 $x=3$。
所以 $a^{3m+2n} = a^{3m} · a^{2n} = (a^m)^3 · (a^n)^2 = 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72$。
（2）因为 $2 × 4^x × 8^x = 2 × (2^2)^x × (2^3)^x = 2^{1+2x+3x} = 2^{16}$，所以 $1 + 2x + 3x = 16$，即 $5x=15$，解得 $x=3$。
解析
【分析】
（1）求解$a^{3m+2n}$时，先观察已知给出了$a^m$和$a^n$的值，因此考虑逆向运用幂的运算性质：首先根据同底数幂乘法的逆运算，将指数相加的形式拆分为同底数幂相乘，即$a^{3m+2n}=a^{3m}·a^{2n}$；再根据幂的乘方的逆运算，将指数相乘的形式转化为幂的乘方，即$a^{3m}=(a^m)^3$、$a^{2n}=(a^n)^2$，最后代入已知数值计算即可。
（2）求解$x$的值时，首先观察等式左边的幂底数不同，先将$4^x$和$8^x$都转化为以2为底的幂：$4=2^2$、$8=2^3$，因此$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$、$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$；再根据同底数幂乘法的性质，将左边合并为底数为2的幂，得到$2^{1+2x+3x}$；因为左右两边底数相同，所以指数相等，列出一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）已知$a^m=2$，$a^n=3$，逆向运用幂的运算性质可得：
$\begin{aligned}a^{3m+2n} &= a^{3m} · a^{2n} \\&= (a^m)^3 · (a^n)^2 \\&= 2^3 × 3^2 \\&= 8 × 9 \\&= 72\end{aligned}$
（2）先将等式左边的幂统一为以2为底的幂，再根据同底数幂的运算性质化简：
$\begin{aligned}2 × 4^x × 8^x &= 2 × (2^2)^x × (2^3)^x \\&= 2 × 2^{2x} × 2^{3x} \\&= 2^{1+2x+3x}\end{aligned}$
已知化简后等式为$2^{1+5x}=2^{16}$，因为底数相同的幂相等时指数也相等，因此可得：
$1+5x=16$
解得$x=3$。
【答案】
（1）$\boxed{72}$；（2）$\boxed{x=3}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是根据算式的结构特征，合理选择正向或逆向运用幂的运算公式，将陌生问题转化为熟悉的代数式求值或一元一次方程问题，是幂运算章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）求解$a^{3m+2n}$时，先观察已知给出了$a^m$和$a^n$的值，因此考虑逆向运用幂的运算性质：首先根据同底数幂乘法的逆运算，将指数相加的形式拆分为同底数幂相乘，即$a^{3m+2n}=a^{3m}·a^{2n}$；再根据幂的乘方的逆运算，将指数相乘的形式转化为幂的乘方，即$a^{3m}=(a^m)^3$、$a^{2n}=(a^n)^2$，最后代入已知数值计算即可。
（2）求解$x$的值时，首先观察等式左边的幂底数不同，先将$4^x$和$8^x$都转化为以2为底的幂：$4=2^2$、$8=2^3$，因此$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$、$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$；再根据同底数幂乘法的性质，将左边合并为底数为2的幂，得到$2^{1+2x+3x}$；因为左右两边底数相同，所以指数相等，列出一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）已知$a^m=2$，$a^n=3$，逆向运用幂的运算性质可得：
$\begin{aligned}a^{3m+2n} &= a^{3m} · a^{2n} \\&= (a^m)^3 · (a^n)^2 \\&= 2^3 × 3^2 \\&= 8 × 9 \\&= 72\end{aligned}$
（2）先将等式左边的幂统一为以2为底的幂，再根据同底数幂的运算性质化简：
$\begin{aligned}2 × 4^x × 8^x &= 2 × (2^2)^x × (2^3)^x \\&= 2 × 2^{2x} × 2^{3x} \\&= 2^{1+2x+3x}\end{aligned}$
已知化简后等式为$2^{1+5x}=2^{16}$，因为底数相同的幂相等时指数也相等，因此可得：
$1+5x=16$
解得$x=3$。
【答案】
（1）$\boxed{72}$；（2）$\boxed{x=3}$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是根据算式的结构特征，合理选择正向或逆向运用幂的运算公式，将陌生问题转化为熟悉的代数式求值或一元一次方程问题，是幂运算章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
