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4. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，$AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线. 若 $P$，$Q$ 分别是 $AD$ 和 $AC$ 上的动点，则 $PC + PQ$ 的最小值为
$\frac{12}{5}$
.答案
4. $\frac{12}{5}$
解析
【分析】
本题属于最短路径的变形问题，解题思路如下：① 首先明确AD是∠BAC的角平分线，角平分线是角的对称轴，角平分线上的点到角两边的距离相等；② 要计算PC+PQ的最小值，我们可以利用角平分线的性质，把折线PC+PQ转化为可求的最短线段；③ 根据“垂线段最短”可知，两条线段和的最小值就是Rt△ABC斜边上的高，最后用面积法计算该高的长度即可。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q。
∵AD是∠BAC的平分线，PQ⊥AC，PE⊥AB，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PE。
此时PC+PQ=PC+PE=CE，结合垂线段最短可知，CE的长度就是PC+PQ的最小值。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，利用三角形面积相等可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CE$
代入数值计算：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × CE$
解得$CE=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
角平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型考法，解题核心是利用角平分线的性质完成线段的转化，将折线和转化为点到直线的垂线段，再通过面积法求直角三角形斜边上的高得到结果，侧重考察学生的转化思想和对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径的变形问题，解题思路如下：① 首先明确AD是∠BAC的角平分线，角平分线是角的对称轴，角平分线上的点到角两边的距离相等；② 要计算PC+PQ的最小值，我们可以利用角平分线的性质，把折线PC+PQ转化为可求的最短线段；③ 根据“垂线段最短”可知，两条线段和的最小值就是Rt△ABC斜边上的高，最后用面积法计算该高的长度即可。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q。
∵AD是∠BAC的平分线，PQ⊥AC，PE⊥AB，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PE。
此时PC+PQ=PC+PE=CE，结合垂线段最短可知，CE的长度就是PC+PQ的最小值。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，利用三角形面积相等可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CE$
代入数值计算：
$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × CE$
解得$CE=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
角平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短
【点评】
本题是轴对称最短路径的典型考法，解题核心是利用角平分线的性质完成线段的转化，将折线和转化为点到直线的垂线段，再通过面积法求直角三角形斜边上的高得到结果，侧重考察学生的转化思想和对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点E，F组成四边形ABFE，如何取点才能使该四边形的周长最小？
答案
解 如图，点E，F的位置即为所求.
解析
【分析】
要使四边形ABFE的周长最小，首先观察周长的组成：线段AB是固定长度的，因此只需保证剩余三段AE+EF+FB的和最小即可。我们可以利用轴对称的性质，将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合“两点之间线段最短”的公理求解：分别作定点A、B关于对应边OM、ON的对称点，把分散的折线段转化为共线的线段，即可得到和最小的情况。
【解析】
1. 分析周长构成：四边形ABFE的周长=AB + AE + EF + FB，其中线段AB长度固定，因此要让周长最小，只需使AE+EF+FB的和最小。
2. 作对称点：作点A关于直线OM的对称点C，作点B关于直线ON的对称点D。
3. 确定交点：连接CD，交OM于点E，交ON于点F，此时的E、F即为所求的点。
4. 验证最小值：根据轴对称的性质，AE=CE，BF=DF，因此AE+EF+FB=CE+EF+FD=CD。由“两点之间线段最短”可知，CD是C到D的最短路径，因此此时AE+EF+FB的和最小，对应四边形ABFE的周长最小。
【答案】
如图，点E，F的位置即为所求.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典题型，核心解题思路是通过轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长，利用线段公理求解，掌握“对称转化”的思路可以解决同类的最短路径问题。
【难度系数】
0.6
要使四边形ABFE的周长最小，首先观察周长的组成：线段AB是固定长度的，因此只需保证剩余三段AE+EF+FB的和最小即可。我们可以利用轴对称的性质，将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合“两点之间线段最短”的公理求解：分别作定点A、B关于对应边OM、ON的对称点，把分散的折线段转化为共线的线段，即可得到和最小的情况。
【解析】
1. 分析周长构成：四边形ABFE的周长=AB + AE + EF + FB，其中线段AB长度固定，因此要让周长最小，只需使AE+EF+FB的和最小。
2. 作对称点：作点A关于直线OM的对称点C，作点B关于直线ON的对称点D。
3. 确定交点：连接CD，交OM于点E，交ON于点F，此时的E、F即为所求的点。
4. 验证最小值：根据轴对称的性质，AE=CE，BF=DF，因此AE+EF+FB=CE+EF+FD=CD。由“两点之间线段最短”可知，CD是C到D的最短路径，因此此时AE+EF+FB的和最小，对应四边形ABFE的周长最小。
【答案】
如图，点E，F的位置即为所求.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典题型，核心解题思路是通过轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长，利用线段公理求解，掌握“对称转化”的思路可以解决同类的最短路径问题。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在旷野上，一个人骑着马从A处到B处，半路上他必须先到河岸l的P点去饮马，然后再到河岸m的Q点饮马，最后到达B点，他应该如何选择饮马地点P，Q，才能使所走路径$AP + PQ + QB$最短？（假设河岸l，m为直线）
答案
解 如图，分别作A点关于直线l的对称点A'，B点关于直线m的对称点B'，连接A'B'，分别交l于点P，交m于点Q，连接AP，BQ，则路径$AP+PQ+BQ$最短.
解析
【分析】
解决折线段最短问题的核心思路是利用轴对称变换，将同侧的点转化为异侧，把分散的折线段转化到同一条直线上，结合“两点之间线段最短”求解。本题中路径为$AP+PQ+QB$，P在直线l上、Q在直线m上：先作A关于直线l的对称点$A'$，根据轴对称性质可得$AP=A'P$；再作B关于直线m的对称点$B'$，同理可得$QB=QB'$，此时原路径长度转化为$A'P+PQ+QB'$的长度，要让这个和最短，只需让$A'、P、Q、B'$四点共线，总长度即为线段$A'B'$的长度，是最短值。
【解析】
1. 作点A关于直线l的对称点$A'$，由轴对称的性质可得：$AP = A'P$；
2. 作点B关于直线m的对称点$B'$，由轴对称的性质可得：$QB = QB'$；
3. 因此路径长度$AP + PQ + QB = A'P + PQ + QB'$，根据“两点之间，线段最短”，当点$A'、P、Q、B'$共线时，$A'P + PQ + QB'$的长度最小，等于线段$A'B'$的长度；
4. 连接$A'B'$，与直线l的交点即为P，与直线m的交点即为Q，此时路径$AP+PQ+QB$最短。
【答案】
如图，分别作A点关于直线l的对称点A'，B点关于直线m的对称点B'，连接A'B'，分别交l于点P，交m于点Q，连接AP，BQ，则路径$AP+PQ+BQ$最短.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是典型的双直线最短路径问题，解题核心是利用轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长度，体现了转化的数学思想，熟练掌握对称点的作法和两点之间线段最短的原理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
解决折线段最短问题的核心思路是利用轴对称变换，将同侧的点转化为异侧，把分散的折线段转化到同一条直线上，结合“两点之间线段最短”求解。本题中路径为$AP+PQ+QB$，P在直线l上、Q在直线m上：先作A关于直线l的对称点$A'$，根据轴对称性质可得$AP=A'P$；再作B关于直线m的对称点$B'$，同理可得$QB=QB'$，此时原路径长度转化为$A'P+PQ+QB'$的长度，要让这个和最短，只需让$A'、P、Q、B'$四点共线，总长度即为线段$A'B'$的长度，是最短值。
【解析】
1. 作点A关于直线l的对称点$A'$，由轴对称的性质可得：$AP = A'P$；
2. 作点B关于直线m的对称点$B'$，由轴对称的性质可得：$QB = QB'$；
3. 因此路径长度$AP + PQ + QB = A'P + PQ + QB'$，根据“两点之间，线段最短”，当点$A'、P、Q、B'$共线时，$A'P + PQ + QB'$的长度最小，等于线段$A'B'$的长度；
4. 连接$A'B'$，与直线l的交点即为P，与直线m的交点即为Q，此时路径$AP+PQ+QB$最短。
【答案】
如图，分别作A点关于直线l的对称点A'，B点关于直线m的对称点B'，连接A'B'，分别交l于点P，交m于点Q，连接AP，BQ，则路径$AP+PQ+BQ$最短.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是典型的双直线最短路径问题，解题核心是利用轴对称变换将折线段的和转化为两点之间的线段长度，体现了转化的数学思想，熟练掌握对称点的作法和两点之间线段最短的原理是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
