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知识点 同底数幂的乘法
1. 一般地，对于任意底数$a$与任意正整数$m$，$n$，$a^m · a^n =$
$a^{m+n}$.因此，我们有$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$，$n$都是正整数）.即
同底数幂相乘，底数
1. 一般地，对于任意底数$a$与任意正整数$m$，$n$，$a^m · a^n =$
$a^{m+n}$.因此，我们有$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$，$n$都是正整数）.即同底数幂相乘，底数
不变
，指数相加
.答案
1. 不变 相加
解析
【分析】
解决这道题要结合题目给出的推导过程理解同底数幂的乘法规律：首先回忆乘方的意义，$a^m$代表m个a相乘，$a^n$代表n个a相乘，二者相乘后相同因数a的总个数为$m+n$个，对应乘方形式$a^{m+n}$。对比等式左右两边底数、指数的变化，就能总结出规律完成填空。
【解析】
根据乘方的意义可知：$a^m$是m个a相乘，$a^n$是n个a相乘，因此$a^m·a^n$就是m个a相乘再乘n个a相乘，总共有$(m+n)$个a相乘，写成乘方形式就是$a^{m+n}$。
观察等式$a^m·a^n=a^{m+n}$可得：等式两侧的底数均为a，没有发生变化；左侧两个幂的指数为m、n，右侧幂的指数为$m+n$，即两个指数相加。
因此同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
【答案】
不变；相加
【知识点】
同底数幂的乘法法则
【点评】
本题是对同底数幂乘法法则的基础概念考察，核心是理解法则的推导过程，准确记忆法则内容，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
解决这道题要结合题目给出的推导过程理解同底数幂的乘法规律：首先回忆乘方的意义，$a^m$代表m个a相乘，$a^n$代表n个a相乘，二者相乘后相同因数a的总个数为$m+n$个，对应乘方形式$a^{m+n}$。对比等式左右两边底数、指数的变化，就能总结出规律完成填空。
【解析】
根据乘方的意义可知：$a^m$是m个a相乘，$a^n$是n个a相乘，因此$a^m·a^n$就是m个a相乘再乘n个a相乘，总共有$(m+n)$个a相乘，写成乘方形式就是$a^{m+n}$。
观察等式$a^m·a^n=a^{m+n}$可得：等式两侧的底数均为a，没有发生变化；左侧两个幂的指数为m、n，右侧幂的指数为$m+n$，即两个指数相加。
因此同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
【答案】
不变；相加
【知识点】
同底数幂的乘法法则
【点评】
本题是对同底数幂乘法法则的基础概念考察，核心是理解法则的推导过程，准确记忆法则内容，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
2. 三个或三个以上同底数幂相乘，也具有这一性质. 即 $a^m · a^n · a^p = \_\_\_\_\_\_$（m，n，p都是正整数）
答案
$a^{m+n+p}$
解析
【分析】
我们已经掌握两个同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数）。求解三个同底数幂相乘的问题时，可借助乘法结合律，先计算前两个同底数幂的乘积，再将所得结果与第三个同底数幂相乘，两次运用同底数幂的乘法法则即可推导得到最终结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），分步运算如下：
1. 先计算前两个同底数幂的乘积：
$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数）
2. 将上述结果与第三个同底数幂$a^p$相乘，再次运用同底数幂的乘法法则：
$a^{m+n} · a^p = a^{(m+n)+p} = a^{m+n+p}$（p为正整数）
因此可得$a^m · a^n · a^p = a^{m+n+p}$（m、n、p均为正整数）。
【答案】
$a^{m+n+p}$
【知识点】
同底数幂的乘法、乘法结合律
【点评】
本题是同底数幂乘法法则的拓展应用，考查对基础运算法则的迁移能力，只需掌握两个同底数幂相乘的运算规则，就能推广到任意多个同底数幂相乘的场景，属于基础题。
【难度系数】
0.9
我们已经掌握两个同底数幂相乘的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数）。求解三个同底数幂相乘的问题时，可借助乘法结合律，先计算前两个同底数幂的乘积，再将所得结果与第三个同底数幂相乘，两次运用同底数幂的乘法法则即可推导得到最终结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），分步运算如下：
1. 先计算前两个同底数幂的乘积：
$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数）
2. 将上述结果与第三个同底数幂$a^p$相乘，再次运用同底数幂的乘法法则：
$a^{m+n} · a^p = a^{(m+n)+p} = a^{m+n+p}$（p为正整数）
因此可得$a^m · a^n · a^p = a^{m+n+p}$（m、n、p均为正整数）。
【答案】
$a^{m+n+p}$
【知识点】
同底数幂的乘法、乘法结合律
【点评】
本题是同底数幂乘法法则的拓展应用，考查对基础运算法则的迁移能力，只需掌握两个同底数幂相乘的运算规则，就能推广到任意多个同底数幂相乘的场景，属于基础题。
【难度系数】
0.9
例1 计算：(1) $a · a^5$；
(2) $(-3)^3 × (-3) × (-3)^4$；
(3) $x^n · x^{n+1}$。
解 (1) $a · a^5 = a^{1+5} = a^6$。
(2) $(-3)^3 × (-3) × (-3)^4 = (-3)^8 = 6561$。
(3) $x^n · x^{n+1} = x^{2n+1}$。
(2) $(-3)^3 × (-3) × (-3)^4$；
(3) $x^n · x^{n+1}$。
解 (1) $a · a^5 = a^{1+5} = a^6$。
(2) $(-3)^3 × (-3) × (-3)^4 = (-3)^8 = 6561$。
(3) $x^n · x^{n+1} = x^{2n+1}$。
答案
解：
(1) $a · a^5 = a^{1+5} = a^6$
(2) $(-3)^3 × (-3) × (-3)^4 = (-3)^{3+1+4} = (-3)^8 = 6561$
(3) $x^n · x^{n+1} = x^{n+(n+1)} = x^{2n+1}$
(1) $a · a^5 = a^{1+5} = a^6$
(2) $(-3)^3 × (-3) × (-3)^4 = (-3)^{3+1+4} = (-3)^8 = 6561$
(3) $x^n · x^{n+1} = x^{n+(n+1)} = x^{2n+1}$
解析
【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：①首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②逐题判断各因式的底数是否相同，确认底数一致后，明确每个因式的指数，注意单独的字母或数字作为因式时，指数默认为1；③按照法则将指数相加后化简结果，若底数为负数，还需根据指数的奇偶性判断最终结果的符号。
【解析】
(1) 两个因式底数均为a，其中单个a的指数为1，根据同底数幂乘法法则计算：
$a · a^5 = a^{1+5} = a^6$
(2) 三个因式底数均为-3，其中单个$(-3)$的指数为1，先按法则合并指数，再计算最终结果：
$(-3)^3 × (-3) × (-3)^4 = (-3)^{3+1+4} = (-3)^8 = 6561$
(3) 两个因式底数均为x，指数分别为n和$n+1$，按法则相加后合并同类项：
$x^n · x^{n+1} = x^{n+(n+1)} = x^{2n+1}$
【答案】
(1) $\boxed{a^6}$；(2) $\boxed{6561}$；(3) $\boxed{x^{2n+1}}$
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方符号判断；整式加减
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，核心考查对同底数幂乘法法则的掌握程度，易错点为忽略单个数字/字母的指数为1、负数乘方的符号判断错误，熟练掌握法则即可快速正确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：①首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②逐题判断各因式的底数是否相同，确认底数一致后，明确每个因式的指数，注意单独的字母或数字作为因式时，指数默认为1；③按照法则将指数相加后化简结果，若底数为负数，还需根据指数的奇偶性判断最终结果的符号。
【解析】
(1) 两个因式底数均为a，其中单个a的指数为1，根据同底数幂乘法法则计算：
$a · a^5 = a^{1+5} = a^6$
(2) 三个因式底数均为-3，其中单个$(-3)$的指数为1，先按法则合并指数，再计算最终结果：
$(-3)^3 × (-3) × (-3)^4 = (-3)^{3+1+4} = (-3)^8 = 6561$
(3) 两个因式底数均为x，指数分别为n和$n+1$，按法则相加后合并同类项：
$x^n · x^{n+1} = x^{n+(n+1)} = x^{2n+1}$
【答案】
(1) $\boxed{a^6}$；(2) $\boxed{6561}$；(3) $\boxed{x^{2n+1}}$
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方符号判断；整式加减
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，核心考查对同底数幂乘法法则的掌握程度，易错点为忽略单个数字/字母的指数为1、负数乘方的符号判断错误，熟练掌握法则即可快速正确解题。
【难度系数】
0.8
例2 已知$7^x = y$，则$7^{x+1}=$（）
A.$x$
B.$1+y$
C.$7+y$
D.$7y$
解析 因为$7^x = y$，
所以$7^{x+1}=7^x×7=7y$。
答案 D
特别提醒
本章中，若没有特别说明，
指数中的字母均为正整数。
解题要点
本题除了要明确同底数幂的
运算性质，还要注意（1）
题中$a$的次数为1，不要忽
略省略的“1”。
解题要点
同底数幂的运算性质可以逆
用，即$a^{m+n}=a^m·a^n$（$m$，
$n$都是正整数）。
第十六章 整式的乘法 75
A.$x$
B.$1+y$
C.$7+y$
D.$7y$
解析 因为$7^x = y$，
所以$7^{x+1}=7^x×7=7y$。
答案 D
特别提醒
本章中，若没有特别说明，
指数中的字母均为正整数。
解题要点
本题除了要明确同底数幂的
运算性质，还要注意（1）
题中$a$的次数为1，不要忽
略省略的“1”。
解题要点
同底数幂的运算性质可以逆
用，即$a^{m+n}=a^m·a^n$（$m$，
$n$都是正整数）。
第十六章 整式的乘法 75
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m· a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），该法则可以逆用。题目要求$7^{x+1}$的值，可先将指数为和的形式拆分为两个同底数幂相乘的形式，再将已知条件$7^x=y$代入计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$7^{x+1}=7^x×7$
已知$7^x=y$，将其代入上式得：
$7^{x+1}=y×7=7y$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算逆用；代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考察对同底数幂乘法法则的灵活运用，解题关键在于熟练掌握法则的正用与逆用，拆分指数时注意不要遗漏指数为1的情况，避免运算失误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m· a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数），该法则可以逆用。题目要求$7^{x+1}$的值，可先将指数为和的形式拆分为两个同底数幂相乘的形式，再将已知条件$7^x=y$代入计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$7^{x+1}=7^x×7$
已知$7^x=y$，将其代入上式得：
$7^{x+1}=y×7=7y$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算逆用；代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，核心考察对同底数幂乘法法则的灵活运用，解题关键在于熟练掌握法则的正用与逆用，拆分指数时注意不要遗漏指数为1的情况，避免运算失误。
【难度系数】
0.9
